算理為魂，算法為形*
——小學數學高年級算理與算法教學策略研討

鄧守宇

（廣東省廣州市花都區秀全街紅棉小學 廣東廣州 510800）

數學是研究數量關系和空間形式的科學，與人類發展和社會的進步息息相關。而數學計算是一切數學的基礎，其教學的重要性不言而喻。在廣泛的教學實踐中，不少教師對數學計算的講授往往以算法為主，而忽略了對算理的講解，讓學生對數學計算的學習僅僅停留在知其然而不知其所以然的程度，這顯然不利于學生構建完整的數學認知結構。作為知識的傳授者，我們教師更應該明白，在數學計算教學中，算理是比算法更為重要的內容，學生理解了算理，自然而然地就會自己總結出算法。

在《義務教育數學課程標準》（2011 版）中，將課程內容分成四大項：數與代數、圖形與幾何、概率與統計、綜合與實踐。而對于高年級的數與代數學習，也明確指出其學習目標有以下幾點：1.理解分數、小數、百分數的意義，了解負數的意義；2.掌握必要的運算技能；3.理解估算的意義；4.能用方程表示簡單的數量關系，能解簡單的方程。而本文則是圍繞第二點進行探索，即如何在教學過程中更好地幫助學生掌握必要的運算技能。

一、高年級數學計算教學的主要內容整體分析

根據《義務教育數學課程標準》（2011 版）以及《義務教育教科書教師教學用書》（數學五年級下冊）中的描述，小學數學高年級的計算教學主要有以下內容：小數乘法、小數除法、解簡易方程、分數與除法、分數與小數的互化、分數加減法、分數乘除法、百分數與分數小數的互化。

不難發現，數學高年級計算教學的部分內容實際上是屬于中低年段學習內容的拓展，如小數乘法、小數除法，實際上是整數乘除法拓展到小數，因此在教學中需要教師幫助學生把整數乘除法的算理重新梳理一次，并拓展到小數，讓學校理解小數乘除法的算理，再提煉出算法；而對于解簡易方程這一類屬于沒有前置的知識體系的計算內容，則要更多地把精力放在如何讓學生體驗算理形成的過程，對算理有更直觀的認識；而像分數與除法、分數加減法等這一類的計算教學，由于其算理更多的是基于分數的基本意義而形成的，因此需要多讓學生開口說一說，通過提煉精簡的數學語言加深學生對其算理的理解與記憶。

二、厘清算理與算法的區別

有不少教師認為數學計算中算理與算法是一致的，并無區別，而這樣的觀點顯然是錯誤的。如關于小數乘法的計算法則是這樣描述的：先按整數乘法算出積，然后觀察因數中一共有幾位小數，因數一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位小數，并點上小數點。這顯然是小數乘法的算法，它所描述的是關于計算小數乘法時的具體步驟以及方法。那小數乘法的算理是什么呢？是乘法的性質：因數擴大幾倍，積就擴大幾倍；因數縮小為原來的幾分之一，積就縮小為原來的幾分之一。小數乘法的算法實際上是由其算理推導得出。在實際教學中，倘若教師沒有完全講清楚算理，而只是填鴨式地把小數乘法的計算法則呈現給學生，讓學生去記去背，學生很快就會遺忘。因為這樣的學習屬于機械學習，而不是有意義學習，學生并沒有把小數乘法的計算原理內化到自己的數學知識體系中，隨著后面學習內容的增加，必然會和自己知識體系中的其他知識發生混淆，譬如最常見的就是小數乘法和小數加法的計算混淆在一起。

因此，筆者認為，算理與算法的關系，可以比喻為“算理為魂，算法為形”。兩者互為表里，在數學計算教學的過程中缺一不可。有魂無形，只講算理而忽略了總結算法，學生難以理解當堂課的知識，難以提煉出準確的知識點，不利于學生對數學知識的內化；有形無魂，把算法直接告訴學生，不幫助學生通過梳理算理來總結得出算法，則會讓學生慢慢失去對數學探究的興趣，只知道附和老師，不利于學生日后的學習和生活。只有兩者兼具，才能讓學生在數學計算的學習中能夠對數學計算有更深刻的記憶和理解。

三、小學高年級數學計算教學策略

（一）以舊“喚”新，建構連貫的知識體系

布魯納在他的認知結構學習理論中提出，數學中的每個概念、原理和技能都是與其他概念、原理和技能密切聯系的。數學的知識體系，可以看作是枝繁葉茂的大樹，數學中的概念、原理和技能就是組成這棵大樹的元素，樹上的枝葉或多或少都會與其他的枝葉相連，即每個數學概念、數學原理和數學技能都能找到跟它相關的數學概念、數學原理和數學技能。因此，在教學算理時，作為教師，我們首先要思考清楚，這節課要講的算理與學生已經具備的知識體系中的哪些內容有聯系，要重視學生的已有知識，從學生的已有知識出發延伸到新知。

譬如，在教學小數乘法這一課時，要先明確“先按整數乘法算出積，再看因數中有幾位小數，因數有幾位小數就從積的右邊起數出幾位，點上小數點，數位不夠的添0 補足”這只是小數乘法的算法，并不是其算理。想讓學生明白小數乘法為什么要這么算，則必須要講清楚為什么“因數有幾位小數就從積的右邊起數出幾位，點上小數點”。在實際教學中，可以通過平時購物問題進行引入，如一個風箏3.5 元，買3 個要多少元？此時可以讓學生先自己思考可以怎么算，有部分學生會選擇把3.5 元轉化成35 角來算，先算出來35 角×3＝105角，再化單位得到10.5 元。而后再立刻拋出5.6×4 這樣的不帶情境的題目，讓學生思考。此時學生已經知道了涉及小數的乘法計算實際上可以像買風箏一樣，先把小數擴大成整數去算，算完之后再縮小回來。即先算出56×4=224，然后得出5.6×4=22.4。此時教師不要著急出示算法，而是讓學生多做幾道題，如2.5×1.4、3.6×0.02 之類包含多種情況的小數乘法計算，讓學生先用自己能想到的方法算出來答案。事實上很多學生都已經知道先把小數擴大成整數，按整數先算出來，然后擴大了多少倍，最后小數乘法的積就相應地除以幾。此時學生已經理解了小數乘法的算理，而且已經初步提煉出了小數乘法的算法，教師需要做的就是讓學生分享自己的算法，并幫助他們提取出共同的要點，最后得出最為精簡的小數乘法算法：先按整數乘法算出積，再看因數中有幾位小數，因數有幾位小數就從積的右邊起數出幾位，點上小數點，數位不夠的添0 補足。采用這樣的教法，可以最大限度讓學生脫離死記硬背算法的困境，同時也是在培養學生的轉化思想。

再譬如，在教學異分母分數加減法這一課時，教師首先要厘清算理。很多教師會以為“先通分，再按照同分母分數加減法計算”是算理，實際上這只是算法，異分母分數加減法的算理核心在于要先讓分數單位相同，即“化單位”。因此，在設計引入時，可以設計類似于包含有1 噸＋20 千克這樣需要轉化數量單位的題目，喚醒學生知識體系中關于“單位不同要先轉化單位”的內容，然后再出示例題，這時候可以向學生提問：它們的分數單位分別是多少？從而讓學生意識到異分母分數不能直接相加的原因是因為單位不一樣，要像以前學習的知識一樣，先“化單位”，而分數的“化單位”，實際上就是通分。以這樣的方式教學，實際上全程都不需要講授算法，只要讓學生理解算理，學生自然而然就能自己總結出算法。

（二）“境理”相融，創設沉浸式的學習環境

所謂“境理”相融，即問題情境與所包含的算理能深度交融，讓學生能將日常生活的經驗與課堂的數學知識融合在一起，從而達到沉浸式的學習效果。米哈里·契克森米哈在他提出的沉浸理論中指出，當人們參與一項自己有能力解決但是又相對具有一定挑戰性的任務，并且由內部動機驅使的任務時，會產生沉浸狀態，即專注度很高的心理狀態。對于學生來說，進入沉浸狀態即最好的學習狀態。因此在設計問題情境時，必須要全面考慮學生的已有知識和課堂學習目標之間的聯系，把學習目標分層次細化，讓學生一個一個目標由易到難地達到不同目標。

譬如，在教學解簡易方程第一課時的時候，可以創設一個天平的情境：左邊擺放有一個小木塊和一個5g 的砝碼，右邊放4 個5g 的砝碼。然后提問學生：如果我想把小木塊的重量稱出來，應該怎么操作？此時可以讓學生上臺操作天平，學生會兩邊同時拿掉一個5g 的砝碼，從而得出一個小木塊的重量是15g。通過這個過程，學生就能很直觀地感受到本節課的兩個知識點：①形如x+a=b 的方程的解法；②方程的解的形式總是將未知數單獨放在一邊。而后，再讓學生借助天平完成隨堂的練習，進一步加深對這一課時所包含的方程的解法的理解。在遇到如x-15=5 的方程的時候，可以讓學生小組討論，怎么樣用天平表示出這一方程，這一情況稍難一點，但是仍處于學生的能力范圍內，更能促進學生進入沉浸狀態學習。在經歷過這個教學情境后，學生對簡易方程的解法就有了更深層次的理解和記憶，能通過回憶這個操作的過程自己得出簡易方程的解法，而不是僅僅死記硬背。

再譬如，在教授分數與除法這一課時的時候，可以依據教材中分月餅的情境進行改編和拓展：首先是1 個月餅平均分給4 個人，每人分得多少個？此時根據平均分和分數的意義，學生比較容易就能得出1÷4=（個）。然后再出示：那3 個月餅平均分給4 個人，每人分得多少個？學生大部分都能根據平均分的意義列出式子3÷4，但是不太確定得數到底怎么表示，因此教師需要準備好學具（小圓片）讓學生自己操作分一分，并互相交流想法。學生中出現有將每個小圓片平均分成4 份，然后從各個小圓片各拿1 份湊成份時，應當讓學生進行匯報。而后繼續出示有4÷5、8÷6 的情境，讓學生繼續嘗試去分一分。此時大部分學生通過動手操作都能正確分對，而且在操作的過程中逐漸地明白除數是幾就相當于把單位“1”平均分成幾份，因此除數會“變成”分母；被除數是幾，就要從幾個小圓片中各拿一份，也就是有幾個分數單位，因此最后的得數被除數總會“變成”分子。通過這樣的操作過程，學生自己就能總結得出被除數÷除數=，教師只要輔助學生提起總結出他們算法的共同點，自然就提煉出本節課的算理。

（三）數形結合，借助幾何直觀搭建橋梁

數是抽象的，形是具體的。根據皮亞杰的認知發展理論，7—12 歲的兒童的認知發展處于具體運演階段，在這一階段，兒童的思維已具有可逆性和守恒性，但這種思維運演還離不開具體事物的支持。對于數學教學來說，即我們在講授算理的時候，需要更多地借助幾何直觀來輔助學生理解算理。

高年級的學生，其認知發展階段開始過渡到形式運演階段，因此，在借助幾何直觀時，可以采用更簡潔的幾何直觀形式，比如線段圖或一些簡易圖形。在講授分數乘分數這一課時的時候，我們可以采用長方形這一幾何圖形來輔助學生理解算理。譬如計算相當于先把單位“1”平均分成3 份，取其中的2 份；然后是指涂色部分的，實際分完之后可以發現，最后相當于把單位“1”平均分成了3×5＝15份，取其中的2×3＝6 份，即。之后還可以讓學生繼續進一步用同樣的方法驗證其他的算式，最后小結得出分數乘分數的算法：分母相乘作為積的分母，分子相乘作為積的分子。在學習這一課時后的一段時間內，也應繼續讓學生先畫圖再計算，加深對分數乘分數的算理理解。

結語

小學數學計算教學是小學數學教學中的一個重要組成部分，在實際課堂教學中，學生也往往會有很多不同的想法和觀點，以及千奇百怪的疑問。作為教師，在面對學生的不同想法以及疑問時，應當予以適當的鼓勵并引導學生往正確的方向上進行思考，而不是一味著急地把結論告訴學生。小學數學計算中，算理與算法的教學很容易就會陷入到停留在算法層面教學的局面，因此，作為教師，我們更應明確我們要培養的是具有自主思考、自主探究、自主學習能力的學生，而不是讓學生對數學只知其然不知其所以然，甚至不愿知其所以然。今后的教學，我們更應主動反思，在算理與算法的教學中，是否做到了“算理為魂，算法為形”，努力使自己的課堂成為有血有肉、有形有魂的，學生感興趣的課堂。