核心素養導向下基于問題驅動的教學思考

［摘? 要］ 結合“函數零點存在性定理”教學難點的突破，說明如何通過問題驅動，在合適的時機提出有梯度、有層次的問題，從而實現教學難點的突破，落實數學核心素養.

［關鍵詞］ 問題驅動；函數零點存在性定理；數學核心素養

提出問題

數學概念、數學法則（公式、定理、公理等）是數學思維的細胞，是學習數學知識的基礎.每個數學概念、定理、性質的產生和發展，對培養學生的思維、提升數學核心素養有著重要作用.數學教學是“過程”教學，因此挖掘概念、定理、性質的形成過程是數學課堂的教學難點.數學課堂的靈魂是思維，思維是通過問題來展現的，問題是思維活動的原動力和牽引力，在數學核心素養導向下，問題驅動就是一種有效的突破教學難點的教學模式.

“問題驅動式教學是指以‘問題’為載體，以學生為主體、教師為主導，學生自主探究與合作探究相結合，充分調動各方面的積極因素參與課堂教學，完成教學任務的教學方式.它有利于提升學生的數學核心素養，全面落實立德樹人的根本任務.”［1］

筆者結合一次比賽課“函數零點”的教學片段，就課堂教學中如何創設問題，通過“問題鏈”驅動學生的思維“卷入”課堂，深入理解教學難點，與大家交流.

課堂教學實錄

1. 提出問題——引入定理，展示定理的形成背景，找準數學核心素養的切入點

介紹完函數零點的定義以及求解簡單函數的零點后，教師提出問題：函數f（x）=x5+x－6有零點嗎？若有，請求出零點. （學生立馬拿出計算器，但由于要解的是高次方程x5+x－6=0，學生發現計算器無法求解五次及以上的方程.）

設計意圖：一個看似非常簡單的函數零點問題卻不能用計算器求解，激發了學生的好奇心和求知欲.

師：能不能用其他的方法先判斷它有沒有零點呢？函數的零點除了與對應方程的根等價，還與對應函數的圖像與x軸交點的橫坐標等價，當我們無法進行方程求根時，我們能不能作出對應函數的圖像呢？（停頓幾秒）

設計意圖：鞏固前面的新知：函數的零點可以從數形兩個角度進行探究.數不行，就從形入手，考查學生利用函數的性質作出函數大致圖像的能力，滲透數形結合思想，培育學生邏輯思維核心素養.

師：對于一個陌生的函數，我們可以用什么方法作出其大致圖像呢？

眾生：描點法.

師：非常好，那就開始吧. （教師在學生之間巡視）

生1：我發現有零點！

師：怎么發現的？

生1（帶著自信的表情）：取三個點（0，-6），（1，-4），（2，28），用光滑的曲線連起來，圖像與x軸相交，說明該函數有零點. （由于大多數學生取的也都是這三個特殊點，因而贊成該結論.）

師：那你怎么知道這三個點之間的曲線走勢一定是這樣的呢？

設計意圖：培養學生嚴謹的數學理性精神，也是對過去所學知識、經驗的考查，同時培養學生直觀想象、數據分析等核心素養.

生2：因為f（x）是單調遞增的，所以曲線一定是光滑向上的. （底下傳來一陣掌聲）

師：非常棒！生2結合我們上一章學習的函數的性質畫圖，體現了用數學思維解決問題的能力.那大家知道該零點存在于哪個區間嗎？

眾生：（1，2）.

2. 提出難點——形成定理，探究定理背后的本質，挖掘數學核心素養的生長點

師：很好，我們能否探究出到底是什么原因導致該函數在區間（1，2）內必存在零點呢？

設計意圖：通過不停追問，抽絲剝繭，揭示教學難點背后的本質屬性.

生2：因為它的值域是R，所以一定存在x使得f（x）=0.

師：你能解釋一下它的值域為什么是R嗎？

生2：因為y=x5，y=x是奇函數，值域都是R，相加所得函數的值域還是R.

師：生2發現該函數一定存在零點，非常不容易了，但為什么零點一定在區間（1，2）內，還是沒有給出理由，大家繼續思考原因到底是什么. （給予學生充分的時間思考）

設計意圖：教師的追問與學生的思維碰撞，追根溯源，探究定理的本質，培育學生邏輯推理核心素養.

生3：因為（1，-4），（2，28）這兩點“一上一下”，所以曲線一定會穿過x軸，因此零點一定在區間（1，2）內. （其他學生恍然大悟，頻頻點頭.）

3. 突破難點——獲得定理，經歷定理的形成過程，緊扣數學核心素養的著力點

師（繼續追問）：有兩個點“一上一下”，連接該兩點的曲線一定會穿過x軸嗎？（教師畫出如圖2所示的圖像）

眾生：哦，還必須滿足這個函數的圖像是連續的.

師：對！只有函數的圖像連續不斷，當兩點“一上一下”時，函數的圖像必然會穿過x軸.這里的兩點“一上一下”，同學們能否轉化為數學符號來表示？

設計意圖：將圖形語言轉化為數學符號語言，培育學生數學抽象、直觀想象、數據分析等核心素養.

生4：坐標系中點的上下即代表函數值的正負：f（1）<0，f（2）>0.

師：很好，那大家能否歸納總結出一個函數在某區間內存在零點的充分條件？

生5：在某區間的端點值異號，曲線連續.

師（板書）：若y=f（x）在［a，b］內連續不斷，當f（a）f（b）<0時，y=f（x）在（a，b）內存在______個零點（故意留白）.

師（追問）：請問在這個區間內有幾個零點？一定是一個嗎？

設計意圖：由特殊到一般，形成定理. 培育學生數學抽象、直觀想象等核心素養，體會數形結合思想.

眾生：可以是多個（單調就一個，不單調就多個）.

師：誰上黑板畫出多個零點的情形？

生6作圖如下（如圖3所示）：

教師補充板書：至少存在一個零點.

師（用PPT展示）：若函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且滿足f（a）f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內至少有一個零點. 這就是今天我們學習的函數零點存在性定理.

4. 理解難點——定理的升華，達成定理的全面認知，夯實數學核心素養的落腳點

師：已知函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是一條連續不斷的曲線，如果f（a）f（b）>0，函數y=f（x）在區間（a，b）內就一定沒有零點嗎？

設計意圖：深入理解函數零點存在性定理的內涵與外延，掌握該定理的本質，在師生交流、反饋中完善對該定理的認知，培養學生邏輯推理、直觀想象等核心素養.

生7：不一定，可能有，也可能沒有.

師：你能作圖舉例說明嗎？

生7上黑板作圖（如圖4所示）：

師：零點存在性定理是函數存在零點的什么條件呢？

眾生：充分非必要條件.

（以下教學過程略）

案例反思

本節課的最大亮點是問題驅動教學模式，教師以一個又一個環環相扣的問題為載體，引發學生對問題進行思考、探究，達到“以問引思、以問促動”的教學效果，進而突破難點. 問題驅動教學模式的關鍵及核心是“問題”，問題設計得恰到好處，收到的效果往往也會出乎意料. 在本節課中，教師設計的問題具有以下三大亮點：

1. 提出的問題符合學生的最近發展區

選擇一個恰當的問題，創設一個好的問題背景，調動學生共同參與課堂教學是提高課堂探究活動有效性的關鍵所在. 在本節課中，教師始終圍繞與函數f（x）=x5+x－6的零點相關的問題展開教學，從該函數是否有零點，到零點存在于哪個區間，以及為什么存在于該區間，師生共同經歷了這一系列問題的解決過程，最終實現了教學難點的突破和教學目標的達成.

教師之所以選取函數f（x）=x5+x－6的零點問題貫穿教學始終，是因為該函數對應方程的根只用計算器求解是無法得到的，使得它的零點存在性問題的解決具有挑戰性，能激發學生的好奇心，給學生帶來認知沖突. 另外，高一學生的知識儲備中已有基本初等函數的簡單性質，利用描點法及該函數的單調性可大致作出其圖像，從而找到解決難點的突破口；在定理的形成過程中，利用該函數的性質去解決問題，這些都是學生“跳一跳”就可以夠得著的，符合學生在最近發展區提出問題的原理. “學生在活動中發現，在合作中增知，在‘教’與‘學’中互促互動，這對啟迪學生思維、發展數學核心素養大有裨益.”［2］

2. 提出的問題具有層次性

問題是數學的心臟，問題的層次性和遞進性是促進課堂探索活動深入展開的動力. 在本節課中，教師為了突破教學難點，精心設計了一系列層次分明的問題，由簡單到復雜，激發了學生的學習興趣，達到了教學難點逐步滲透、逐層深化、螺旋上升的教學效果. 從一開始的“f（x）=x5+x－6有零點嗎？”到“若有，零點存在于哪個區間？”到“什么原因導致零點存在于該區間呢？”到“兩點的‘一上一下’能否轉化為數學符號語言呢？”再到“如果函數在某區間的端點值異號且圖像連續，那么函數在該區間內有幾個零點？”通過問題的層次性和遞進性突破難點、獲得定理.

這一系列問題的設計坡度適宜、步步相因、環環相扣、層層相遞，一步一個臺階把問題引向深入. 解決問題的同時學生的思維也得到了錘煉，學生在問題解決中學習，在學習中產生新問題，通過問題的解決培育學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數據分析等數學核心素養.

3. 提出的問題具有合適的時機性

問題驅動式教學的關鍵就是“提問”，而提問的時機是有效提問的保證. 在本節課中，介紹完函數零點的定義以及求解簡單函數的零點后，學生輕輕松松地解決了相應問題，很有成就感，教師此時立馬提出了新問題：“函數f（x）=x5+x－6有零點嗎？”難度上升，直擊難點，問得及時且具有挑戰性，激發了學生的求知欲. 在獲得零點存在性定理后，教師并沒有讓學生的思維停滯下來，而是趁熱打鐵又拋出了新的問題：“函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續的，如果f（a）f（b）>0，就一定沒有零點嗎？”教師在學生剛獲得定理、思維處于興奮狀態時拋出了新問題，及時捕捉到了提問的時機，啟發學生繼續思考，促進學生對定理認知的升華. 既體現了學生學習的主體地位，又真正發展了學生的數學核心素養.

“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.”［3］核心素養導向下的問題驅動式教學，調動了學生學習的能動性，提升了自主學習能力，這就要求一線教師深入教學實踐，思考如何結合學情設計難度適宜、層次清晰、時機恰當的問題，通過“問什么，怎么問，何時問”把學生的思維“卷入”課堂，通過潤物無聲的滲透，在課堂實踐中培育學生的數學核心素養，在課堂實踐中落實數學核心素養.

參考文獻：

［1］? 侯有岐. 基于核心素養的高中數學問題驅動式教學實踐研究［J］. 數學教學研究，2020（02）：2-6.

［2］? 嚴麗香. 以問題驅動探究 促核心素養提升——以“指數函數及其性質”教學為例［J］. 數學教學研究，2020（03）：30-33.

［3］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介：吳其明（1990—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教育教學工作，曾獲上海松江區課堂教學評比一等獎.