基于“四個理解”的高中數學建模教學

吳惠紅

基于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“國家課程標準”）的上海市普通高中數學教材（以下簡稱“雙新教材”）于2020年始全面使用，本套教材的一個顯著特點是將數學建模單獨成冊，這不僅充分體現了數學建模的重要性，也展現了數學建模與數學應用題的顯著區別，應用題是運用數學知識解決實際問題，而數學建模則是根據實際問題建立數學模型并求解數學模型，最終運用求解結果以解決實際問題。

“四個理解”是由人教社編審章建躍博士提出的數學教學理念，指理解數學、理解學生、理解教學、理解技術。簡單而言，理解數學，就是教師要把握好數學知識的本質；理解學生，就是教師要全面了解學生的思維發展規律，把握學生的認知特點；理解教學，就是教師要把握好教學的基本規律；理解技術，就是教師要懂得如何有效利用技術幫助學生的學以及支持自身的教。“四個理解”是指導數學建模教學的有效策略工具，有利于提升學生的數學建模素養。

在雙新教材使用的過程中，很多教師認為數學建模過于高深，在實際教學中，無論是認知層面，還是能力層面或是經驗層面容易產生很多問題。本文論述了數學國家課程標準的要求和筆者對“四個理解”的認識，簡述了如何用“四個理解”指導數學建模活動的教學，提升數學建模教學的效果。

一、理解數學——什么是數學建模

“數學建模是聯系數學與應用的重要橋梁，是數學走向應用的必經之路。”［1］從2002年《普通高中數學課程標準（實驗）》提出“培養數學建模能力”開始，到《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出模型思想是數學素養的核心之一，再到高中國家課程標準明確數學建模素養是六大核心素養之一，數學建模日漸受到重視，真正走進了高中課堂。

數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法建構模型以解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，然后通過分析問題、構建模型、確定參數、計算求解，最后檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。簡而言之，數學建模是從實際問題入手，將實際問題抽象為數學原理、數學理論，再建立數學模型，進而解決實際問題的過程，是一個閉環操作過程。

數學建模的目的不是灌輸更多的數學知識，而是通過一些實際問題，使學生經歷和體驗數學建模的全過程，特別是體悟建立一個正確模型需要經歷反復曲折的探究過程。因為每一個建模活動都有著基本相同的過程，筆者認為教師有必要組織數學建模知識的普及性教學，通過做好雙新教材的“發言人”、當好數學建模的“代言人”、搭好數學建模的知識框架、抓好數學建模的“靈魂”，引導學生重視數學建模的學習，提升建模意識，學會用數學的眼光觀察世界。

二、理解學生——數學建模為什么這么教

數學建模已經從“精英教育”變成面向全體學生的教學，從個別教師的教學行為變成所有教師的必備教學技能。數學建模案例的難度不能太大，因此滬教版雙新教材的教學參考書中提出：要有針對性地實施多樣化的教學，不相互攀比，更不要盲目拔高，從而使各類學校的學生都學有所獲。

首先，要提高學生提出問題的能力。高中學生的抽象能力相對不夠成熟，很多學生還沒有養成發現問題和提出問題的能力，因此數學建模中提出問題的這一步驟是教學的難點，所以教師一定要給學生留出充足的時間用于思考和討論，討論可以是生生討論，也可以是師生討論。

其次，要增強學生學習的自信。應用題一直是學生頭疼的一類題目，而數學建模“問題不明確，條件不完備，答案不唯一”等特點易使得學生望而卻步。所以增強學生學習的信心和興趣對于數學建模的教學至關重要，教師選擇的案例要盡量貼近學生的生活，這樣學生才能充分調動自己的生活經驗，勇于提出自己的觀點和想法，尤其是提出有價值的問題。

最后，要深入了解學生對實際問題的看法。例如，學生對購物并不陌生，可對優惠券背后蘊含的數學原理卻認識得不夠清晰，為了更好地開展滬教版《普通高中教科書·數學》必修（四）中《“誘人”的優惠券》一課的教學，筆者在課前會深入了解學生對折扣商品的看法，在此基礎上引導學生理解有必要通過建立模型讓購物行為更理性，進而探究折扣商品對購物行為會產生哪些影響。

三、理解教學——數學建模怎么教

數學國家課程標準提出，數學建模活動旨在培養學生“有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯；學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗”，要求學生能“經歷數學建模活動的全過程，整理資料，撰寫研究報告或者小論文，并進行報告、交流”。

一是熟讀教材和教參。教材編寫組充分考慮到了教師和學生在實際教學中可能遇到的困難，選取了11個案例，體現了案例的多樣性、靈活性和層次性。國家課程標準在必修課程中安排了6個課時用于數學建模與數學探究活動，因此教師在對教材和教參進行深入研究后，只需要從中挑選1-2個案例進行教學即可。

二是采取小組合作探究模式。由于數學建模活動的教學具有活動性、探索性和綜合性的特點，為了更精準地反映學生的思維過程，教師在教學中可采取小組合作探究的方式。

三是重視首次案例教學。“教是為了不教”，在首次教學中，教師要重點關注五個方面：一是教師的數學語言要規范；二是教師要做好對學生的啟發，控制好問題的開放度；三是教師要指引學生做必要的假設以簡化問題，設定參數、明確模型方向；四是教師要引導學生進行檢驗和改進模型；五是教師要指導學生撰寫數學建模報告，尤其是反思模型環節能凸顯數學建模的價值，使得學生能夠體會和理解數學建模的整體過程。

四是滲透建模思想。考慮到課時限制和學生學業負擔，每學年完成一個案例是可行的，但一個案例并不能完全滿足數學建模素養培養的要求，所以在日常教學中，教師可以嘗試滲透數學建模思想，建模教學著重圍繞提出問題和建立模型兩個環節展開，如教師可利用雙新教材中豐富的案例改編數學建模檢測題，通過適當的訓練滲透建模思想。

五是凸顯育人本質。教師要引導學生注重數學的應用價值，體現學以致用，讓學生體驗“三會”，在每一個案例的教學中體現學生是學習的主體，教師是引領者、組織者，從而落實核心素養的培養目標。

四、理解技術——數學建模還能這么教

數學建模中有一些案例需要教師和學生有獲取信息和資料等信息化處理能力，例如，在“車輛轉彎時的安全隱患”建模教學中，需要用圖形計算器模擬車輛轉彎的情況，用于檢驗模型；“外賣與環保”建模教學中，需要大量的數據收集和數據處理，此時只能依靠技術手段才能降低學生學習難度。因此教師和學生如果要進一步研究數學建模，就要懂得一些編程語言，只有掌握計算機技術，學生才能從繁瑣的計算中解脫出來，專注于改進模型的適切性，將更多時間用于解釋模型上，使教學效能獲得倍增。

數學建模是數學學科的核心素養構成，數學建模教學為學生提供了自主探究的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與學生日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程。