小腸環境下自推進膠囊內窺鏡的非線性動力學行為研究

朱佳鵬， 廖茂林， 朱志強， 曾子衿， 李 智

(北京科技大學 機械工程學院， 北京 100083)

隨著腸胃病患者基數不斷增加，消化道的醫療檢測需求量大幅增加，然而傳統的內窺鏡檢查的管線探頭結構，在檢測過程中易對患者造成強烈的不適感，并存在對病變區域造成二次傷害的安全隱患。為有效解決此類問題，無線式膠囊內窺鏡逐漸引起關注，目前可作臨床使用的無線式膠囊內窺鏡主要分為磁控式與被動式。其中，磁控式無線內窺鏡膠囊依靠大型的磁控設備與膠囊表面的磁控衣作用，控制膠囊在消化道當中的運動，并利用膠囊自身的圖像采集功能完成檢測[1]，但其費用昂貴，操作復雜。而被動式膠囊內窺鏡雖然成本較低，操作簡單，但由于膠囊在消化道內的移動僅依靠腸胃的蠕動，無法主動靠近或遠離病變區域[2]，給檢測帶來諸多不便的同時還存在無法排出體外的隱患。

為更好地解決無線式膠囊內窺鏡的驅動問題，激振沖擊方式被引入對膠囊進行結構改造。激振驅動膠囊系統由Liu等[3-4]在研究偏遠地區管道檢測問題時被提出，隨后被考慮用于消化道的無線檢測。其核心思想是在膠囊內部設置一個激振沖擊結構，通過內部激振體與膠囊外殼的周期性沖擊碰撞驅動膠囊以一定速度進行自推進移動。在此基礎上，對具有單邊和雙邊約束結構的自推進膠囊進行了對比分析[5-6]，發現單邊約束結構更容易實現膠囊的高速移動，而雙邊約束結構則在實現膠囊的雙向移動方面更具優勢。

然而，膠囊內窺鏡的主要運行環境為消化道，其小腸部分在變形時具有指數增強的強非線性應力-應變響應[7]。因此，膠囊內窺鏡在通過狹隘的小腸時，除了庫倫摩擦阻力，還會受到其他多種腸道阻力的影響。針對此類問題，Ciarletta等[8]利用超彈性理論對腸壁進行了分層分析，并提出了五應力超彈性模型，該模型對腸道的力學模型搭建具有重要意義。隨后，Kim 等[9-10]基于Ciarletta 模型建立了膠囊在小腸內運動的摩擦阻力模型，并利用該模型開展試驗，測量了不同尺寸的膠囊通過豬小腸內部與表面時的摩擦阻力，最終得到其范圍在[10 mN，50 mN]。譚人嘉等[11]利用Ciarletta 模型，分別建立了膠囊機器人頭部壓力、中段摩擦力和頭部摩擦力的阻力模型，并通過試驗發現膠囊半徑與腸道半徑之比和腸道摩擦因數的增大都會導致膠囊前進阻力增大。Tian等[12]則從膠囊的安全性出發，用不同形狀與速度的膠囊依次通過平坦、塌陷、收縮和彎曲4種不同的小腸結構，發現當速度處于[4 mm/s，10 mm/s]，膠囊柱段的半徑等于膠囊末端的長度時，對腸道的損傷最小。此外，也有學者[13]從膠囊的移動速度出發，得到膠囊受到的摩擦阻力范圍在 [10 mN，250 mN]；而針對小腸收縮率[14]進行試驗得到了膠囊受到的收縮壓力峰值約為0.24 kPa。

因此，目前的問題主要集中在如何將建立好的腸道阻力模型與自推進膠囊內窺鏡的動力學模型耦合，從而更好的對膠囊在小腸中的運動進行分析。為此，Yan等[15]建立了膠囊在小腸中運動的動力學模型，并以低能耗與高速度作為參考指標制定了膠囊的最優參數，這也為本文阻力模型的搭建提供了參考思路。從腸道環境的不穩定性出發，Liao等[16]利用組合優化算法，得到了自推進膠囊在摩擦因數變化的腸腔內運動時，5種不同運動的控制參數，包括前進(快慢)、后退(快慢)和懸停，并在此基礎上，Zhu等[17]對自推進膠囊在腸道中運動的能耗、速度與外部驅動力三者進行了多目標優化。此外，Guo等[18-19]利用試驗對3種不同小腸環境下自推進膠囊的運動進行優化分析，得到膠囊在腸道中最大前進速度為8.49 mm/s，最大的反向運動速度為-4.9 mm/s。

雖然國內外學者們已經開展了大量相關研究，但是大多并未考慮腸道的蠕動以及腸道內流體環境對膠囊運動的影響。鑒于此，本文將搭建小腸-膠囊耦合模型，在小腸阻力分析的基礎上充分考慮小腸的能動性，分析腸道蠕動下自推進膠囊在通過狹窄小腸段時的動力學特性，討論膠囊的激振參數和結構參數對自推進膠囊的非線性動力學行為演化規律的影響，以及分析流體環境對膠囊運動的影響。從而為實現膠囊在小腸中的最優移動，并為自推進膠囊內窺鏡的研發方案提供支撐。

1 小腸-膠囊動力學模型建立

1.1 自推進膠囊的動力學模型

為實現在不需要增加外部大型配套設備的情況下，膠囊在消化道中具有可控的移動能力，考慮在膠囊內部設置磁致伸縮式的激振沖擊結構來賦予膠囊自推進能力。自推激振膠囊的物理模型如圖1所示，質量分別為mc，mm的膠囊外部殼體和內部激振體通過一個Kelvin-Voigt(k1-c)模型相連，且膠囊內部右側設置代表膠囊殼體剛度的彈簧k2。激振體在簡諧激勵Fa作用下發生振動時，會產生與外部殼體的相對位移Xm-Xc，當相對位移大于兩者間的間隙e1時，激振體會與彈簧k2發生碰撞，這使得膠囊具有了接觸非線性特征。鑒于此，根據膠囊內部激振體與彈簧k2是否發生碰撞，可以將膠囊分成以下兩個移動階段。

圖1 自推進膠囊基礎物理模型Fig.1 Physical model of self-propelled capsule

(1) 當激振體與膠囊發生碰撞：Xm-Xc≥e1

此時，激振體mm的振動方程如式(1)所示

(1)

式中：Pd為激振振幅；f為激振頻率；Fc為膠囊外殼受到的內部作用力，當Fc大于外界阻力Ff時，膠囊整體開始運動，具體表達式為

(2)

(2) 當激振體與膠囊未發生碰撞時：Xm-Xc

激振體的振動方程可用式(3)表示為

(3)

當膠囊外殼受到的內部作用力Fc大于外界阻力Ff時，膠囊整體開始運動，具體表達式為

(4)

在此基礎上，進一步引入Heaviside判定函數，對膠囊系統的各個移動階段的動力學方程進行整合

(5)

綜上，自推進膠囊的動力學模型可以表示為

(6)

其中

1.2 小腸模型

膠囊在吞咽后，會經過人體的食道、胃、小腸和結腸，最后經肛門排出；其中小腸作為主要的消化道器官，整體長度達4～6 m，其結構最為復雜，對膠囊移動限制也最大。因此考慮對狹窄的小腸進行建模，以對自推進膠囊在其內部的移動規律進行分析。

小腸的橫截面如圖2(a)所示，其結構包括了漿膜、縱向肌肉層、環形肌肉層、粘膜層(含粘膜下層與粘膜)與上皮細胞層。從其功能方面來看，小腸依靠收縮環的不斷推進形成蠕動波完成對食物的運輸，過程中肌肉層與粘膜層對小腸的運動進行協調，如圖2(b)所示。由此可知，當膠囊在腸腔內運動時，會受到小腸結構的應變應力與蠕動的作用，為此需要建立小腸的應力應變模型并且確定其蠕動速度，從而實現對小腸的建模分析。

(a) 小腸橫截面

(b) 小腸蠕動示意圖圖2 小腸結構圖Fig.2 Structure of small intestine

1.2.1 應力應變模型

小腸結構同時具備黏彈性與彈性兩種力學特征，其中粘膜層和上皮層是黏彈性的，而彈性主要來自肌肉層。但相比于彈性，黏彈性在描述小腸組織隨時間變化的力學特性方面更具優勢，因而通常被用來代表小腸的特性。

因此，選擇小腸的黏彈性作為研究對象，通過引進三元麥克斯韋模型對小腸的黏彈性進行建模，如圖3所示，并得到小腸的應力應變關系表達式為

圖3 三元麥克斯韋模型Fig.3 The ternary Maxwell model

(7)

式中：ε(t)為小腸的應變；E1，E2為模型中涉及的兩項楊氏模量；η為阻尼黏性系數；t為時間。

1.2.2 小腸蠕動速度

圖4 收縮環速度變化曲線Fig.4 Speed variation of shrink ring

1.3 小腸阻力模型

基于自推進膠囊的動力學模型與小腸模型，進一步分析兩者耦合作用下，膠囊在通過狹窄的小腸段時受到的外界阻力Ff，分別從包裹阻力，流體阻力與摩擦阻力3個方面構建小腸-膠囊阻力模型。

1.3.1 包裹阻力模型

考慮到膠囊在通過小腸時會持續受到收縮環的作用，且膠囊直徑與小腸腸徑接近，因此膠囊在小腸內運動時，全程基本處于整體包裹型的內壁環境中，如圖5所示。針對小腸段的包裹阻力，建立了分段力學模型，將膠囊受到的腸道阻力分解為頭、中、尾3個區域，其中頭部受到來自小腸水平方向擠壓力形成的阻力Fhp，與垂直方向擠壓力形成的摩擦阻力Fhf。同理，尾部受到水平擠壓阻力Ftp，摩擦阻力Ftf，而膠囊的中部僅受到小腸的垂直方向擠壓力產生的摩擦阻力Fmf，如圖5所示。

圖5 包裹式內壁環境下膠囊整體受力Fig.5 Force analysis of capsule in wrapped inner wall

(a)

(b)圖6 膠囊頭部受力分析Fig.6 Force analysis of capsule head

(8)

并通過引入式(7)可以得到相應的小腸應力為

(9)

基于小腸應力的分析，進一步推算膠囊受到的擠壓力，如圖6所示，首先分析小腸與膠囊擠壓后的變化，厚度由初始值hi變為hie，由式(10)表示為

(10)

結合式(9)與式(10)，可以得到膠囊頭部區域受到的壓強表達式

(11)

引入dS(x)表示為某一位置的環向受力面積，從而計算出膠囊頭部任意區域受到的擠壓力dp(x)，表達式為

dp(x)=q(x)dS(x)=q(x)2πR(x)·

(12)

式中，R′(x)為R(x)的導數。

得到作用于膠囊壁面的擠壓力后，將其分解為水平與垂直方向的力，開始討論膠囊受到的外界阻力，其中水平方向的擠壓阻力Fhp為

(13)

式中，cosφ(x)=(xc-x)/Rc，垂直方向擠壓力引起的水平摩擦阻力Fhf由式(14)表示

(14)

式中，μ為小腸環境的摩擦因數。

同理可得，膠囊尾部的壓力導致的水平擠壓阻力為

(15)

此時的cosφ(x)=(xc+L-x)/Rc<0，L為膠囊中部柱段長度，x∈[xc+L,2xc+L]，為膠囊尾部受到的水平擠壓阻力與頭部相反，膠囊尾部垂直方向的壓力引起的Ftf水平摩擦阻力為

(16)

膠囊中部柱段受到的壓力與x方向垂直，因此只產生水平方向的摩擦阻力，其表達式為

(17)

綜合式(13)～式(17)，其中水平方向的頭部擠壓阻力Fhp與尾部擠壓阻力Ftp相互作用下結果為零，最終可以得到包裹阻力Ffi

Ffi=Ftf+Fmf

(18)

1.3.2 流體阻力模型

除去小腸包裹作用引起的阻力，膠囊自身的移動速度與小腸的蠕動速度會形成一定的相對速度，加上腸腔表層流體環境的影響，如圖7所示，膠囊在小腸中移動時全程會受到流體阻力Ffq作用，具體表達式[21]為

圖7 流體阻力與庫倫摩擦阻力Fig.7 Fluid resistance and Coulomb friction resistance

(19)

式中，d為流體厚度。

1.3.3 庫倫摩擦阻力模型

此外膠囊在小腸環境中還受到自身重力帶來的庫倫摩擦阻力Ffc，如圖7所示，表達式為

Ffc=Mmμg

(20)

式中:g為重力加速度；Mm為膠囊系統的總質量。

最終通過以上3個模型分析，可得到膠囊在小腸中運動時受到的外界阻力Ff可以表示為

Ff=Ffi+Ffq+Ffc

(21)

1.4 自推進膠囊的動力學模型

圖8 小腸-膠囊物理模型Fig.8 Small intestine-capsule physical model

可見，相比于初始的膠囊模型，小腸-膠囊模型不僅要考慮碰撞導致的接觸非線性特征，還需要對小腸蠕動速度與膠囊自推進速度之間的相對速度變化引起的阻力Ff方向進行判定。為此，需要在激振膠囊模型的基礎上引入兩個新的Heaviside函數，以考慮小腸與膠囊相對速度的影響

(22)

結合腸壁包裹環境下對應的Ff表達式(21)，最終建立小腸-膠囊的耦合動力學模型

(23)

此外，為更好地了解自推進膠囊在小腸環境下移動速度變化規律，計算膠囊在單位時間內的平均速度

(24)

式中：N為周期數；T=1/f為單個激勵周期。

2 非線性動力學分析

利用建立的小腸-膠囊耦合動力學模型，進一步分析自推進膠囊在小腸環境中的非線性動力學行為特性。根據前人[22]對小腸結構的試驗研究，首先確定了小腸參數，如表1所示。并從膠囊的應用要求出發，初步確定了膠囊的結構參數與激振參數，激振參數主要為式(1)中激振力Fa中的頻率、振幅，如表2所示。選擇膠囊的激振參數(頻率、振幅)與部分結構參數(激振體的質量與剛度)作為研究對象，通過大范圍調節各項參數，得到膠囊在小腸中運動的非線性動力學行為演化規律。具體而言，對膠囊進行分岔分析、相平面分析，以及速度變化對比，并通過確定自推進膠囊最優速度出現時的系統動態響應，為制定合理的激振控制方案與膠囊結構設計提供支持。

表1 小腸參數表Tab.1 Parameters of small intestine

表2 膠囊參數表Tab.2 Parameters of capsule

2.1 激振參數的影響

采用四階龍格庫塔算法對建立的小腸-膠囊耦合動力學模型進行數值求解，計算200個激勵周期，并取最后10個周期作為參考，以確保自推進膠囊處于穩態響應狀態。

為進一步分析流體阻力對膠囊運動帶來的影響，分別在圖9(a)、圖9(b)中分別比較了有無流體阻力膠囊的平均速度曲線與分岔圖，如圖10所示。無流體阻力時膠囊的速度得到小幅提升，在振幅為60 mN時，兩者速度差最大，且膠囊系統的分岔區間由之前[21 mN,29 mN]縮減至[23 mN,26 mN]。

圖9 關于振幅Pd的動力學分析(圖9(c)～圖9(h)中虛線表示膠囊外殼，實線表示激振體；圖9(i)～圖9(n)中直線為撞擊面位置，圓點為龐加萊截面截取的點)Fig.9 Dynamic analysis of amplitude

接著，以頻率f作為變量，參數區間為[0,50 Hz]，參數間隔取0.05 Hz，得到膠囊的平均速度變化曲線圖圖10(a)與分岔圖圖10(b)，與Pd不同，在f的變化區間內，膠囊系統始終保持單周期運動，其中，當頻率達到10 Hz時，激振體開始與殼體碰撞，見圖10(i)，此時膠囊的速度為29.9 mm/s，與小腸蠕動速度基本保持一致，見圖10(a)。當頻率增大到15 Hz時，見10(j)，單個激勵周期下激振體將與殼體發生兩次碰撞，值得注意的是，此時膠囊平均速度vavg下降到21.3 mm/s，見圖10(d)，相對于小腸蠕動速度30 mm/s，膠囊在往反方向移動，這表明選擇合理的激振頻率可以控制膠囊的雙向移動。繼續增大頻率至17 Hz時，見圖10(k)，激勵周期內的碰撞次數重新回到一次，且由圖10(c)可知，此時膠囊的平均速度達到最大為39.3 mm/s。當頻率處于25～35 Hz時，以30 Hz，35 Hz為例，vavg基本穩定，速度保持在36 mm/s附近，且碰撞次數保持為一次，見圖10(f)、圖10(g)、圖10(l)、圖10(m)。一直到f=36 Hz時，見圖10(n)，激振體與殼體之間碰撞消失，膠囊靜止僅隨腸道蠕動前進，速度為30 mm/s，見圖10(h)；由此可知，當激勵頻率過高時，反而無法推動膠囊高效移動。

2.2 結構參數的影響

為保證自推進膠囊在小腸內的高效穩定移動，不僅要對激振參數進行調節，還需合理設計膠囊的結構參數；因此，本文以膠囊激振體的質量mm與剛度k1作為研究對象，分析結構參數對自推進膠囊的動力學行為演化規律的影響。

首先，分析膠囊激振體的質量mm，其參數區間設為[1 g,10 g]，參數間隔為0.05 g，結果如圖11所示。觀察發現，m1在區間內變化時，激振膠囊始終保持單周期運動，見圖11(b)。初始階段，當mm=1.1 g時，膠囊速度為22.82 mm/s，相對于小腸往后運動，系統單個激勵周期內發生了兩次碰撞，見圖11(c)、圖11(i)。當mm=1.4 g時，由圖11(d)、圖11(j)可知，系統變為單周期單碰撞狀態，膠囊平均速度速度達到38.29 mm/s，移動方向轉為相對小腸向前運動。持續增大mm至7 g，vavg呈現先減小再增大至穩定的變化趨勢，過程中整體變化幅度較小，膠囊平均速度最終維持在41 mm/s附近，系統維持單周期單碰撞響應狀態，見圖11(e)、圖11(g)與圖11(k)、圖11(m)。當mm超過7 g時，見圖11(h)、圖11(n)，vavg變為約30 mm/s，此時，激振體與殼體不再發生碰撞，膠囊只隨腸道蠕動；主要原因是當激振體質量持續增大時，將導致庫倫摩擦力過大，激振沖擊力小于外界阻力，膠囊無法相對小腸移動。另外，對激振質量塊質量變化時，膠囊的多穩態進行了分析，見圖11(a)、圖11(b)，令mm由高到低進行變化，由圖11(f)、圖11(l)可知系統的階躍點由之前的7 g變為5.9 g，且存在明顯的遲滯回線。

接著，分析激振體的剛度k1對膠囊系統動態響應的影響，k1的變化區間設置為[10 N/m,120 N/m]，參數間隔為0.05 N/m，結果如圖12所示。特別地，剛度k1過小時系統會出現混沌現象，見圖12(i)，此時膠囊的平均速度為32.5 mm/s，見圖12(c)。當k1=12 N/m時，系統響應為的單周期單碰撞狀態，速度達到最大為44.9 mm/s，見圖12(d)、圖12(j)。隨著k1繼續增大至68 N/m，vavg逐步下降至30 mm/s，見圖12(e)～圖12(g)，響應保持在單周期單碰撞，但碰撞逐漸減弱，見圖12(k)～圖12(m)。當k1>68 N/m時，碰撞消失，膠囊的移動速度穩定在30 mm/s，即僅依靠腸道蠕動實現前進，見圖12(h)～圖12(n)。

圖12 關于激振塊剛度k1的動力學分析(圖12(c)～圖12(b)中虛線表示膠囊外殼，實線表示激振體；圖12(i)～圖12(n)中豎線為撞擊面位置，圓點為龐加萊截面截取的點)Fig.12 Dynamic analysis of oscillator stiffness

4 結 論

(1) 本文通過考慮小腸的應力應變特征與其蠕動規律，建立了小腸-膠囊耦合動力學模型，重點討論了膠囊的振幅、頻率、激振體剛度與質量4項參數對膠囊在小腸內移動的影響。由于所建立的動力學模型耦合了自推進膠囊自身的接觸非線性以及小腸阻力的非線性特征，因而在系統的非線性動力學行為規律研究中發現了倍周期分岔、逆倍周期分岔、混沌等現象，它們對膠囊的自推進移動影響顯著。

(2) 當調節激振參數時，膠囊的振動形式主要表現出單周期單碰撞、單周期雙碰撞、雙周期單碰撞、雙周期雙碰撞4種狀態；從膠囊的平均移動速度來看，最優的前進速度都出現在單周期單碰撞的振動狀態下，原因在于單周期單碰撞能更高效地實現能量集中并通過激振體對殼體的唯一一次碰撞，最大程度地將激勵能量轉化為驅動沖擊力。此外，在給定的參數范圍內，當振幅增大時，膠囊始終保持相對小腸正向運動，膠囊的絕對速度持續增加并最終穩定在44 mm/s左右；而頻率變化過程中會出現膠囊相對小腸反方向移動的情況(f處于15 Hz附近時)，此時膠囊處于單周期雙碰撞狀態。此外，頻率過高時，會導致激勵驅動失效，膠囊表現為相對靜止，只隨小腸蠕動前進。綜上，在調節膠囊激振參數時，應保證系統在穩定的單周期單碰撞狀態；而要使膠囊實現反向移動，則需要對頻率進行調整，使膠囊處于單周期雙碰撞狀態；此外，還應注意避免由于激勵頻率過高而導致的驅動失效。

(3) 相比于激振參數，改變結構參數時膠囊基本保持在單周期單碰撞、單周期雙碰撞與混沌3種狀態下，其中混沌與單周期雙碰撞分別只出現在k1與mm極小時，膠囊的最優前進速度分別出現在mm=7 g與k1=12 N/m附近時，系統狀態都為單周期單碰撞狀態。此外，膠囊的反向移動僅出現在mm極小時，此時系統為單周期雙碰撞狀態，與調節激振頻率時發現的規律一致。此外，在對膠囊結構進行設計時，應避免激振體質量過大或剛度過大而導致的驅動失效。

(4) 本文現有的分析與結論，都建立在對膠囊的單參數分析之上，接下來將考慮對膠囊多個參數同時進行分析并進行多目標優化，在平均速度的基礎上增加能耗、以及腸道損傷度等優化目標；并進行可靠性分析，以此來制定更為合理的激振控制方案與膠囊結構設計，從而更好地指導后續的試驗研究。