高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)

祁君英

（福建省莆田市第五中學(xué) 福建莆田 350007）

引言

當(dāng)前，社會(huì)快速發(fā)展，科技水平不斷提高，數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)和人工智能領(lǐng)域的關(guān)鍵學(xué)科。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，所以，新課標(biāo)當(dāng)中將建模列入核心素養(yǎng)范疇。自新版數(shù)學(xué)教材投入使用以后，內(nèi)部增設(shè)諸多與建模關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)此，教師應(yīng)該在把握教材的基礎(chǔ)之上，尋找高效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，不斷提高學(xué)生創(chuàng)新、實(shí)踐和解決問(wèn)題等能力，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化學(xué)習(xí)，逐漸提高建模素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵介紹

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)明確提出，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵是學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中提煉抽象模型，并且使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的能力，通過(guò)建模思想，解決實(shí)際問(wèn)題，提高應(yīng)用能力，為將來(lái)生活和職業(yè)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。課標(biāo)要求教學(xué)環(huán)節(jié)需注重學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，建模素養(yǎng)屬于核心素養(yǎng)內(nèi)容之一，學(xué)生具備此項(xiàng)能力以后，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界，提出具體問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)知識(shí)、現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問(wèn)題解決，積累更多實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)閿?shù)學(xué)模型能夠應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，建模能力的培養(yǎng)有助于學(xué)生科學(xué)精神、創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力的不斷提高。課標(biāo)當(dāng)中對(duì)于高中生建模能力劃分具體包括函數(shù)領(lǐng)域、統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域、向量領(lǐng)域、數(shù)列領(lǐng)域等方面的建模知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)知識(shí)，感受數(shù)學(xué)建模方法與思想的運(yùn)用，逐漸形成解決問(wèn)題能力[1]。

二、數(shù)學(xué)教材中的模型內(nèi)容分布

以人教2019版必修1數(shù)學(xué)教材為例，其中專門設(shè)立了兩個(gè)建模模塊知識(shí)，除此之外，建模內(nèi)容也出現(xiàn)在了引言部分、閱讀與思考當(dāng)中，還有部分例題也是通過(guò)建模情境方式呈現(xiàn)。整本教材當(dāng)中重點(diǎn)描述了函數(shù)模型，該模型屬于根據(jù)世界的變化規(guī)律呈現(xiàn)的重要模型之一。在教材當(dāng)中分別出現(xiàn)函數(shù)概念性質(zhì)、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)等不同的模型內(nèi)容，指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的后面還單獨(dú)設(shè)計(jì)建?；顒?dòng)，旨在幫助學(xué)生形成解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，使其能夠經(jīng)歷建模過(guò)程，利用函數(shù)將實(shí)際問(wèn)題解決。對(duì)于以上函數(shù)性質(zhì)、變化規(guī)律全面掌握以后，學(xué)生能夠在實(shí)際情境中，合理選擇數(shù)學(xué)模型，探索事物變化規(guī)律，并尋求問(wèn)題解決方法。

教材引言部分介紹了函數(shù)的基本性質(zhì)，還有幾種初等函數(shù)內(nèi)容，在教學(xué)過(guò)程中，教師需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)當(dāng)中蘊(yùn)含的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并將問(wèn)題化為函數(shù)模型，對(duì)于具體問(wèn)題展開(kāi)探究，將函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和方法向?qū)W生介紹，提高其解題能力。

教材第三章的引言部分描述了客觀世界當(dāng)中各類運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，需要學(xué)生在感受現(xiàn)實(shí)情境的前提之下，從變量之間尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系。在教學(xué)過(guò)程中，可以運(yùn)用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境，從中找到變量之間存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)化建立模型，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之前對(duì)于函數(shù)模型形成直觀想象[2]。教材第三章主要講述的內(nèi)容是信息技術(shù)的應(yīng)用，由于計(jì)算機(jī)軟件可以作為重要的工具，輔助學(xué)生研究函數(shù)圖像。通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件，向?qū)W生介紹函數(shù)圖像繪制方法，將其置于建模情境當(dāng)中，體會(huì)變量之間關(guān)系的復(fù)雜，了解到手工描點(diǎn)的畫圖方式存在誤差和局限性，因此利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行建模具有實(shí)用價(jià)值。

在第四章的引言部分，教材當(dāng)中給出考古分析良渚遺址當(dāng)中碳14的含量，從而推導(dǎo)出古城良渚真實(shí)存在時(shí)間，通過(guò)現(xiàn)實(shí)事物當(dāng)中物體的變化規(guī)律，獲得直觀體驗(yàn)，將物體的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)變化建模過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型思想在生活當(dāng)中的實(shí)踐應(yīng)用，明確數(shù)學(xué)概念和定理公式的抽象性。在閱讀與思考部分，介紹了放射物質(zhì)衰減規(guī)律，要求學(xué)生查找資料，之后自主建立函數(shù)模型，體現(xiàn)指數(shù)函數(shù)倍增特性，讓學(xué)生直觀體會(huì)現(xiàn)實(shí)情境向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

三、高中生建模能力培養(yǎng)策略

1.創(chuàng)設(shè)建模情境

課標(biāo)當(dāng)中對(duì)于高中生的建模能力培養(yǎng)要求為，可以從現(xiàn)實(shí)情境當(dāng)中選取數(shù)學(xué)模型，將對(duì)應(yīng)問(wèn)題解決。所以，在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，需要教師注重學(xué)生科學(xué)精神、科學(xué)素養(yǎng)等方面的培養(yǎng)，創(chuàng)設(shè)建模情境。具體包括生活情境、科學(xué)情境等。

從生活情境的創(chuàng)設(shè)角度分析，主要包含現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中面臨的各類問(wèn)題。比如：個(gè)人收入，個(gè)稅繳納環(huán)節(jié)需要應(yīng)用函數(shù)模型，對(duì)于階梯水價(jià)的計(jì)算需要利用計(jì)費(fèi)模型，在投資方案選擇或者汽車耗油問(wèn)題當(dāng)中都含有具體生活背景知識(shí)。教師可指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目數(shù)據(jù)，參與建?；顒?dòng)[3]。

比如：要求學(xué)生將一年時(shí)間內(nèi)，日出和日落相關(guān)時(shí)間資料收集起來(lái)；調(diào)查生活所在區(qū)域日用電情形，從而制定出“消峰平谷”電價(jià)方案。將建模任務(wù)和具體生活情景相關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)變學(xué)生錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)態(tài)度。因?yàn)椴糠謱W(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題。如果是函數(shù)模型，就找出函數(shù)解析式，利用對(duì)應(yīng)參數(shù)求出問(wèn)題答案。鑒于此，需要數(shù)學(xué)教師通過(guò)教學(xué)過(guò)程的引導(dǎo)，讓學(xué)生在參與建?；顒?dòng)期間，能夠體會(huì)到信息收集階段的重要性，樹(shù)立正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，對(duì)于建模活動(dòng)形成正確認(rèn)知。

從科學(xué)情境創(chuàng)設(shè)角度分析，還需要融合其他學(xué)科內(nèi)容。比如：利用社會(huì)學(xué)科知識(shí)，針對(duì)人口增長(zhǎng)建立模型；利用考古學(xué)知識(shí)，通過(guò)生物體內(nèi)碳14的衰減建立函數(shù)模型，最終能夠?qū)⒐懦墙ㄔ鞎r(shí)間推理出來(lái)。這樣的教學(xué)情境對(duì)于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、科學(xué)素養(yǎng)提升十分有利。在數(shù)學(xué)教學(xué)階段，側(cè)重于建模情境的建設(shè)，讓高中生體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，從而樹(shù)立遠(yuǎn)大志向，為創(chuàng)新型人才培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

2.完善建模過(guò)程

數(shù)學(xué)建模流程如下：第一，變量和數(shù)學(xué)化識(shí)別；第二，建立數(shù)學(xué)模型；第三，求解數(shù)學(xué)模型；第四，檢驗(yàn)與優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；第五，將模型現(xiàn)實(shí)化。其中建立模型、求解模型屬于建模重點(diǎn)內(nèi)容。因此，在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)可通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境，要求學(xué)生查閱網(wǎng)站或者資料，選擇數(shù)學(xué)模型，重視模型優(yōu)化與檢驗(yàn)，深度思考模型思想。為了提高學(xué)生的建模能力，教學(xué)過(guò)程需要將學(xué)生的認(rèn)知能力、發(fā)展特點(diǎn)考慮其中，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活材料全面收集似乎難度較大，不利于數(shù)據(jù)的處理。同時(shí)，在數(shù)學(xué)課堂上，對(duì)于學(xué)生的評(píng)價(jià)結(jié)果性評(píng)價(jià)為主要內(nèi)容。無(wú)論是收集數(shù)據(jù)，還是優(yōu)化模型，對(duì)于學(xué)生來(lái)講難度較高。在模型優(yōu)化階段，通常會(huì)借助計(jì)算機(jī)方式，部分學(xué)生信息化基礎(chǔ)薄弱，因此模型優(yōu)化過(guò)程難度高?？紤]到以上問(wèn)題，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)該重點(diǎn)突出模型情境復(fù)雜性特點(diǎn)，將教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)傾向于學(xué)生數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)處理等能力的培養(yǎng)上，讓學(xué)生通過(guò)觀察建立模型，掌握計(jì)算機(jī)技術(shù)，能夠?qū)τ跀?shù)學(xué)模型優(yōu)化、驗(yàn)證，最終提高建模能力[4]。

3.建模教學(xué)案例

（1）案例內(nèi)容

本研究選擇教材中的建模活動(dòng)“蘋果最佳出售時(shí)間點(diǎn)”，圍繞此生活化問(wèn)題展開(kāi)討論，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)等展開(kāi)情景描述，明確量的增加與減少，建立模型，確認(rèn)蘋果最佳的出售時(shí)間。由于高中生已經(jīng)具備函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)，課堂上通過(guò)生活化場(chǎng)景的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，利用建模思想進(jìn)行求解。結(jié)合建?；顒?dòng)實(shí)際特點(diǎn)，利用多媒體、討論互動(dòng)多種形式展開(kāi)教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)軟件，聯(lián)系數(shù)學(xué)問(wèn)題，尋找解決策略，逐漸形成建模能力。

（2）情境創(chuàng)設(shè)

情境創(chuàng)設(shè)階段，選擇牛頓的故事，利用信息化的方式呈現(xiàn)。通過(guò)牛頓思考“蘋果為何會(huì)墜地？”這一問(wèn)題，最終通過(guò)研究，提出萬(wàn)有引力定律。為了啟發(fā)學(xué)生思維，教師需要循序漸進(jìn)引導(dǎo)。可通過(guò)提問(wèn)的方式完成“牛頓是否單純通過(guò)蘋果落地現(xiàn)象就推出萬(wàn)有引力？”“思考牛頓發(fā)現(xiàn)引力的過(guò)程是怎樣的？”通過(guò)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思維，使其明確萬(wàn)有引力的發(fā)現(xiàn)并非容易之事，牛頓需站立在哥白尼、開(kāi)普勒等巨人的肩膀上，建立數(shù)學(xué)模型，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并且將其解決，最終將萬(wàn)有引力推導(dǎo)出來(lái)。

（3）建模過(guò)程

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題階段，學(xué)生通過(guò)閱讀問(wèn)題內(nèi)容，可以知道如果市面上蘋果數(shù)量相對(duì)較多，則其價(jià)格就會(huì)降低，如果選擇技術(shù)手段，將蘋果保鮮儲(chǔ)存，待市面蘋果數(shù)量減少并且價(jià)格升高的時(shí)候出售，即可獲得更高利潤(rùn)。需要注意，保鮮儲(chǔ)存需要消耗成本和時(shí)間，在時(shí)間不斷延長(zhǎng)的時(shí)候成本也會(huì)增加。

提出問(wèn)題階段，要求學(xué)生通過(guò)以上生活現(xiàn)象，對(duì)于其中的內(nèi)涵問(wèn)題進(jìn)行探討。比如：是什么原因?qū)е绿O果價(jià)格出現(xiàn)高低浮動(dòng)？怎樣才能避免出現(xiàn)這些現(xiàn)象？蘋果保鮮儲(chǔ)存需要利用哪些技術(shù)手段？選擇怎樣的儲(chǔ)存方式消耗的成本最低？

分析問(wèn)題階段，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生思考問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還有變量關(guān)系。如果單純利用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題還十分困難。因?yàn)閱?wèn)題當(dāng)中涉及數(shù)量增減方面的問(wèn)題，此時(shí)可借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言或者符號(hào)展開(kāi)描述。

在建立模型階段，可指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)如下幾種方法對(duì)于問(wèn)題進(jìn)行描述，之后建立模型。

第一，利用定性描述的方式建立模型，假設(shè)市面蘋果總量x噸，單價(jià)y元，生活現(xiàn)象代表x增加的時(shí)候y逐漸減小，將y視作x的函數(shù)，記為f（x），則f（x）為減函數(shù)。相同道理，假設(shè)保存時(shí)間是t天，因?yàn)樘O果保鮮成本C元，將C視為t的函數(shù)，并記為C=g（t），可知g（t）為增函數(shù)。由于市面蘋果量隨時(shí)間變化，也可將x視為t函數(shù)，記x=h（t）。經(jīng)過(guò)以上描述，假設(shè)蘋果在第t天出售，單位數(shù)量蘋果得到的收益（z）可使用關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式表達(dá)出來(lái)，z=y-C=f（x）-g（t）=f（h（t））-g（t）。獲得函數(shù)關(guān)系式即可解決z是否有最值問(wèn)題。

第二，通過(guò)合理假設(shè)的方式，建立模型。為了讓學(xué)生明確f（x），h（t），g（t）等函數(shù)之間的關(guān)系，可運(yùn)用假設(shè)法，認(rèn)定f（x）和g（t）均為一次函數(shù)，并且f（x）=k1x+l1；g（t）=k2x+l2。同時(shí)假設(shè)h（t）是二次函數(shù)，h（t）=at2+bt+c，

第三，收集信息，確認(rèn)參數(shù)，利用數(shù)據(jù)收集方法，得到x=8.4的時(shí)候y=0.8，x=7.6的時(shí)候y=1.2；t=1的時(shí)候，C=0.11，t=2的時(shí)候，C=0.12；t=1的時(shí)候，x=9.462；t=2的時(shí)候，x=9.328，t=3的時(shí)候，x=9.198。按照待定系數(shù)法，能夠分別表示出各個(gè)函數(shù)之間的等量關(guān)系，整理得到z=-0.001t2+0.06t＋0.1。所以z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b-k2）t+k1c+l1-l2，a≠0，k1＜0，k2＞0。

解決問(wèn)題階段，可利用配方法，將z=-0.001t2+0.06t＋0.1整理變?yōu)閦=-0.001（t-30）2＋1。當(dāng)t=30的時(shí)候，z有最大值，等于1。也就是將蘋果保鮮儲(chǔ)存30天的時(shí)候，能夠獲得最高的利潤(rùn)。通過(guò)以上教學(xué)流程，以敘述的方式讓學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程。通過(guò)建?；顒?dòng)，從數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述過(guò)程當(dāng)中，建立數(shù)學(xué)模型，感受函數(shù)在生活中的應(yīng)用價(jià)值。教育階段，針對(duì)學(xué)生在不同階段的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，適時(shí)對(duì)學(xué)生采取啟發(fā)引導(dǎo)，使其明確建模思路。在利用模型解題階段，感受建模方法，形成科學(xué)精神，提高應(yīng)用能力，強(qiáng)化創(chuàng)新意識(shí)，提高建模能力和素養(yǎng)。

四、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生建模能力培養(yǎng)思考

通過(guò)上文分析函數(shù)部分的建模知識(shí)，筆者認(rèn)為，為了將學(xué)生建模能力提升，需要對(duì)課標(biāo)中的建模內(nèi)容有所了解，并且能夠從數(shù)學(xué)教材當(dāng)中尋找模型知識(shí)，充分梳理教材習(xí)題、閱讀和引言部分的建模內(nèi)容，讓教師從多角度出發(fā)，突出建模教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的建模能力。與此同時(shí)，教材中的大部分建模情境與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系緊密，在教學(xué)期間，情境的設(shè)置還需要將學(xué)生興趣愛(ài)好和生活需求全面考慮，保證模型情境的創(chuàng)設(shè)能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，還能細(xì)致觀察、思考生活問(wèn)題。通過(guò)教學(xué)，讓學(xué)生深入理解日常生活，建立和生活聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生興趣，使其深度思考，形成邏輯、辯證思維。除此之外，數(shù)學(xué)課堂建模教學(xué)應(yīng)該注重全程訓(xùn)練，切勿單純追求求解結(jié)果，豐富評(píng)價(jià)方式，適當(dāng)運(yùn)用貼近生活的實(shí)例，引領(lǐng)學(xué)生獨(dú)立思考，將問(wèn)題解決。可以從教材當(dāng)中的數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用角度出發(fā)，調(diào)動(dòng)學(xué)生編程興趣，不斷提高軟件操作能力，為其建模能力提升奠定基礎(chǔ)[5]。

結(jié)語(yǔ)

綜上分析，數(shù)學(xué)教學(xué)建模能力的培養(yǎng)重點(diǎn)在于啟發(fā)學(xué)生關(guān)注生活現(xiàn)象，鼓勵(lì)學(xué)生建立模型，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)興趣，對(duì)于生活進(jìn)行深度思考，強(qiáng)化學(xué)生邏輯思維、辯證思維能力的培養(yǎng)。在建模教學(xué)階段，需要教師充分運(yùn)用多媒體手段，注意建模過(guò)程訓(xùn)練，依托生活內(nèi)容，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)橋梁，適當(dāng)運(yùn)用輔助材料，注意因材施教，循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，尋找問(wèn)題解決之策。