新高考評價體系下數學I 卷壓軸題剖析與價值指引
——以“2021 年全國新高考數學I 卷第22 題”為例

王淼生

（1.廈門第一中學，福建 廈門 361003；2.福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350025）

隨著《中國高考評價體系》的實施，一線教師既要全面把握宏觀層面：新高考評價體系下的“為什么考”的“一核”及“考什么”的“四層”外，更要密切關注微觀視角：“怎么考”的“四翼”［1］.毋庸置疑，高考壓軸題，尤其導數綜合試題永遠是高中數學教師研究的重點.本文通過對2021 年新高考數學I 卷第22 題的剖析，凸顯命題專家在導數壓軸題中有效落實考查要求中的“四性”——基礎性、綜合性、應用性及創新性，從代數層面給出多種解答，揭示試題幾何背景，詮釋問題本質為極值點偏移，追尋專家命制導數壓軸題的歷程，彰顯高考的引導、導向作用，為以后的教育教學及命制試題指明方向.

一、重現高考真題——落實高考評價體系

2021 年全國新高考數學I 卷第22 題（導數壓軸題）如下：

已知函數f(x)=x(1-lnx).

（I）討論f(x)的單調性；

（II）設a，b為兩個不相等正數，且blna-alnb=a-b，證明：2 <

評注：本題短小精悍，內涵豐富.主要考查函數定義域、單調性、導數、極值點偏移及不等式證明等重要知識，突出考察代數變形、推理論證等數學能力，重點滲透轉化與化歸、函數與方程、數形結合等數學思想，著力提煉換元、構造、分析、綜合等數學方法，逐步提升邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養，全面落實高考評價體系“四翼”要求.

二、基于代數視角——培養邏輯推理素養

（一）對于（I）而言——凸顯“四性”中的“基礎性”

對函數f(x)=x(1-lnx) 求導可得f′(x)=-lnx.可以得到f(x)在(0,1)上為單調遞增函數，f(x)在(1,+∞)上為單調遞減函數，如圖1 所示.

圖1

評注：函數單調性（或單調區間）屬于函數最基本的性質.求導是判斷函數單調性最基本的方法.命題專家將單調性（或單調區間）設置為導數綜合試題第（I）問，呈現低起點、易入手、多得分、好心態、建橋梁的特點.低起點是為了鼓勵所有考生敢于下筆.不含參數容易入手，是為了激勵所有考生能夠下筆.多得分是為了獎勵勤奮好學的考生，實現人人都可以學到相應的數學.好心態是為了勉勵所有考生熱愛數學，消除恐懼壓軸題而直接放棄的心理.建橋梁是指第（I）問為第（II）問鋪路搭橋，既能拾級而上，又能各顯神通，優化思維品質，發展學生智力，磨礪考生敢于創新的意識，善于創新的能力，凸顯新高考評價體系下的“四性”之一的“基礎性”中的“基”的本質含義：基礎知識、基本性質、基本方法、基本路徑、基本得分、基本分值、基本思想、基本功能.

（二）對于（II）而言——彰顯“四性”中的“綜合性”“創新性”

至此，已知條件：m(1-lnm)=n(1-lnn)與求證結論：2

設0

（1）先證明：m+n>2.

分析1（分析法、綜合法與構造法）：

這正是②式.

分析2（分析法、同構法與構造法）：

將④代入③式右邊并整理得到

⑤式兩邊結構相同，于是構造同構函數：g2(x)=x2-2xlnx，則上述⑤式等價于

g2(n) >g2(m).

由于o

分析3（結論法、放縮法與綜合法）：已知條件為等式m(1-lnm)=n(1-lnn)，而求證結論為不等式m+n>2，適當放縮是實現等式向不等式轉化的有效途徑.我們可以將熟知不等式：lnx≤x-1 進一步加強為以下結論（限于篇幅，證明過程略）：

必須指出圖1 正是這樣得到的，否則難以畫出精準的圖1.其實，我們應該也必須承認：平時不少作圖或多或少借助了極限（即圖形走勢）概念，其本質就是洛必達法則.

分析6（變量法、分析法與構造法）：因0 1）代入①（引入新變量t，將問題轉化為關于t的函數，這是處理極值點偏移問題的常見策略）可得

分析8（分類法與構造法）：由于0

（i）當1

構造函數：g9(x)=2x-xlnx-e，求導可得g′9(x)=1-lnx>0，則g9(x)在(e-1,e)上遞增，于是g9(x)

評注：本題是一道融極值點偏移、同構變換、構造函數與不等式證明于一體的經典案例.回顧上述分析1 至分析8 的邏輯推理過程，既包括同一層面、橫向的觸類旁通，又連接不同層面、縱向的融會貫通，還揭示極值點偏移問題隱藏的解題規律，處處體現分析法、綜合法、放縮法、同構法、構造法等數學方法的完美結合，將新高考評價體系下的“四性”之一的“綜合性”中的“綜”刻畫得淋漓盡致.尤其分析3 的加強結論、直搗黃龍與分析8 的巧妙拆分、各個擊破，以發散思維、逆向思維、創新思維，將新高考評價體系下的“四性”之一的“創新性”中的“新”演繹得賞心悅目.

值得說明的是，上述①還可以等價變形為：

三、揭示幾何背景——培養直觀想象素養

數學是研究代數與幾何的一門科學，上述論證方法都是側重代數視角，若從幾何視角該如何考察呢？由圖1 及第（I）問的結論可知函數f(x)在（0,1)上單調遞增，在(1,e)上單調遞減.通過作圖發現：當x∈(0,1)時，函數f(x)圖象恒在經過點O(0,0)與A(1,1)的直線y=x的上方，即x(1-lnx) >x；當x∈(1,e) 時，函數f(x)圖象恒在點B(e,0)處的切線y=e-x的下方，即x(1-lnx)

圖2

評注：數缺形時少直觀.史寧中先生認為，在大多數情況下，數學的結果是“看”出來，而不是“證”出來的，這是對培養直觀想象素養的最佳詮釋.正如數學教育家克萊因感嘆：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上.”命題專家正是憑借直觀圖形的靈感，從而命制出這道經典試題.

四、堅守極值點偏移——培養數學建模素養

求證結論：

上述⑩式意味著什么呢？如圖3 所示，這正是典型的極值點偏移問題，且極值點偏移在1（即為函數f(x) 增減區間的分點）與（即為直線y=x與y=e-x交點的橫坐標）之間.極值點之所以產生偏移，就是源于函數圖象增減速度不同而形成.事實上，由第（I）問的結論及圖3 可知，函數f(x)=x(1-lnx)在(0,1)上為單調遞增函數且增速快，在(1,e)上為單調遞減函數且減速慢，因此極值點1 偏左，故有1-m2.盡管函數f(x)=x(1-lnx)只有一個零點e，但由前面的分析可知，我們也可以將0 看作另一個“ 零點”，于是同樣由圖可以看出，即m+n

圖3

事實上，借助三階導數也可以確定極值點偏移情況.

正是因為三階導數恒為正數，說明極值點1 向左偏移.由圖2 可知，作直線y=p（0

m

?m+n

評注：《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》將函數從代數中分離出來，并將函數作為高中數學課程四大主線（函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動）之一且排在四大主線之首，就是為了突出函數特殊地位，強調函數是高中數學的核心概念，彰顯函數是數學教學永恒主題.正如章建躍、任勇等數學名家在不同場合一再強調的，無論在函數教學上花再多時間、再多精力都是值得.極值點偏移不僅是函數與導數綜合試題中的關鍵問題，處處滲透數形結合、函數與方程、轉化與化歸等一系列思想方法，而且解決極值點偏移問題的過程本身就是數學建模過程，時時昭顯新高考評價體系下的“四性”之一的“應用性”中的“用”：應用函數與導數知識，利用各種數學方法來分析并解決問題.極值點偏移問題有利于培養邏輯推理、數學運算、數學建模、直觀想象等核心素養，這正是近些年來高考命題專家鍥而不舍地反復考查的緣由.可以預測，極值點偏移問題也是未來各級各類考試中的熱點、重點與難點.

五、追尋命題依據——引領教學方向

命題專家正是借助圖1、圖2、圖3 的直觀性，再利用函數f(x)=x(1-lnx)滿足的條件：f(m)=f(n)，然后經過適度“包裝”（此處包裝即為換元：m=并“故意”調換順序，從而得到blna-alnb=a-b.這種命題套路已經成為公開的秘密，這正是專家命題的心路歷程，恰好與我們解決問題的流程相反.［2］

2021 年全國新高考數學I 卷具有特殊意義與價值，不僅是未來命題的風向標桿，而且是今后高三復習的指路明燈.正如教育部考試中心發布的《2021 年高考數學全國卷試題評析》中所指出的：“試題突出數學本質，重視理性思維，堅持素養導向、能力為重的命題原則，穩步推進改革，科學把握必備知識和關鍵能力的關系，科學把握數學題型的開放性和數學思維的開放性，穩中求新，對深化中學數學教學改革發揮了積極的導向作用.”