數學思想、方法在高中數學解題中的應用實踐

嚴 琛

（甘肅省天水市甘谷縣第六中學，甘肅 天水）

在當前高中數學教學課堂中，教師不僅要為學生講解完善的理論知識，還需要對學生的數學解題思路進行全面的培育，教師需要做好課前的準備工作，認真地分析在高中數學解題過程中涉及的數學思想、方法，逐漸改革當前的教學模式，從而使學生能夠在教師的引導下更加透徹地了解在數學解題中常見的思想、方法，逐漸提高學生當前的數學素養。

一、高中數學解題中數學思想、方法的概述

為了使學生在高中數學解題過程中了解其中涉及的數學思想、方法，教師需要在課堂開始之前分析高中數學解題中數學思想、方法的表現形式，逐漸優化當前的教育模式，為學生高效率地學習奠定堅實的基礎。每門學科在發展過程中會形成特定的數學思維，數學也不例外，數學思想、方法主要是指學生在學習時按照現實世界的空間和數量關系形成的思維活動，是對各個知識點認知的重要表現形式，之后再根據各個知識點之間的關系，了解整體的解題思路，不斷地優化當前的學習效果[1]。在數學思維方面要根據數學語言的表達特點，經過一系列的思維活動和推導來形成對最終事物的解釋。數學思想相比于數學方法，本身的抽象性特征非常突出，但是數學思想更加接近數學各個知識點的本質內容。數學思想和數學方法之間的關系是相輔相成的，學生需要先掌握數學學習方法之后再形成正確的數學學習思維，不斷地優化學生當前的學習效果。數學方法是數學思想的重要表現形式，兩者都屬于方法論的范疇，有效提高了學生當前的學習效果。

學生需要掌握數學概念建立與之對應的數學理論，之后利用數學的思想、方法來掌握主要的思想范疇，以此來完成對數學知識的全面認知，這也是數學學科的精髓。學生需要掌握數學方法的內涵，領會其中數學思想的運用方向，形成清晰的認知，靈活地解決在實際學習時所存在的問題，并將數學思想為主要的指導方法，逐漸優化學生當前的學習思維，從而為學生高效學習奠定堅實的基礎。教師需要在教學中充分分析解題中涉及的數學思想以及數學方法，逐漸優化當前的課程教育模式，以此來保證課堂教學的順利實施。

二、高中數學解題中數學思想、方法的應用

（一）函數與方程思想

1.內涵

在高中數學解題中，函數與方程思想為常見的組成部分，學生在解題時需要借助有關函數的相關性質解答求值和解不等式的相關問題，明確參數的取值范圍，以此來快速地檢查出問題的答案。在問題研究過程中，學生需要建立函數關系式或者構建中間的函數，將研究的問題轉變為討論函數的相關性質，這樣一來可以降低學生當前的學習難度[2]。函數和方程屬于高中數學中的重要組成部分，也是歷年來高考的重點，要運用運動和變化之間的關聯，分析數學中的數量關系，建立函數關系，或者是構建函數利用函數圖象的方法來解決問題、轉換問題，從而得出最終答案。在方程思想中，主要是讓學生通過了解數學問題中的變量間等量關系，建立方程和方程組，了解各個數值之間的變化關系，或者是通過解方程和方程組的方式來進行日常的解答，按照方程的性質來轉化和分析問題，以此來獲得解決問題的方法，方程思想將動靜因素進行結合，讓學生能夠研究其中的等量關系。函數和方程之間的關系非常緊密，兩者能夠通過相互的轉換，借助函數圖象性質能夠解決方程中的問題，并且在研究方程時也可以借助函數的思想來進行日常的解答。

2.解題

函數y=f（x），當y=0 時，方程就可以轉化為f（x）=0或y-f（x）=0；而方程f（x）=0 的解是函數y=f（x）圖象與x軸交點的橫坐標。函數與不等式也可以相互轉化，對函數y=f（x），當y=0 時，就是不等式f（x）=0，而求f（x）=g（x）的解則可比較y=f（x）與y=g（x）函數圖象位置的交點而得到解。在教學中教師可以讓學生按照這一方法來進行日常的解答，通過數量之間的關系，利用方程和函數性質進行相互轉換，以此得到解決問題的答案。函數和方程之間的思想關系非常緊密，也是高中數學的主要內容，因此需要優化學生當前的解決思路，以此來提升課堂教學的效果。在學生解答題目時，教師需要讓學生根據函數和方程之間的關系來掌握其中的數量關系，當學生遇到難題時，教師可以讓學生通過函數和方程之間的相互轉換解決問題，深入地把握函數和方程的思想特點，逐漸提高學生當前的解決效率，從而保證課堂教學的順利進行。

（二）數形結合思想

1.內涵

數形結合思想在高中數學中的應用非常廣泛，同時也是重要的思想，數和形式是數學中最古老的關系，在一定條件下能夠進行相互的轉換。在數形結合思想運用的過程中，需要借助幾何圖形來闡述某種數量之間的關系，也可以通過數量關系來構建幾何直觀圖形，兩者是相互連通的，要根據整體的解題思路來進行圖像的深入性分析，以此來抓住背后所蘊含的規律。在實際解題時需要將抽象的語言變得更加生動和直觀，了解其中的位置關系和數量關系等，并且將抽象思維和形象思維相互結合，使問題的解答更加清晰以及透徹，從而降低學生當前的學習難度。在班級教學中，教師需要加強對數形結合思想的深入性教學，逐漸讓學生把握這部分重點知識，以此來提升課堂教學的效果。在學生數形思維運用過程中，需要遵循簡單性和雙方性的原則，構建函數模型，結合圖象研究參數的取值范圍，并且掌握其中的數量關系，以此來解答出函數的最值問題和證明不等式等。另外也可以通過構建幾何模型來解決一些代數問題，全面地分析幾何中的斜率和距離等。在最值求解方面的應用非常廣泛，教師可以讓學生在求根時構建方程模型，通過數形結合的方法來降低學生當前的學習難度，從而使學生能夠掌握這部分重點知識，逐漸提高學生當前的學習效率。

2.解題

在教學中，教師可以為學生布置這樣的例題：“二次函數y=ax2+2ax+4 的圖象和Y 軸分別交于A、B 點，與Y 軸相交于點C，∠CBO 的正切值為2，請同學們求二次函數的解析式。”在學生解題的過程中，如果只是單調地閱讀這部分內容會產生迷茫，這時教師可以讓學生通過數形結合的方法，先將這部分函數圖象進行完整的構建，之后再求得最終的答案，對于點C 可以在坐標系中表示為（0，4），之后再按照題目中的內容分別畫出不同的圖形，更快地解答，從而使學生學習效率能夠得到全面的提高。在教學中，教師需要讓學生感受到數形結合轉換之間的樂趣，對學生知識遷移能力進行全面的培育，將抽象知識變得更加生動和直觀，以此來了解幾何和代數之間的關系，找到解決問題的主要方法，全面提升課堂教學的效果。通過題目的簡單化處理，提升學生的解題效率，為學生學習提供重要的基礎。

（三）轉化思想

1.內涵

轉化思想在高中數學中也是常見的組成部分，在數學學習中，最重要的是把握各個數量之間的等量關系，但是解決不等量關系問題時，可以通過轉換的思想轉變為等量的關系之后再解答出問題的答案，在一般情況下可以通過特殊化的思想找到特殊取值和特殊圖形，以此來分析解答問題的方法，可以利用字母來表示某個數值，也可以通過特殊圖形找到問題的解決方法。在轉化思想過程中，主要是指將未知解法或者難以解決的問題，通過觀察和分析進行類比，選擇恰當的方式來進行數據的轉換，將復雜的數量關系轉變為更加生動而直觀的數量關系，以此來找到問題的解決方法。例如，將分散轉變為集中、未知轉變為已知等，從而提升學生的學習效果。轉化思想是解決數據問題中的重要思想，在研究問題時需要將抽象內容變得更加生動和直觀，并且還需要將復雜的問題轉變為簡單的問題，深入地分析其中所蘊含的數量關系，實現各個數量關系之間的相互轉化，為學生的解題提供重要的幫助，以此來提升課堂教學的效果。因此在教學中，教師要通過轉換思想，讓學生理解其中的奧妙，逐漸增強學生當前的學習效果。

2.解題

在教學中，教師可以為學生布置這樣的問題：“已知三角形ABC 的三邊為a、b、c，a2+b2+c2=ab+ac+bc，請同學們判斷三角形的形狀。”在為學生布置這道題目時，教師要讓學生先不要通過幾何的方法來進行計算，要轉變為代數的方式來進行等式的分析。教師可以讓學生結合自身在之前所學到的等式內容來進行式子的變換，得出簡化的式子，這樣一來可以快速得出這一三角形為等邊三角形，為了讓學生深刻地記住轉換思想運用的方法，教師可以讓學生先在圖上畫出這個三角形之后，再判斷其中的數量關系，再通過代數的方法進行日常的轉換，從而增強學生的學習效果。教師需要讓學生在學習時認真地分析題目涉及的數學思想、方法，轉變為自己所學習到的內容建立數學模型，將一個領域的問題轉變為另一個領域的問題，逐漸深化學生對相關內容的印象。當學生在解題時遇到復雜的問題時，教師可以讓學生將某個數量關系轉變為其他的數量關系來進行日常的解答，從另一個角度入手來提升學生解決問題的效果。這樣一來可以將復雜的問題變得更加簡單，提高學生的解題效率。

在當前高中數學教學課堂中，為學生滲透解題中的數學思想、方法為重要的教學環節，因此教師需要加強對數學思想、方法的認知，根據學生的解題特點來為學生布置不一樣的課堂教學模式，全方位地滲透在數學思想、方法中。值得注意的是，教師要引導學生在學習時也要進行數學思想、方法的歸納以及總結，提煉出常用的數學思想、方法，通過體會和研究提高學生當前的解題效果。