一種改進永磁同步電機雙矢量模型預測控制策略*

徐殿勝,張志鋒

(沈陽工業大學 電氣工程學院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)廣泛應用于電動汽車、風力發電和工業自動化等領域，因為其具有結構靈活、效率高、功率密度高等優點[1]。與磁場定向控制(FOC)相比，直接轉矩控制(DTC)成為一種高性能的控制策略，因為不依賴于PMSM的參數。然而，磁滯比較器只選擇一個電壓矢量，不可避免地會引起轉矩脈動[2]。

有限控制集模型預測控制(FCS-MPC)廣泛應用于電力電子和電力傳動領域，具有直觀性和靈活的成本函數，可以為約束條件靈活地設置成本函數[3-4]。FCS-MPC可以有效利用逆變器的離散性，通過離散的數學模型預測系統變量的未來行為，然后通過最小化價值函數選擇最優電壓矢量[5-6]。FCS-MPC易于實現，具有動態響應快、無參數整定、多變量控制和易于處理非線性約束的優點。與DTC相比，FCS-MPC選擇的電壓矢量更精確、更有效，有效解決了bang-bang控制方式存在開關頻率不固定、電流脈動較大的問題。與磁場定向控制(FOC)相比，可以實現更快的動態響應。

根據預測控制對象的不同，模型預測控制(MPC)又可分為模型預測電流控制(MPCC)和模型預測轉矩控制(MPTC)等。MPCC主要以電流為控制目標，成本函數只包含電流一項，因此不需要計算權重系數[7-8]。MPTC以轉矩和磁鏈為控制目標，且兩者的量綱不一致，需要設計權重系數[9-10]。與MPCC相比，MPTC不需要通過控制電流和磁鏈來間接控制轉矩，而是直接控制轉矩。在此基礎上還可以添加其他的控制目標，結構靈活，穩態性能更好[11]。根據每個控制周期使用的電壓矢量個數不同，還可以將MPC分為單矢量MPC[12]，雙矢量MPC[13-14]和三矢量MPC[15-16]，本文主要是針對已有的兩種雙矢量MPC方法進行分析和改進。文獻[17]提出一種快速矢量選擇的預測控制策略，只需要計算一次就可以選出最優電壓矢量，降低算法的復雜度和計算量，但是每個控制周期還是僅用一個電壓矢量，精度遠遠不夠。為提高控制精度，文獻[18]提出一種雙矢量MPC策略，每個周期選用一個零電壓矢量和一個非零電壓矢量，通過占空比計算，使控制效果得到改善。但是最優電壓矢量的選擇比較局限，文獻[19]提出了一種改進的雙矢量MPC策略，每個控制周期內靈活的選用兩個電壓矢量，使得控制效果提升，并且降低了開關頻率，但是最優電壓矢量是通過兩步計算，分別選出兩個最優電壓矢量，計算量較大。

以前述的兩種雙矢量MPC為基礎，提出一種兼顧控制效果和開關頻率的MPC策略。對扇區進行了重新劃分，劃分成18個扇區以減小誤差；在電流離散化過程采用精度更高的四階龍格-庫塔的離散化方法；扇區判斷時采用一種MPTC方法避免arctan的使用,有利于在嵌入式系中(如C語言)使用，并且在占空比計算時采用拉格朗日乘子法。通過對三種控制方法進行仿真對比，證明本文所提方法具有更好的控制性能。

1 PMSM數學模型

在所提出的驅動系統中，PMSM的電壓由如圖1所示的三相兩級電壓源逆變器(VSI)提供。該拓撲結構可以提供8個基本電壓矢量，包括6個非零電壓矢量和2個零電壓矢量，可以在靜止的α-β坐標系下表示，如圖2所示。

圖1 逆變器的拓撲結構

圖2 電壓空間矢量

本文以一種表貼式PMSM為例，PMSM在同步旋轉d-q坐標系下的定子電壓方程可表示為

(1)

式中：ud、uq和id、iq分別為定子電壓d軸q軸分量、定子電流的d軸q軸分量;Ld、Lq分別為d軸q軸電感分量;R為定子電阻;ω為轉子轉速；ψf為永磁體磁鏈。

定子磁鏈的d-q軸分量為

(2)

電磁轉矩方程為

(3)

式中：Te為電磁轉矩；p為極對數。

2 兩種傳統的雙矢量MPC方法

對于電壓源逆變器(VSI)供電的MPC，電壓矢量是唯一可控的輸入變量。傳統的MPC在整個采樣周期內只施加一個電壓矢量，即占空比等于1。這是傳統MPC存在較大轉矩和磁鏈脈動的原因。為了明顯減小轉矩和磁鏈脈動，有必要在一個控制周期內引入兩個電壓矢量。

相關學者先后提出的兩種改進方案：每個控制周期內分別是采用零電壓矢量和非零電壓矢量結合的方法MPC1，如圖3所示；每個控制周期內采用相鄰電壓矢量或非零電壓矢量和零電壓矢量結合的方法MPC2，如圖4所示。通過這種占空比調制的方法，使得每個控制周期合成的電壓矢量與參考電壓矢量的誤差更小，提高了控制精度。

圖3 MPC1扇區劃分方式

圖4 MPC2扇區劃分方式

MPC2這種控制方法是針對MPC1提出來的，在第二個電壓矢量選擇時，備選電壓矢量和已選電壓矢量之間只允許開關跳變一次，只有零電壓矢量和非零電壓矢量。在靜態特性有所提高的同時，開關頻率有所下降，使得系統損耗更低，更加可靠。

3 優化的MPC方法

針對傳統的兩種雙矢量MPC策略，本文提出一種新的控制方法，命名為MPC3，在提高控制穩態特性的同時，開關頻率也保持與MPC2近似，保持在較低水平。

3.1 扇區劃分

傳統的兩種雙矢量MPC方法，在進行扇區劃分時，每一個區域內均存在參考電壓矢量與合成的電壓矢量誤差較大的區域，可能是產生較大轉矩脈動和電流諧波的原因。為此，本文將每個扇區中誤差較大的區域劃分出來，如圖5所示。如果參考電壓矢量在該區域，則在下一周期內，用一個采用固定占空比合成的虛擬電壓矢量作為備選電壓矢量。

圖5 MPC3扇區劃分方式

合成的電壓矢量是選用兩個相鄰的電壓矢量和一個零電壓矢量，三個電壓矢量的作用時間均是Ts/3，Ts為采樣周期，合成虛擬電壓矢量u8～u13。

選用固定占空比的小三角形區域的劃分原則是：以u1、u2區域為例，小區域邊界到合成虛擬電壓矢量的距離與到大三角形邊界距離相等，但是會使得所劃分區域為不規則圖形，為后期扇區判斷造成困難，因此定義虛擬電壓矢量到所劃分區域邊界的直線與虛擬電壓矢量到邊界垂直方向成30°時，即d1=d2，來確定小三角形區域的邊界，如圖6確定小三角形區域的大小。表1為每個扇區對應的調制電壓矢量。

圖6 小三角形區域的劃分

3.2 電流離散化

為提高控制精度，在離散的過程中不再采用歐拉法，而是采用四階龍格-庫塔法進行離散化，使得在離散過程中產生的誤差更小，離散精度更高。

根據式(1)得:

離散后可以表示為

(5)

d軸對應的狀態變量分別為

(6)

q軸對應的狀態變量分別為

(7)

整理后得到(k+1)時刻d-q軸電流值為

(8)

3.3 扇區判斷

扇區判斷方式大多是用靜止坐標系下參考電壓矢量的位置角，判斷期望電壓矢量所在扇區，這種方法的確能減少計算量，但是對于本文提出的這種扇區劃分方法并不適用。在位置角計算時會用到arctan計算， arctan計算范圍是-π/2～π/2，需要擴展成-π～π比較麻煩，并且不利于在嵌入式系統中(如C語言)使用。

為了解決上述問題，本文采用一種MPTC方法，得到α-β坐標系下的參考電壓矢量[12]，然后判斷參考電壓矢量所在的扇區，在保證系統控制性能的同時顯著減小了系統計算量。

聯立經過一拍補償的磁鏈方程式(2)與電壓方程式(3)，消除電流量并進行離散化，則有：

(9)

進一步，將磁鏈方程式(2)的ψq代入轉矩方程式(3)可得:

(10)

對式(10)求導，并離散化可得:

(11)

將式(9)代入式(11)，可得電磁轉矩與電壓之間的關系:

(12)

因為在電機穩定運行時，定子端電壓遠大于定子電阻的壓降，所以可忽略式(9)中的包含電阻項，可得到定子磁鏈幅值與電壓之間的關系：

(14)

(15)

3.4 占空比計算

占空比的計算精度對控制精度的影響較大，因此本文采用一種拉格朗日乘子法來計算占空比[20]。考慮到非常高的采樣頻率，在采樣周期中由每個電壓矢量引起的平均跟蹤誤差，即加權誤差，近似表示為

εj={dijeij|i∈Tk}

(16)

式中:eij為扇區j中單個電壓矢量ui引起的跟蹤誤差;dij為電壓矢量ui的占空比；Tk為扇區判斷得到小區域對應的單個電壓矢量。

加權誤差的均方根值為

(17)

加權誤差的均值定義為

(18)

(19)

這個優化問題可以用著名的拉格朗日乘子方法來解決。為了找到在等式g(x,y)=0約束下的函數f(x,y)駐點，形成拉格朗日函數:

L(x,y,λ)=f(x,y)+λ·g(x,y)

(20)

在給定扇區中，確定兩個最優電壓矢量ud和uc。因此，優化問題的目標是最小化以下函數:

(21)

式中：dc和dd為兩個最優電壓矢量的占空比；gc和gd為兩個最優電壓矢量的電流價值函數值。

價值函數值由下式計算:

(22)

計算了這些最優矢量的占空比。對于拉格朗日乘數法，約束條件如下：

g(dc,dd)=dc+dd-1

(23)

因此，拉格朗日函數可以寫成:

“每個醫生都擁有自己的數字證書和簽章，可開具電子申請單和書寫電子病歷，各種信息都通過信息系統進行傳遞，并通過數字化病案管理系統實現了病案的電子化歸檔及管理，節省了工作時間，提高了工作效率。”

(24)

梯度計算如下：

(25)

用式(24)代入式(25)得：

?dc,dd,λL(dc,dd,λ)=

(gcdc+λ,gddd+λ,dc+dd-1)

(26)

考慮最小化條件：

?dc,dd,λL(dc,dd,λ)=0

(27)

利用式(26)和式(27)，占空比可以表示為

(28)

考慮約束條件dc+dd= 1，可得:

(29)

(30)

(31)

綜上所述，MPC3控制原理框圖如圖7所示。

圖7 MPC3控制原理框圖

4 仿真分析

為驗證所提出的這種MPC方法的可行性和有效性，使用MATLAB/Simulink分別對已有的兩種雙矢量MPC方法和改進的MPC方法進行建模仿真，采樣頻率為20 kHz,并對結果進行比較和分析。PMSM的主要參數如表2所示,其中Ls=Ld=Lq。

表2 電機主要參數

在仿真過程中,電機首先空載啟動,轉速由0升至所設置的額定轉速,然后穩定運行。穩定運行0.2 s之后,突加10 N負載,再進行穩定運行。運行至0.5 s再空載運行。

圖8為三種控制方式下的a相電流波形及諧波分析，可以看出本文提出的控制方法得到的電流波形更加平滑，電流畸變率THD為4.15%，比前兩種方法的THD 6.94%和5.78%更低，電流的正弦性更好，穩定性能也更佳。

圖8 三種控制方式下帶載穩定運行時a相電流波形及諧波分析

圖9為三種控制方式下轉速和轉矩波形，三種控制方式下均有較好的轉速性能。MPC1控制策略下轉矩脈動大約在2.5 N·m、MPC2控制策略下轉矩脈動大約在2 N·m、MPC3控制策略下轉矩脈動約在1.8 N·m。可以看出本文所提出的控制策略對轉矩脈動也有一定的抑制效果。

圖9 三種控制方式下轉速和轉矩波形

圖10為三種控制方式下判斷電壓矢量所在扇區。MPC1策略劃分6個扇區，MPC2策略劃分12個扇區，MPC3策略劃分18個扇區。

圖10 三種控制方式下電壓矢量所在扇區

如圖11所示,在采樣頻率為20 Hz時，三種方式下的平均開關頻率，可以看出本文所提控制策略也具有較低的開關頻率。

圖11 三種控制方式下開關頻率對比

5 結 語

本文在兩種傳統的雙矢量MPC基礎上進行了改進，得到改進的MPC策略。該方法沒有遍歷計算，有效控制計算量的增長；在電流離散化的過程中采用精度更高的四階龍格-庫塔離散化方式，使控制精度更高；占空比計算應用拉格朗日乘子法，使得算法更簡單。仿真結果表明，該方法不僅有良好的動靜態性能，還具有開關頻率較低的優勢。