考慮最大線應(yīng)變理論的多重破壞機制PMC強度模型

李曉光，周春雷，范棟玨,3，張力天，鄭益武

(1.北京科技大學(xué)，北京 100083；2.軍委機關(guān)事務(wù)管理總局工程代建管理辦公室，北京 100082；3.北京科技大學(xué)順德創(chuàng)新學(xué)院，廣東 佛山 528399)

深部開采條件下，高應(yīng)力、強擾動誘發(fā)的巖石破壞過程表現(xiàn)出明顯非線性行為和破壞機制的轉(zhuǎn)化特征，在此過程中巖石伸長、剪切及壓密屈服等多種破壞機制共生。不同圍巖下巖石表現(xiàn)出不同的破壞模式，巖石在拉力狀態(tài)或者較低壓力水平下表現(xiàn)為拉破壞，隨著壓力逐漸上升，巖石破壞模式從拉破壞向剪切破壞過渡，深部較高應(yīng)力水平下巖石破壞模式從常規(guī)剪切破壞向孔隙坍塌型破壞轉(zhuǎn)化。因此，巖石表現(xiàn)出拉破壞、剪切破壞和壓剪屈服等多種破壞模式過渡的現(xiàn)象。

PAUL[1-2]在Mohr Coulomb模型基礎(chǔ)上考慮中間主應(yīng)力的影響，提出了包含三個主應(yīng)力的表達式，并從單軸壓縮、統(tǒng)一三軸(各向同性)伸長和單軸伸長的應(yīng)力狀態(tài)確定了三個參數(shù)常量。MEYER等[3]將其發(fā)展為PMC強度準則，針對巖石材料的破壞機理轉(zhuǎn)化特征，以PMC模型為基礎(chǔ)，討論了十二邊形PMC破壞面的形狀，通過擬合兩個破壞平面來描述非線性破壞面，發(fā)展出十二面椎體PMC模型，其模型能夠觀察到隨著平均應(yīng)力的增加破壞面的形狀變化，可以表征巖石材料隨應(yīng)力條件上升由拉斷破壞向剪切破壞轉(zhuǎn)變的特征。在材料參數(shù)方面，MAKHNENKO等[4]提出了一個平面擬合方法，依據(jù)數(shù)據(jù)點和破壞面的正交距離平方和最小值進行求解；ZENG等[5]提出了采用最小二乘法擬合參數(shù)；DEHLER等[6]提出了簡化的PMC模型，假設(shè)拉伸和壓縮條件下摩擦角相同，使十二邊形PMC減少了兩個參數(shù)，僅包含四個參數(shù)。

本文研究以最大線應(yīng)變理論、PMC過渡型準則為理論基礎(chǔ)，擬合現(xiàn)場、室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)，提出適合深部巖體破壞模式過渡特征的強度理論，并能夠揭示巖體低強度破壞內(nèi)在機理。

1 PMC理論

PAUL[1-2]在1968年考慮中間主應(yīng)力的影響，提出了PMC模型；MEYER等[3]在2013年將其發(fā)展為PMC強度準則，其主應(yīng)力的表達式見式(1)。

Aσ1+Bσ2+Cσ3=1

(1)

式中：A、B、C為材料常數(shù)，表達式見式(2)～式(4)。當B=0時，式(1)變?yōu)镸C強度準則。

(2)

(3)

(4)

式中：φc、φe分別為壓縮時內(nèi)摩擦角和伸長時內(nèi)摩擦角；V0為理論三軸抗拉強度。

將三個參數(shù)代入式(1)，用兩個內(nèi)摩擦角和頂點表示見式(5)。

(5)

PMC破壞準則在主應(yīng)力空間構(gòu)建了一個有共同頂點V0的破壞面，PMC準則利用巖石材料在壓縮和拉伸時摩擦角的不同來考慮中間主應(yīng)力的影響，是一個包含三個主應(yīng)力的多軸線性破壞準則，包含的三個材料參數(shù)可通過巖石常規(guī)三軸實驗得到，PMC模型破壞包絡(luò)線如圖1所示。

圖1 PMC模型破壞包絡(luò)線Fig.1 PMC model failure envelope

圖2 十二邊形PMC模型Fig.2 Dodecagonal PMC model

2 考慮最大線應(yīng)變強度的三段線強度準則

2.1 最大線應(yīng)變理論在巖石破壞模式分析中的應(yīng)用

巖石在不同圍壓作用下表現(xiàn)出不同的破壞模式，在拉力作用狀態(tài)或者較低壓力水平下巖石主要以拉破壞為主，而不是以剪破壞為主。然而，無論是使用MC模型還是PMC模型，都只包含壓縮剪切和純剪切應(yīng)力條件下的破裂準則，而對巖石拉伸剪切條件下的破裂準則沒有表述[7]。因此，采用MC準則對拉應(yīng)力或低應(yīng)力水平下巖石破壞進行計算往往會帶來較大的誤差。針對這一現(xiàn)象，PAUL[8]將MC準則的單斜直線改為一條斜直線和一條與單軸拉伸應(yīng)力圓相切的垂直線，形成雙段線性強度曲線，即拉伸截斷準則，截斷后破壞準則如圖3所示。其中，σt為實測抗拉強度，σt0為莫爾強度包絡(luò)線計算所得的抗拉強度。由圖3可以看出，AB段巖石同時受到拉應(yīng)力和剪應(yīng)力的作用，此時其破壞仍以拉破壞為主。然而，十二邊形PMC模型能夠表征巖石材料隨應(yīng)力條件上升由拉斷破壞向剪切破壞轉(zhuǎn)變的機制，但無法對拉伸剪切作用下巖石的破壞機制進行表征。因此，需要對巖石的拉剪破壞準則進行研究，并獲得其與PMC強度理論的銜接關(guān)系。

圖3 拉伸截斷示意圖Fig.3 Schematic diagram of stretch truncation

許多學(xué)者對拉伸剪切條件下巖石的強度準則進行了研究，獲得的模型大致可以分為雙曲線模型[9-12]、拋物線模型[9,11,13]以及基于Hoek-Brown準則的模型[14-15]。但相對來說這方面的研究仍然較少，試驗數(shù)據(jù)不足，導(dǎo)致目前得出的拉剪本構(gòu)模型與破壞準則缺乏充分的依據(jù)。STACEY[16]利用最大線應(yīng)變理論試圖預(yù)測南非深層塊狀石英巖的脆性破壞機制，研究表明，對于顯示線性變形行為的材料，破壞發(fā)生可能考慮與拉伸應(yīng)變有關(guān)，巖石的拉伸應(yīng)變可由廣義胡克定律進行計算，見式(6)

(6)

式中：μ為泊松比；E為彈性模量。根據(jù)最大線應(yīng)變理論，當最小主應(yīng)力處的應(yīng)變大于臨界應(yīng)變時，巖石就會發(fā)生拉伸破壞。當ε3<0時，試樣發(fā)生拉伸應(yīng)變；當ε3>0時，試樣發(fā)生壓縮應(yīng)變。

2.2 考慮最大線應(yīng)變的三段線性PMC模型的提出

在十二邊形PMC模型的基礎(chǔ)上，添加考慮最大線應(yīng)變理論的破壞面P3，提出同時考慮拉剪破壞和壓剪破壞的三段強度公式，該模型用三個主應(yīng)力可以表示為式(7)。

(7)

式中，A′、B′、C′為材料常數(shù)。

對于破壞面P3(最大線應(yīng)變理論)，根據(jù)廣義胡克定律，可以得到破壞條件見式(8)。

ε1orε2orε3=εc

(8)

式中，εc為臨界應(yīng)變，表達式見式(9)。

εc=-σt/t

(9)

式中：σt為抗拉強度；μ為泊松比；E為彈性模量。

當σⅢ-μ(σⅠ+σⅡ)<0時，巖石處在拉伸破壞及拉伸破壞至剪切破壞過渡段。根據(jù)最大線應(yīng)變理論，當εⅢ=εc時，巖石發(fā)生拉伸破壞，符合式(10)。

-σt=σⅢ-μ(σⅠ+σⅡ)

(10)

由式(9)和式(10)可得式(11)。

(11)

圖4 最大線應(yīng)變理論p-q平面示意圖Fig.4 p-q plane diagram of maximum linear strain theory

(12)

采用分段線性方式擬合破壞曲線，獲得考慮最大線應(yīng)變的PMC強度公式，在p-q平面內(nèi)，其公式可以表示為式(13)。

(13)

式中，n為破壞機制序號。

當n=1時回歸為常規(guī)PMC模型，n=2時為十二邊形PMC模型，n=3時為通用多機制破壞模式下強度模型。若n=1，且bc=be時，回歸為常規(guī)Mohr-Coulomb強度公式。

2.3 三段線性PMC模型參數(shù)獲取

ZENG等[5]基于在p-q平面的應(yīng)力不變量關(guān)系的轉(zhuǎn)換提出了一種新的擬合方法。本文基于該方法進行三段線性PMC模型參數(shù)獲取方式的推導(dǎo)。在一個π平面中任何給定的應(yīng)力狀態(tài)都可以在柱坐標中(rθ，θ，ρ)表示。圖5為當p=0時，PMC破壞面在π平面中的示意圖。

圖5 當p=0時，PMC破壞表面在π平面示意圖Fig.5 Schematic diagram of PMC failure surface inπ plane in polar coordinate and orthogonal coordinate system when p=0

截距bθ需要進行定義，bθ和rθ之間建立一種聯(lián)系。破壞包絡(luò)線y=kx+rc在直角坐標系中用rθ和θ表達式見式(14)。

rθcosθ=k×rθsinθ+rc

(14)

在π平面中k是直線的斜率，則rθ見式(15)。

(15)

在任何π平面中，rθ與qθ的關(guān)系可以通過第二應(yīng)力不變量J2得到式(16)。

(16)

多軸線中qθ=bθ，軸對稱壓縮線中qθ=bc，軸對稱伸長線中qθ=be。因此rθ可以表示為式(17)

(17)

將式(17)代入式(15)中，可以得到bθ，見式(18)。

(18)

在p-q平面中，式(18)代表截距bθ的一種函數(shù)關(guān)系，未知變量k需要確定。在π平面中，破壞線經(jīng)過軸對稱伸長點(rθ=re,θ=60°)，式(15)可以表達為式(19)。

(19)

(20)

將式(20)代入式(19)，可得式(21)。

(21)

得知bθ和k的表達式，p-q平面中PMC準則的一般方程式(21)可以表達為式(22)。

(22)

根據(jù)式(22)，可以使用軸對稱壓縮、伸長和多軸測試數(shù)據(jù)，通過每種條件下的θ和來構(gòu)建一個線性方程組，θ在幾何學(xué)上等于洛德角，但也會有差異。最初洛德角的定義是從-30°到30°，但是坐標系統(tǒng)中是從0°到360°，但是0°到60°已經(jīng)足夠用于各向同性的表達。θ=0°是軸對稱壓縮，θ=60°是軸對稱伸長，多軸應(yīng)力狀態(tài)的θ值可以通過主應(yīng)力計算得到式(23)。

(23)

軸對稱和多軸條件下強度數(shù)據(jù)表示為(σⅠ,σⅡ,σⅢ)， 帶入式(22)可計算出每個應(yīng)力狀態(tài)的p、q、θ，利用這三個參數(shù)，生成線性方程組A×x=B見式(24)。

(24)

式中：A為矩形數(shù)據(jù)矩陣；x為參數(shù)向量；B為數(shù)據(jù)向量。

采用最小二乘法求解方程式(24)，獲得bc/V0、k和bc。根據(jù)p-q平面中的軸對稱壓縮和延長線的表達式，求得φc和φe見式(25)。

(25)

在p-q平面中，PMC準則用兩個內(nèi)摩擦角和頂點V0表示，可以寫為式(26)。

(26)

式中：q為廣義剪應(yīng)力；p為平均應(yīng)力；θ為應(yīng)力洛德角(以最大主應(yīng)力所在軸為0°)；φc為三軸壓縮狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角；φe為三軸伸長狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角；V0為三向等拉狀態(tài)下的假設(shè)強度；n為破壞機制組別(只有剪切破壞時n=1，考慮拉伸-剪切過渡段時n=2，同時考慮低壓條件下最大線應(yīng)變-過渡段-剪切應(yīng)變時n=3)。

3 多重破壞機制強度的PMC模型試驗研究

3.1 試驗條件

以四川黃砂巖和金川二礦區(qū)深部花崗巖為試驗對象，采用朝陽TAW-2000微機控制電液伺服巖石三軸試驗機(圖6)和北京科技大學(xué)地應(yīng)力測量實驗室自主研發(fā)的便攜式自密封巖石三軸試驗高壓艙加壓系統(tǒng)(圖6)進行高壓三軸壓縮試驗。

圖6 試驗加載設(shè)備Fig.6 Test loading equipment

花崗巖與砂巖試樣制備參考《水利水電工程巖石試驗規(guī)程》(SL 264—2020)中的相關(guān)規(guī)定，制備獲得Φ30 mm×60 mm的標準巖石力學(xué)試件(圖7)。

圖7 制備的巖樣Fig.7 Prepared rock sample

本文中常規(guī)三軸試驗依賴兩個獨立的加載系統(tǒng)，因此不能利用系統(tǒng)設(shè)置來進行軸壓與圍壓的同時同速率加載。為保證準靜態(tài)條件，減小試驗誤差，采用軸壓、圍壓分別獨立的階梯加載方式，階梯加載見表1。試驗過程中軸向加載過程中先采用應(yīng)力控制，加載速率為100 N/s，當加載到靜水壓力狀態(tài)后保持徑向壓力在試驗過程中不變，然后以相同加載速率軸向加載至峰值強度的50%左右切換為變形控制，加載速率為0.03 mm/min。試驗中圍壓加載過程中先采用粗控制，加載速率為1 MPa/s，當加載到靜水壓力狀態(tài)前5 MPa后，采用微調(diào)控制手輪進行精控制，加載速率為0.2 MPa/s。

表1 階梯加載軸向荷載與軸向應(yīng)力對照Table 1 Comparison of axial load and axial stress under step loading

3.2 試驗結(jié)果

通過上述階梯式加載的試驗方案對四川黃砂巖和金川花崗巖進行高圍壓常規(guī)三軸試驗，其中，四川砂巖三軸壓縮試驗在0～170 MPa之間設(shè)置了16組不同的圍壓，金川花崗巖三軸壓縮試驗在0～160 MPa設(shè)置了13組不同圍壓。試驗過程中典型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖8所示(以部分花崗巖數(shù)據(jù)為例)，試驗獲得砂巖和花崗巖峰值強度隨圍壓的變化曲線如圖9所示，試樣破壞形態(tài)如圖10和圖11所示。 由圖8～圖11可以看出，四川黃砂巖與金川花崗巖隨著圍壓增加，其破壞模式表現(xiàn)出相似的規(guī)律：在低圍壓狀態(tài)下破壞時，以剪切破壞為主，破壞面角度隨著圍壓的增大而呈現(xiàn)減小的趨勢；在較高圍壓時，角度依然在變小，慢慢呈現(xiàn)壓剪破壞的趨勢。

圖8 常規(guī)三軸壓縮試驗曲線Fig.8 Conventional triaxial compression test curve

圖9 常規(guī)三軸壓縮試驗結(jié)果Fig.9 Results of conventional triaxial compression test

圖10 四川黃砂巖破壞形態(tài)Fig.10 Failure modes of Sichuan yellow sandstone

圖11 金川花崗巖破壞形態(tài)Fig.11 Failure modes of Jinchuan granite

3.3 多重破壞機制強度的PMC模型適用性驗證

1)n=1時(僅考慮剪應(yīng)力控制段)。以Berea砂巖實驗數(shù)據(jù)進行分析，實驗數(shù)據(jù)見表2。圖12為p-q平面中擬合破壞面和實驗數(shù)據(jù)(常規(guī)三軸壓縮實驗和常規(guī)三軸伸長實驗)的對比圖。q的負軸表示三軸伸長實驗，q的正軸表示三軸壓縮實驗，PMC準則擬合結(jié)果與實驗結(jié)果吻合度較高，且常規(guī)三軸壓縮實驗的摩擦角小于常規(guī)三軸伸長實驗的摩擦角。φc和φe的差異可說明中間主應(yīng)力的影響。

圖12 Berea砂巖實驗數(shù)據(jù)對比Fig.12 Comparison of experimental data of Berea sandstone

表2 PMC模型擬合結(jié)果數(shù)據(jù)Table 2 PMC model fitting result data

2)n=2時(考慮拉伸-剪切過渡段和剪應(yīng)力控制段)。對金川花崗巖試樣實驗數(shù)據(jù)進行分析，為了保證V0(1)≥V0(2)，選擇p≥200 MPa為第一段區(qū)域，p≤200 MPa為第二段區(qū)域進行六參數(shù)的PMC模型擬合，擬合結(jié)果見表3。圖13為p-q平面中花崗巖六參數(shù)PMC模型，由圖13可以看出， 花崗巖強度表現(xiàn)出了明顯的分段線性特征，該特征可通過六參數(shù)PMC模型進行擬合。然而，由于缺少三軸拉伸試驗數(shù)據(jù)，該模型僅適用于巖石拉伸剪切的過渡階段，無法對花崗巖拉伸破壞模式進行表征。

圖13 花崗巖在p-q平面上的六參數(shù)PMC模型Fig.13 Six parameters PMC model of granite on p-q plane

表3 金川花崗巖PMC模型的六個參數(shù)Table 3 Six parameters of Jinchuan granite PMC model

3)n=3時(考慮線應(yīng)變控制段-過渡段-剪應(yīng)力控制段)。對四川黃砂巖試樣實驗數(shù)據(jù)進行分析，擬合結(jié)果見表4。圖14為p-q平面中PMC擬合破壞面和實驗數(shù)據(jù)對比圖。由圖14可以看出，黃砂巖強度表現(xiàn)出了較為明顯的分段強度特征，此特征符合多重破壞機制影響下強度規(guī)律。

表4 砂巖多破壞機制影響下強度參數(shù)Table 4 Strength parameters of sandstone under the influence of multiple failure mechanisms

圖14 黃砂巖強度多重機制破壞強度擬合Fig.14 Fitting of failure strength of yellow sandstone with multiple mechanisms

4 結(jié) 論

1) 基于PMC模型基本原則和最大線應(yīng)變理論，提出了考慮包含最大線應(yīng)變、最大剪應(yīng)力破壞機制的分段線性強度準則。該強度準則考慮線應(yīng)變控制段-過渡段-剪應(yīng)力控制段三階段強度，每階段由控制性強度線決定強度大小。

2) 為統(tǒng)一表征單獨破壞機制、雙重破壞機制、多重破壞機制影響下強度過渡特征和數(shù)學(xué)表達方式，基于PMC基本強度參數(shù)與π平面應(yīng)力關(guān)系，考慮強度準則在應(yīng)力空間適用性要求，提出了廣義剪應(yīng)力、平均應(yīng)力及應(yīng)力洛德角為參量的的多破壞機制影響下強度準則的不等式統(tǒng)一形式。Mohr-Coulomb準則、PMC準則、十二邊形PMC準則均為其特例。

3) 通過Berea砂巖、金川花崗巖和四川黃砂巖試驗數(shù)據(jù)，分別對多重破壞機制PMC強度模型n=1(僅考慮剪應(yīng)力控制段)，n=2(考慮拉伸-剪切過渡段和剪應(yīng)力控制段)和n=3(考慮線應(yīng)變控制段-過渡段-剪應(yīng)力控制段)的情況進行擬合。 結(jié)果表明，巖石強度表現(xiàn)出了較為明顯的分段強度特征，符合多重破壞機制影響下強度規(guī)律，從而驗證了多重破壞機制PMC強度模型對于巖石材料的適用性。