基于Markov鏈光伏儲能模型的傳輸功率可用性評估

劉 飛，李雪男，張祥成，許德操，彭 飛，孫 昕

（1.國網青海省電力公司經濟技術研究院，青海 西寧 810000；2.清華四川能源互聯網研究院，四川 成都610000；3.國網青海省電力公司，青海 西寧 810000）

0 引言

由于晝夜交替和天氣變化，光伏發電（Photovoltaic，PV）具有很大的不確定性。儲能裝置[1]，[2]對于平抑電網負荷波動、保證電網運行穩定性具有重要意義[3]。光伏發電和儲能系統的組合將光伏系統從基于純電力的瞬時發電系統轉換為基于能源的可調度發電能源系統。為了實現一定的輸出功率目標，必須量化儲能裝置中的充放電循環。

國內外學者已對光伏發電廠儲能問題進行了大量研究。文獻[4]～[6]使用多年的太陽輻射數據的月平均日值和負載確定電池的尺寸，即用月平均日值表示的容量補償電網無法滿足負荷需求的時間。該方法雖然簡單，但天氣條件或負載需求的巨大變化可能導致儲能電池尺寸過大或系統成本增加。文獻[7]～[10]利用歷史數據和實驗數據，將日照和負荷需求設為隨機變量進行建模，估算出負載運行時間內未滿足負載需求的時間，并基于電力系統的最小成本計算出電池和光伏組件的最佳尺寸，但并不能給出光伏發電滿足負載需求的概率。

為解決光伏發電系統中的供電不平衡問題，本文基于Markov鏈儲能模型[11]對光伏儲能系統充電和放電循環進行建模，測量光伏儲能系統為電網負載供電的概率，進而評估使光伏發電達到所需可用性水平的最佳儲能規模。建立的模型不僅能實現更有效的儲能規模和整體電網資產規劃，還可以防止過度循環導致的電池壽命縮短以及電池成本升高。

1 Markov鏈儲能模型的建立

設S為所有PV源的集合，若Xi為第i個PV源提供的功率，則PV源提供的總功率Xr可以表示為

光伏儲能系統可用性A可定義為光伏發電廠能夠向負載提供足夠的電能并為儲能裝置充電的概率，即：

式中：P為條件概率：L為光伏系統提供的負荷功率。

由于發電可用性應大于所需負載可用性，當光伏組件用作唯一的發電源時，如果沒有儲能，就無法滿足可用性需求。

通常會基于PV日照數據對存儲容量進行計算。文獻[12]中使用Markov鏈模型將可用性和存儲容量聯系起來，模型如圖1（a）所示。僅考慮相鄰狀態之間的單位時間內能量轉換，每個整數代表一種荷電狀態（State of Charge，SOC），狀態1表示完全放電狀態，狀態N表示完全充電狀態。僅考慮相鄰狀態之間的轉換意味著L假定為常數，隨機變量Xr取值只要兩個，但這不符合實際。因此，本文對該模型進行了拓展，允許（Xr-L）在一個有限集合中取值。

圖1 基于Markov鏈的電池狀態轉換Fig.1 Markov-chain-based battery state transition

本文提出的Markov鏈模型如圖1（b）所示。該模型考慮了多種可能的狀態變化，更符合電池的充放電特性。特別地，對電池狀態轉換進行了建模，在每個時間步中，每個狀態中有M個轉換。圖中：k11和kNN分別為在下一時間步保持狀態1和狀態N的概率；pi為狀態之間的轉移概率，其中i為觀測狀態。例如：p1是向相鄰狀態的過渡，每單位時間內存儲到蓄電池的功率為Δ；而p-1是向相鄰狀態的過渡，每單位時間內從蓄電池中獲取的功率為Δ。此外，（Xr-L）的狀態擴展為

假設充電和放電過程是線性的，那么存儲容量C可以表示為

式中：T為能量交換的時間，因為假設狀態1表示電池中沒有存儲能量時的狀態，并且需要M=N-1達到狀態N（電池在其最大SOC下的狀態），在連續過渡到相鄰狀態中，單位時間內有ΔE的能量轉移，即每個過渡涉及的功率等于Δ。

為了更詳細地分析圖1（b）中所示的Markov鏈，假設D為在時間T內傳輸到電池單位時間內的預期能量，則有：

式中：Xt為t時的能級；Xt+1為1 s后的能級；Dt為1 s內向蓄電池存儲或獲取的能量，即Dt=DT，T=1 s。

由圖1（b）中的Markov模型所產生的電池充放電過程的轉移概率矩陣為

式（7）的矩陣大小為N×N，其中，N為電池充電/放電過程被量化的狀態總數，pi由光伏發電和負荷分布直方圖獲得。式（8）～（11）使用Markov鏈特性進行評估，表示任意行總和等于1。此外，在穩態下極限概率可表示為[13]

其中π符合穩態分布。極限概率表示每個狀態結束時的預期概率。極限概率已知后，可求取失負荷概率（Loss of Load Probability，LOLP）。LOLP是指電池處于SOC時在Markov鏈中過渡到完全放電狀態無法滿足i個單位功率Δ的概率。用πE表示光伏儲能系統不能滿足負載的概率，則特定儲能容量的LOLP可確定為

舉例說明如何使用式（13）確定LOLP。假設狀態5的轉移概率如式（14）所示，可以聯立式（7）～（11）來確定一步轉移概率矩陣，結果如式（15）所示。

將式（14）中的參數分別帶入式（12）中，可得極限概率結果，如式（16）所示，進而可得πE結果，如式（17）所示。

2 Markov鏈儲能模型的實現

能量存儲容量和可用性之間關系的完整計算過程流程圖如圖2所示。首先使用蒙特卡洛方法，根據太陽光入射功率和負荷分布的概率密度函數，生成日間光伏功率和負荷的隨機值；然后生成光伏組件產生的功率與負荷消耗的功率之間的差值直方圖。直方圖顯示了一定能量值轉移發生的頻率。利用直方圖，以轉移概率為輸入，求出一步轉移概率矩陣，并計算極限概率；最后，對不同尺寸的儲能裝置的可用性和儲能容量進行評估，建立這兩個指標之間的關系。

圖2 可用性計算過程流程圖Fig.2 Block diagram of an availability calculation process

2.1 隨機值生成

①PV輸出功率隨機值生成

光伏發電數據從某一光伏發電廠獲得，時間為1-7月，每天7：00-19：00，間隔5 min。如圖3所示，光伏入射功率的最大值約為1 kW/m2。為了得到光伏入射功率的概率密度函數，生成了頻率分布直方圖，如圖4所示。由圖4可見，直方圖滿足式（18）的指數分布。

圖3 1-7月每天7：00-19：00的光伏發電功率Fig.3 Incident PV power collected from 7：00-19：00 for 1-7 months

圖4 圖3 中光伏入射功率直方圖Fig.4 Histogram of incident PV power from Fig.3

使用Matlab對圖4進行擬合，可得到率參數λ=0.003 8。使用蒙特卡洛方法，根據式（18）中的概率密度函數生成隨機值。在蒙特卡洛方法中，假設在10 a內每5 min測量一次光伏入射功率，則會生成100多萬個隨機點，這些隨機點的直方圖如圖5所示。可見，圖5和圖4中的直方圖形狀近似。用生成的光伏入射功率隨機值以及光伏組件的市場規范可以估算光伏發電廠的輸出功率。例如，某個250 W光伏板的效率為15.3%，面積為1.51 m2[14]。假設光伏發電廠中有該型號的光伏板10 000塊，則總容量為2.5 MW，面積為15.1 km2。通過計算，該光伏發電廠在7：00-19：00將產生608.22 kW（標準偏差為618.35 kW）的平均功率。

圖5 λ=0.003 8時的光伏入射功率隨機值直方圖Fig.5 Histogram of the generated random values of incident PV power（λ=0.003 8）

②負載隨機值生成

為了確定單位時間內的總能量傳輸，本文采用負荷曲線與光伏發電曲線相結合進行計算。負荷數據集是從文獻[15]中獲得的，為期1 a。負荷曲線如圖6所示。可見，每戶1 d的平均用電量為17.62 kW·h。

圖6 1 a內每戶的平均電能使用量Fig.6 The average energy usage per household for 1 year

圖7和圖8分別顯示了每戶白天（7：00-19：00）和夜間（19：00-7：00）的負荷功率直方圖。可以看出，白天的負荷功率總體大于夜間。而且圖7和圖8符合式（19）中所示的瑞利分布，用Matlab可得標準差σ白天=0.577 2，σ夜間=0.501 3。

圖7 白天負荷直方圖Fig.7 Histogram of the incident load during daytime

圖8 夜間負荷直方圖Fig.8 Histogram of the incident load during nighttime

根據上述瑞利分布，生成了100多萬個隨機負載值，與光伏入射功率隨機值的數量相同。圖9和圖10分別顯示了每戶生成的白天和夜間的負載隨機值直方圖。

圖9 σ白天=0.577 2，白天負載隨機值直方圖Fig.9 Histogram of the generated random values（σdaytime=0.577 2）of incident load during daytime

圖10 σ夜間=0.501 3，夜間負載隨機值直方圖Fig.10 Histogram of the generated random values（σnighttime=0.501 3）of incident load during nighttime

2.2 傳輸功率計算

假設有300戶家庭作為負載，白天平均功耗為238.37 kW（標準差為56.16 kW），夜間平均功耗為202.14 kW（標準差為66.18 kW），連接到容量為2.5 MW的光伏發電廠，可以通過隨機生成的光伏入射功率（PPV）減去隨機生成的負載值（P負荷）得到功率傳輸（P傳輸）。

為了得到用戶一整天的充放電過程，將圖9和圖10中的負載值相加，負荷數據結果如圖11和式（20）所示。

圖11 用戶一整天的負荷隨機值直方圖Fig.11 Daily load random value histogram of each household

顯然，將兩個獨立的負荷數據集結合起來會產生更大的負荷值，這在現實中是不可能觀察到的，但可以解釋為光伏發電廠不僅在白天滿足負荷需求，而且還提前儲能以備夜間使用。假設PV和負載的100多萬個數據值足以模擬該充放電過程，則蒙特卡洛模擬能夠使用式（20）進行功率傳輸分布估計。圖12為用于功率傳輸生成的隨機值直方圖。由圖可見，為儲能系統充電的最大功率約為2 300 kW，電池放電的最大預期功率約為1 000 kW。

圖12 2.5 MW光伏發電廠和300戶家庭負荷之間產生的功率傳輸隨機值直方圖Fig.12 Histogram of the generated random values of power transfer between the 2.5 MW PV power plant and 300 housing load

一方面，光伏儲能系統可自動或作為電網集成系統的一部分與多個電源一起向負荷供電。在自主操作的情況下，所提出的模型可以直接應用；另一方面，當光伏儲能系統接入電網時，電池完全充電時，會向電網提供額外的電能；當光伏儲能系統沒有足夠的電能滿足需求時，電網會為負載供電。因此，當光伏系統并網后，P＇傳輸=（PPV-P負荷）+P電網。

2.3 轉移概率

可用圖12計算式（7）的轉移概率pi，因為pi可以通過功率傳輸值的點總數除以樣本點總數來確定。假設不考慮任何傳輸損耗，且式（4）中的Δ和N分別為20 kW和151，可得式（7）中的一步轉移概率矩陣為

2.4 極限概率

得到一步轉移概率矩陣后，通過式（12）得到極限概率為

極限概率顯示了任意時間點Markov鏈模型中處于每個能級的狀態的概率。在式（22）中，π151為0.305，表示處于儲能系統滿能級狀態的概率為0.3 05。

2.5 可用性與儲能容量的關系

式（13）使用極限概率和一步轉移概率矩陣來求πE。由于πE表示光伏儲能系統不能滿足負載的概率，因此可用性可通過下式進行計算：

由于極限概率將隨著儲能容量的變化而變化，而πE計算與極限概率有關，因此，可以認為儲能容量變化會導致πE變化。當πE與儲能容量的關系已知時，由式（4）可知，通過改變狀態數N來改變儲能系統容量，可以找到光伏系統可用性與儲能容量之間的關系。假定式（4）中的Δ，N和T分別為20 kW，151和1 h時，儲能容量為3 MW·h。則由式（21）和式（13）可得式（23）中的可用性為0.995 1。

此外，通過大量不同容量值的計算機模擬，也可以確定可用性和儲能容量之間的關系，如圖13所示。例如，當容量為2.5 MW的光伏發電廠為300戶家庭供電并希望保持0.999 9的可用性時，使用圖13中的曲線可得所需的儲能容量約為6.336 MW·h（0.6 d×24 h×440 kW）。該結果不僅顯示了實現特定可用性需要多少儲能容量，而且還顯示了不同儲能容量如何影響可用性。

圖13 可用性與儲能容量關系曲線Fig.13 Availability versus storage capacity curve

3 儲能容量降低對可用性的影響

3.1 儲能容量降低

老化過程會導致電池的功率和儲能容量下降，這是電池不可避免的。因此，當電池作為存儲系統時，電廠的實際可用性評估需要考慮電池容量的退化。

設η為老化導致容量下降后的相對容量，則系統儲能容量可表示為

由于Δ是單位時間內與存儲設備交換的能量，式（24）可以看成Markov鏈狀態之間交換的能量以相同的容量退化率減少。令Δ＇=Δ×η，則有：

導致電池老化有3個因素：溫度、開路電壓和放電深度。為了簡化分析，只考慮由溫度引起的容量退化，如圖14所示。可以看出，環境溫度會導致容量不同程度的下降。假設光伏發電廠的電池具有與圖14中電池相同的容量退化特性，且放電深度的影響可忽略不計，則可確定可用性和溫度引起的容量退化之間的關系。

圖14 環境溫度對電池容量的影響Fig.14 Effect of ambient temperature on battery capacity

由圖14可知，在3個不同區域工作10 a的鋰離子電池產生的相對容量η分別約為0.87，0.81和0.77。當為每個位置確定Δ＇時，可以顯示溫度對容量退化的影響。圖15顯示了使用所提出的Markov鏈模型并將式（25）應用于計算過程的模擬結果，可見，每個位置的可用性都會隨著電池容量的降低而降低。這一結果表明，當容量退化后的相對容量與溫度、開路電壓和放電深度等因素的關系[16]已知時，可用性降低的程度可以使用所提出的Markov鏈模型確定。

圖15 使用所提出的Markov鏈模型計算溫度對電池容量影響的模擬結果Fig.15 The proposed Markov chain model is used to calculate the simulation results of the effect of temperature on battery capacity

3.2 充放電效率

充電和放電效率會影響光伏組件和負載與電池之間的功率傳輸量，功率傳輸效率可表示為

式中：α和β分別為充電和放電效率。

當電池為負載和光伏組件充電時，傳輸量為正；當電池放電時，傳輸量為負。特別是，1/β表明放電功率可能大于提供給負載的功率。例如，當β=0.8時，1/β=1.25，這表明蓄電池的放電功率是提供給負載功率的1.25倍。

α和β影響充、放電量。在考慮α和β后，有：

式中：α（PPV-P負荷，晝）和（1/β）（PPV-P負荷，晝）分別為白天充放、電功率；（1/β）P負荷，夜為夜間放電功率。

圖16展示了充電和放電效率如何影響功率傳輸，當電池效率降低到80%后，正功率傳輸減少，負功率傳輸增加。

圖16 不同電池效率下隨機功率傳輸值直方圖Fig.16 Histogram of random power transmission value under different battery efficiency

功率傳輸值的變化導致轉移概率pi的變化。因此，可以根據新的轉移概率確定一步轉移概率矩陣。按照第2節中的步驟，可以得到電池容量和各種效率的可用性之間的關系，如圖17所示。

圖17 不同電池效率下可用性與電池容量關系Fig.17 Relationship between availability and storage capacity under different battery efficiency

4 結論

為了量化光伏發電輸出功率的可用性，本文基于光伏儲能系統能量狀態的Markov鏈，建立了光伏組件與儲能系統之間的能量傳遞過程模型。該模型考慮了白天和夜間負荷的隨機性和白天光伏發電的隨機性，以及夜間光伏系統的確定性零輸出，然后用實際太陽光照和負荷數據對該模型進行了驗證。結果表明，所提出的Markov鏈模型可以使光伏發電變得更具有可調度性以及最佳的儲能規模，避免容量過大導致的系統成本增加或容量過小導致的可用性不足。提出的模型可以更好地幫助理解光伏儲能系統中的儲能充放電效率的發生，以及如何影響光伏發電廠的供電可用性。此外，介紹了不同工作溫度引起的電池容量下降對傳輸功率可用性的影響，導致容量退化的儲能老化過程可以應用于該模型，并通過數值計算得到了容量退化與可用性之間的關系。