縫合式夾芯結構寬頻動力學響應特性研究

馬文漪， 陳 強， 李彥斌， 程危危

(1.東南大學 機械工程學院，南京 211189； 2.江蘇省空天機械裝備工程研究中心，南京 211189；3.北京空天技術研究所，北京 100074)

高速飛行器在服役過程中面臨著復雜嚴酷的氣動載荷環境，其中氣動噪聲激勵的聲壓級可達165 dB以上，頻率范圍覆蓋10～10 000 Hz，寬頻高強的載荷環境對飛行器結構的完整性和可靠性提出了嚴峻挑戰[1-2]。縫合式夾芯結構作為一種新型結構-功能一體化結構，近年來被廣泛應用于航空航天領域中。該結構是一種由陶瓷基復合材料承載面板、氣凝膠芯層和穿刺增強縫線組成的復合材料夾層結構，具有層間性能好、比剛度/強度高等優異力學性能。準確預示寬頻高強載荷環境下縫合式夾芯結構的動力學響應是探究結構脫層破壞、疲勞損傷的重要基礎[3-5]，其寬頻動力學特性分析是飛行器結構設計的關鍵。

寬頻載荷下縫合式夾芯結構在不同頻率范圍內呈現出差異化動力學響應特性，因此現有研究大多將結構寬頻動力學特性分析問題劃分為低頻、中頻、高頻3個頻段開展，不同的分析頻段采用不同分析理論和預示方法[6]。結構低頻段的模態稀疏，通常用振幅與相位表征并采用有限元法(finite element method, FEM)等離散化方法分析，但是對于寬頻問題，由于FEM模型應滿足每波長內最少6個單元，而高頻段結構振動波長很小，需要劃分非常細密的網格，導致計算成本驟增。結構高頻段模態密集，通常用統計意義上的振動能量表征并采用統計能量分析為代表的能量化方法分析[7-8]，但此類統計學方法難以獲取結構的局部動力學響應，無法滿足縫合式夾芯結構寬頻動力學響應需求。中頻分析通常結合離散化方法和能量法特點，如有限元-統計能量分析[9-11]等，但這些方法大多存在分析流程復雜、僅適用于單一結構等問題。綜上分析，由于縫合式夾芯結構服役的動力學環境覆蓋寬頻段范圍，而傳統振動響應分析方法不僅計算成本高、普適性較差，且難以實現中高頻段局部響應精確預示，成為限制縫合式夾芯結構寬頻動力學響應特性分析的瓶頸。因此，亟需發展適用于縫合式夾芯結構的高效統一寬頻動力學響應分析方法。

為解決縫合式夾芯結構寬頻動力學響應分析精度及效率問題，可從波傳導和衰減的角度解析結構的振動特性，采用波的疊加來表征結構動力學響應。波傳播法即從結構波的角度解析結構振動特性及結構動力學響應，具有較高的計算效率。但復雜結構的頻散方程通常是超越的，因其難以求解而限制了波傳播法在復雜結構中的應用。Mace等[12-13]將動態剛度法、傳遞矩陣法等方法結合，提出了波有限元法(wave finite element method，WFEM)并實現了簡單波導結構動力學響應的高效準確預示。Droz等[14]研究了動態剛度矩陣慣性截斷項及其約簡基原則，Ichchou等[15]解決了求解過程中頻率混疊效應問題，保證了WFEM計算穩定性和分析精度。WFEM已被應用于薄壁結構[16]、夾層復合結構[17]等結構動力學響應預示。波有限元理論兼具波傳播法的高效準確性和有限元法的普適性，為具有典型的周期性幾何特征的縫合式夾芯結構的低、中、高頻段動力學響應高效統一預示提供了有效途徑。

本文針對縫合式夾芯結構推導了基于波有限元的寬頻動力學響應預示方法并系統開展其寬頻動力學響應特性研究。首先，分析縫合式夾芯結構中自由波傳播的頻散特性，根據波模對偶原則識別不同頻段內各類型波，評估其對結構振動響應的貢獻情況，通過波域到物理域的轉化，預示結構寬頻動力學響應。進而，探討縫合密度、夾芯層厚度等結構設計參數對其寬頻動力學響應特性的影響規律，以期為縫合式夾芯結構的結構設計提供參考，并為復雜周期性結構寬頻動力學響應特性系統分析提供思路。

1 縫合式夾芯結構寬頻動力學響應預示方法

1.1 縫合式夾芯結構波傳遞原理

典型縫合式夾芯結構模型如圖1所示，主要由上面板、夾芯層、下面板及縫合線組成。面板和芯層通過縫合線在厚度方向上以“幾”字型縫合方式結合為一體，整體呈現出周期性的宏觀幾何特征。

圖1 縫合式夾芯結構示意圖Fig.1 Illustration of the stitched sandwich structure

為準確描述縫合式夾芯結構波傳遞規律，基于波有限元理論采用有限元模型描述結構胞元并結合波傳播理論獲取結構傳遞矩陣。首先，選取包含單個或多個“幾”字縫合周期的夾芯結構特征胞元進行有限元建模，提取其剛度、阻尼及質量矩陣。然后，基于波在周期性結構中的傳播特性，采用波導胞元動態剛度矩陣元素構建傳遞矩陣。

假定選取縫合式夾芯結構特征胞元長度為Δe，此時該部分的運動方程為

(1)

將縫合式夾芯結構單胞動態剛度矩陣包含自由度按胞元結構分解為左截面、右截面和內部自由度三部分，如圖2所示。通過矩陣變換和動力縮聚消除內部自由度后得到的矩陣方程為

圖2 結構各胞元傳遞關系Fig.2 Transfer relationship of each structural cell

(2)

式中,下標L和R分別為縫合式夾芯結構特征胞元的左右兩側截面。

對于周期性縫合結構而言，假設自由波傳播過程中胞元n右截面和胞元n+1左截面間沒有外力作用，其胞元n右截面和胞元n+1的左截面之間存在位移連續和力平衡關系，即

(3)

利用Flioquet定理，引入傳遞矩陣T將橫截面n和n+1中的位移和力連接為[12]

(4)

由式(2)～式(4)可構建縫合式夾芯結構動態傳遞矩陣為

(5)

傳遞矩陣T為辛矩陣，其2N個特征值總是成對存在為λ和1/λ，分別對應正負向傳播波的波基

ΨiTφj=λjΨiφj=λiΨiφj

(6)

且其存在正交關系為

Ψiφj=1

(7)

式中：Ψi和φj分別對應左右特征向量;λi和λj分別對應左右特征值。

1.2 自由波傳播特性分析

基于縫合式夾芯結構特征胞元構建的傳遞矩陣，可將其內部自由波的傳播用特征問題來描述，即有

(8)

式中,傳遞矩陣特征值λi=e-jkiΔe為某一波在其胞元長度方向的衰減及相位改變，ki為第i個波的波數。在無阻尼情況下，有T∈C2N×2N，此時波數k是純實數或純虛數，分別對應傳播波或倏逝波；在有阻尼情況下，有T∈R2N×2N，此時特征值λ及波數k是復數，對應衰減波。

需注意的是對于具有大量自由度的二維橫截面，直接使用式(8)求解時可能會由于傳遞矩陣的病態導致結果出現較大誤差。為改善特征值的求解問題，可通過調整運算格式及矩陣條件數將特征問題寫為[18]

(9)

通過求解不同頻率對應特征值問題，可獲得若干特征向量離散點。為呈現相同波形在不同頻率下的演化規律，需基于模態置信準則(modal assurance criterion，MAC)將具有相似波形的點連接為同一曲線。MAC準則表達式為

(10)

通過波模對偶原則獲取不同曲線對應縫合式夾芯結構特征波形，結合頻散曲線評估各波形對結構振動響應貢獻。

1.3 寬頻動力學響應預示

波傳播理論中由結構中自由波在波域的傳播及變換分析確定振幅，然后轉換回物理域獲取振動響應。對于總長度為L的結構，設定計算響應和施加激勵的位置分別為xe和xr。假設在激勵點兩側傳播波的振幅分別為a+和g-，無限波導的直接激發波的振幅為e±。由波傳播特性如圖3所示可知

圖3 波振幅傳遞關系示意圖Fig.3 Illustration of transfer relationships for wave amplitudes

(11)

首先，將物理域中的外力分解為波域，當外力施加于無限波導時，由位移和力平衡的連續性可導出其直接激發波振幅值為

(12)

為避免矩陣求逆產生的數值問題，可利用傳遞矩陣左右特征向量的正交性將等式改寫為

(13)

即有

(14)

針對縫合式夾芯結構，直接激發波沿胞元傳播并在到達結構不連續位置或邊界處時發生反射。因此，考慮縫合式夾芯結構邊界約束，波變化用反射系數矩陣R來表示

a-=Ra+

(15)

結合傳遞矩陣和反射系數矩陣，可將a±表示為

(16)

式中傳播矩陣表示為

τ(l)=diag(e-jk1l,e-jk2l,…,e-jknl)

(17)

進而可由波傳播矩陣描述縫合式夾芯結構任意位置處波的幅值為

(18)

則向物理域轉化可得到結構任意一點處的響應值為

(19)

在實際應用中，由于快速衰減的波對縫合式夾芯結構整體響應影響極小，分析計算時通常保留|Re(k)|或|Im(k)|較小的前m階波，即取

1/λCR≤|λ|≤λCR

(20)

式中,λCR為保留波的最大和最小傳播常數的控制因子。

2 方法驗證

為驗證基于波有限元的寬頻動力學響應預示方法的準確性，研究人員多采用典型梁、板等存在解析解的簡單結構驗證數值分析方法[19-21]。因此本章選用兩端簡支的梁結構開展動力學響應特性分析方法研究。首先對一個兩端簡支的梁結構開展寬頻動力學響應分析，其楊氏模量為2×1011Pa，密度為7 800 kg/m3。結構總長度L=0.6 m，截面慣性矩I=8.33×10-10m4，截面積S=10-4m2。將結構沿波傳播方向分成N=50個胞元，利用有限元理論獲取胞元的剛度矩陣、質量矩陣等參數。當結構在其xe=3/5L位置處受到幅值為10 N的簡諧激勵F作用時，結構受力情況如圖4所示。

圖4 兩端簡支歐拉-伯努利梁Fig.4 A simply-supported Euler-Bernoulli beam

將基于波有限元的動力學響應預示結果與解析法[22]及全尺寸結構有限元法計算結果進行對比。圖5為基于不同方法獲取的結構在xr1=xe=3/5L處及xr2=4/5L處在10～10 000 Hz內的位移響應。

(a) xr1=3/5L

(b) xr2=4/5L圖5 寬頻振動位移響應Fig.5 Broadband dynamic vibration displacement response

由圖5可知：基于波有限元理論的預示結果與解析法結果基本一致，說明其在寬頻段具有較高的計算精度。而有限元法在3 000 Hz以上頻段出現明顯誤差，且隨頻率升高誤差效應愈加明顯。同時，本文方法和有限元法的計算時間分別為4.51 s和204.55 s，說明波有限元有極高的計算效率。綜上，在分析結構寬頻動力學問題時，基于波有限元的預示方法在計算精度和分析效率上具有較大優勢。

3 縫合式夾芯結構寬頻動力學響應特性分析

3.1 研究對象

本文研究對象縫合式夾芯結構幾何尺寸為300 mm×60 mm×8 mm，上面板、夾芯層和下面板的厚度分別為1 mm,5 mm和2 mm，采用直徑為1 mm的高強纖維材料在厚度方向上將面板和芯層縫合。

在建立縫合式夾芯結構分析模型時，應注意選擇滿足周期性條件的胞元尺寸并建立其有限元模型。基于修正的Reissner夾層板理論，在建立有限元模型時，上下面板和芯層可采用六面體單元建模。而縫線橫向拉壓模量很低，可假設其不受橫向應力，故采用桿單元對縫線建模。本研究分析最高頻率為10 000 Hz，劃分網格單元尺寸2.5 mm×2.5 mm×δ，其中δ為厚度方向尺寸。縫線在樹脂固化之后形成承力柱，采用桿單元對其建模。工程應用中縫合式夾芯板一般黏結在金屬承力板上表面使用，因此仿真分析時建立尺寸為300 mm×70 mm×2 mm的承力板模型以模擬其實際力學環境。

縫合式夾芯結構特征胞元及其結構波傳遞關系如圖6所示。其各部分材料屬性如表1和表2所示。

圖6 縫合式夾芯結構胞元的傳遞關系Fig.6 The transfer relationship of the stitched sandwich structure cell

表1 面板及芯層材料屬性Tab.1 Material properties of skin and core

表2 縫線及主承力板材料屬性Tab.2 Material properties of stitches and load-bearing plate

3.2 縫合式夾芯結構的波傳播特性分析

首先，對縫合式夾芯結構在10～10 000 Hz內沿長度方向自由波傳播頻散關系進行分析，并根據模態置信準則識別出結構部分主要作用波基，其對應頻散曲線如圖7所示。

(a)

(b)

圖7 主要作用波基頻散曲線及典型波形圖Fig.7 Dispersion curves and wave shapes of main acting waves

分析圖7所示的結構頻散曲線可知：

(1) 波1、波3、波4、波5、波6在10～10 000 Hz內均為傳播波，會對分析頻段內的結構響應產生影響。

(2) 波2、波4、波8分別在2 440 Hz,6 280 Hz和2 780 Hz時由倏逝波轉變為傳播波，即此類波在變性結點前以近場波形式作用于結構局部位置，因此一般對邊界或不連續位置影響較大；而從波數實部大于零的頻率位置處到分析截止頻率處會以全局形式參與并傳遞源振動，對結構整體響應產生影響。

(3) 代表波7和波9的兩條頻散曲線從2 600 Hz頻率點位置發生分岔現象，并在高于此頻率范圍分別以傳播和耗散兩種形式對結構響應產生貢獻。

(4) 波4與波11在260～660 Hz內存在頻段合并及分離現象。這是由于兩種變形間存在耦合效應，波在分岔區域周圍波形相似，而在重合前后頻段內又各自保留不同特征波形。即分別在結構上進行傳遞或衰弱，產生如波9在9 580 Hz時的性質轉換或波11在1 840 Hz后持續衰弱至影響可忽略。

綜上，在10～2 600 Hz內結構全局振動響應主要由波1、波3、波5、波6決定；在2 600～6 300 Hz內波1～波8對應典型波形均對該結構振動形態產生貢獻；在9 600 Hz以上頻段，波9開始影響結構整體振動響應；同時波2、波4、波8分別在其遠、近場波特性轉化以下范圍以衰減形式作用，主要對結構邊界或激勵等奇異點位置產生小范圍影響。

然后，通過波模匹配原則得到結構各類型波對應特征波形，以波1及波2為例列出不同頻率對應波形如圖7(c)～圖7(h)所示。波1為沿結構長度方向的傳播波，其在80 Hz,580 Hz和1 300 Hz頻率時分別對應圖7(c)、圖7(d)、圖7(e)所示階次遞增的變形，主要使結構產生沿其厚度方向的位移。波2同樣貢獻于結構厚度方向的振動，但其在6 200 Hz前出現如圖7(f)所示的典型倏逝波波形，僅在單側邊界約束位置附近發生傳播和反射并迅速衰減，因此在小于6 200 Hz頻段內未對結構全局振動定位或變形產生顯著影響。

在10～10 000 Hz內上述頻散曲線中影響全局振動響應的典型遠場傳播波將對結構振動定位及受迫變形起主要貢獻，以上類型的波在3 000 Hz時引起的雙胞元變形情況如圖8所示，坐標x,y,z軸分別對應縫合式夾芯結構寬度、長度及厚度方向。其中，波1為沿長度方向傳播的彎曲波，其引發振動方向垂直于波傳播方向并平行于結構厚度方向。波2和4為彎扭耦合波，同時對沿xz平面的彎曲變形和繞y軸的扭轉變形產生貢獻。波3為引起繞y軸變形的典型扭轉波，在不同頻段內將致使結構產生各階扭轉形態。波5與波1作用形式相近，二者均引發與波的傳播方向垂直的變形，但其作用于整體結構的彎曲方向為沿x軸方向，其產生整體波形為平行于各縫合層的多階彎曲變形。波6和波8為貢獻于結構長度方向振動的縱波。波7為彎扭耦合波，同時引起沿x方向的彎曲變形和繞z軸的扭轉變形。

圖8 典型傳播波引起的雙胞元變形Fig.8 Deformed shapes of two cells due to typical propagating waves

3.3 縫合式夾芯結構的寬頻動力學響應預示

針對如圖1所示的縫合式復合材料夾芯結構開展研究，將結構兩端固支，在上面板3/5長度位置設置幅值為10 N的簡諧激勵。不同頻率點對應特征值數值范圍及分布基本一致，以2 000 Hz為例，其特征值分布規律如圖9所示。通過控制閾值方式來研究波基數與有效分析頻率的關系。

圖9 特征值數值統計直方圖Fig.9 Histogram of numerical statistics of eigenvalues

針對本研究分析模型選取截斷系數為1×103,1×104,1×106,1×107,1×109，分別計算結構上面板中心位置初在10～10 000 Hz內的位移響應，結果如圖10所示。

圖10 不同波基閾值對應的結構振動響應Fig.10 Comparison of vibration response obtained by different wavemode threshold

當設置λCR為1×103和1×104時，與算例中保留最大波基數結果相比，頻響函數曲線分別在3 870 Hz和5 380 Hz頻率點附近開始產生誤差，響應曲線峰值點位置逐漸發生左偏，誤差隨頻率增大而愈加顯著；且在6 000～10 000 Hz內二者響應峰值點弱化，出現類似阻尼增大能量損耗增加的現象。設置λCR為1×106,1×107及1×109時，在10～10 000 Hz內求得響應峰值點位置對應頻率基本一致且穩定。綜合分析精度及計算穩定性因素，后續研究均采用截斷系數為1×107進行結構振動響應計算。

3.4 結構參數對寬頻動力學響應特性的影響研究

3.4.1 縫合密度的影響

為研究縫合密度對縫合式復合材料結構寬頻動力學響應特性的影響，采用本文方法分別開展不同縫合參數夾芯結構的寬頻動力學響應分析。縫合密度采用縫合步長來表征，即“針距×行距”。首先，在其他結構參數保持一致的情況下，對比無縫線及縫合密度為5 mm×5 mm的縫合式夾芯板上面板及主承力板中心點處位移響應如圖11所示。圖11所示的計算結果表明：相比于無縫線夾層結構，縫合式夾芯結構的寬頻響應幅值及受激勵模態密度顯著降低，上面板與主承力板響應趨于一致。這表明縫線的存在使得結構上下面板與夾芯層的整體性顯著提高。同時，縫線對上面板動力學響應的抑制效果強于對主承力板的動響應的抑制。這主要是由于上面板剛度比較小，縫線的剛度對其影響較大，而主承力板的剛度較大，縫線的剛度對其影響較小。縫線對縫合式夾芯結構約束性作用主要體現在3 500 Hz以上的中高頻段范圍，對低頻響應的影響相對較小。

(a) 上面板中心點響應

(b) 主承力板中心點響應圖11 縫線對結構振動響應的影響分析Fig.11 Comparison of vibration response obtained by typical sandwich structure and stitched sandwich structure

進而，對比縫合密度分別為10 mm×10 mm、5 mm×5 mm和2.5 mm×2.5 mm的縫合式夾芯結構，其上面板中心點處位移響應如圖12所示。

圖12 不同縫合密度結構振動響應對比Fig.12 Comparison of vibration response obtained by different stitch densities

分析圖12可知：隨著縫合式夾芯結構縫合步長的增大，上面板中心位置位移響應峰值向高頻移動。這主要是因為縫合密度的增加導致結構整體剛度和質量增大，二者作用相互制約并引起縫合板固有頻率變化。隨著縫合密度增加，6 000～10 000 Hz模態密度顯著降低。這表明縫線能夠約束局部模態，提高縫合板結構的整體性；在縫合步長為2.5～10.0 mm內，縫線約束效果與其密度成正相關。

3.4.2 夾芯層厚度的影響

為研究縫合密度對縫合式復合材料結構寬頻動力學響應特性的影響，采用本文方法分別開展4種不同夾芯層厚度縫合式結構的寬頻動力學響應分析。夾芯層厚度分別設置為5 mm,8 mm,12 mm及18 mm，縫合密度均為5 mm×5 mm，得到上面板中心點處位移響應如圖13所示。

(a)

(b)

(c)

(d)圖13 不同夾芯層厚度結構振動響應對比Fig.13 Comparison of vibration response obtained by different thicknesses of the core layer

分析圖13可知，隨著縫合式夾芯結構芯層厚度的增加，結構寬頻位移響應的幅值變化較小；結構位移響應峰值點對應頻率向低頻轉移，且從低頻到高頻區域變化幅度逐漸增大。這是由于芯層自身剛度較小，其厚度變化對縫合板結構整體剛度影響不大，因此結構位移響應幅值基本處于同一數量級；芯層厚度變化不會改變結構沿其寬度及長度方向的幾何形態，因此在起主要貢獻的振動波一致，全局位移響應形式基本不變；由于縫合板芯層增厚結構質量大幅度增加，而結構整體剛度變化較小，因此結構易激勵頻率發生左移，且與低頻相比高頻段范圍因累積效應敏感性提升。

同時，芯層厚度大于8 mm的縫合式夾芯結構在不同頻段出現“密頻”現象，且出現位置隨厚度的增加而向低頻處移動。這是芯層剛度遠小于上下面板剛度，縫線通過面板對其振動進行約束，而約束效果在部分模態頻率處發生失穩使得芯層與面板交接處產生局部變形，進而使得局部模態隨結構整體模態向低頻移動。因此，夾芯層厚度增加減弱縫線對上下面板及夾芯層的約束效果。

4 結 論

本文研究了縫合式夾芯結構頻散關系及其寬頻動力學響應特性，評估了不同頻段內各類型波的傳播特性及對響應的貢獻，解析了結構寬頻振動響應的物理內涵，揭示了縫合密度及夾芯層厚度對結構寬頻動力學響應特性的影響規律。主要結論如下：

(1) 基于波有限元的響應預示方法能夠快速準確預示縫合式夾芯結構等周期性結構寬頻動力學響應，并從波域角度解析其寬頻振動響應的物理內涵。

(2) 縫合式夾芯結構在10～10 000 Hz內的振動響應形式主要由包括彎曲波、扭轉波、縱波、耦合波等的前8階遠場波傳播特性決定；強倏逝波僅對邊界等奇異點附近振動形態產生影響。

(3) 縫線顯著增強了面板與芯層間的整體性，降低了寬頻振動響應的幅值并約束了結構中部分局部模態；隨著縫合步長的增大，縫合式夾芯結構位移響應的共振峰向高頻移動，縫線約束效果與其密度成正相關，且在中高頻范圍作用更顯著。

(4) 隨夾芯層厚度增加，結構振動的“密頻”現象向低頻轉移，縫線對局部模態抑制能力減弱。