Cartan-Eilenberg VW-Gorenstein 復形研究

焦玉娟

（西北民族大學數學與計算機科學學院，甘肅蘭州 730030）

作為雙邊Noether 環上G-維數為零的有限生成模的推廣和對偶，ENOCHS等［1］在一般環上引入了Gorenstein 投射模和Gorenstein 內射模的概念。自此，以Gorenstein 投射模和Gorenstein 內射模為主要研究對象的Gorenstein 同調代數備受關注。作為Gorenstein 投射模和Gorenstein 內射模的統一推廣，SATHER-WAGSTAFF等［2］和GENG等［3］研究了W-Gorenstein模，其中W 為自正交模類；進一步，ZHAO等［4］研究了VW-Gorenstein模，其中V，W 是2個模類。Gorenstein 投射（內射）模，GC-投射（內射）模［5-7］、W-Gorenstein 模、Auslander 類中的模和Bass類中的模［8］為VW-Gorenstein 模的特例。

CARTAN等［9］引入了復形的一類投射分解和一類內射分解。VERDIER［10］分別稱其為復形的Cartan-Eilenberg（CE）-投射分解和CE-內射分解，并提出了CE-投射復形與CE-內射復形的概念。ENOCHS［11］進一步研究了CE-投射復形和CE-內射復形，證明了每個復形都有CE-投射預覆蓋和CE-內射包絡，復形的CE-投射分解（CE-內射分解）就是由CE-投射預覆蓋（CE-內射包絡）給出的復形的CE-正合序列，同時，研究了CE-Gorenstein投射（內射）復形，證明了CE-Gorenstein 投射（內射）復形的2 種定義方式等價。設W 是一個模類，LIANG等［12］和LU等［13］用不同方法研究了CE WGorenstein 復形，證明了如果W 自正交，則CE WGorenstein 復形有完備CE W-分解。

受文獻［4，11-13］的啟發，本文研究CE VWGorenstein 復形。

1 預備知識

設R，S為有單位元的結合環，除特別說明外，下文討論的均為左R-模或左S-模和左R-模或左S-模的復形。用C 表示模的復形范疇，投射、內射左R-模類分別記為P(R)和I(R)。設SCR是一個半對偶(S，R)-雙模，PC(S)，IC(R)分別表示C-投射左S-模類和C-內射左R-模類；相對于C的Auslander 類和Bass 類分別記為AC(R)和BC(S)［8］。將復形

記為(X，δ)，簡記為X。復形X的第n個循環、邊緣、同調模分別記為Zn(X)，Bn(X)，Hn(X)。X的循環、邊緣、同調復形分別記為Z(X)，B(X)，H(X)。用上標區分不同的復形，例如，設{Xi}i∈I是一簇復形，則復形Xi為

設A是一個Abel范疇，B 是A的一個全子范疇。如果對任意的B∈B，復形HomA(S，B)（HomA(B，S)）正合，則稱 A 中的復形S是HomA（-，B）-正合（HomA（B，-）-正合）的。設X，Y是A的2個全子范疇，若對任意的X∈X，Y∈Y，均有，則記X⊥Y。特別地，如果X⊥X，則稱X 自正交。

定義3［4］設V，W 是2個模類。如果存在Hom（V，-）-正合和Hom（-，W）-正合的正合序列：

其中，Vi∈V，Wj∈W，使得M?Im δ0，則稱模M是VW-Gorenstein的。

VW-Gorenstein 模的類記為G（VW）。特別地，G（VV）簡記為G（V）。

注1（1）當V=P(S)，W=PC(S)時，VWGorenstein 模為GC-投射S-模［7］；

（2）當 V=IC(R)，W=I(R)時，VWGorenstein 模為GC-內射R-模［7］；

（3）當V=W時，VW-Gorenstein模為WGorenstein模［2-3］。特別地，當V=W=P(R)(I(R))時，VW-Gorenstein 模為Gorenstein 投射（內射）R-模［1］；

（4）當V=P(R)，W=IC(R)時，G（VW）=AC(R)［8］；

（5）當V=PC(S)，W=I(S)時，G（VW）=BC(S)［8］。

2 CE VW-Gorenstein 復形

設V，W 是2個模類，X是一個復形。由定義1，如果對任意的n∈Z，有Xn，Zn(X)，Bn(X)，Hn(X)∈G(VW)，則稱X是CE VW-Gorenstein 復形。由注1，知CEGC-投射S-復形、CEGC-內射R-復形、CE W-Gorenstein復形［12］、CE Gorenstein投射（內射）復形［11］、CE AC(R)-復形和CE BC(S)-復形為CE VW-Gorenstein 復形的特例。

下文中，總假設V，W 滿足：

（*）V，W 關于擴張、同構和有限直和封閉，且V⊥W，V⊥V，W⊥W，V，W ?G(VW)的左R-或S-模類。

注2（1）由文獻［3］注記2.3（4）、文獻［6］命題2.6 和文獻［8］命題5.2，知V=P(S)，W=PC(S)滿足條件（*）。對偶地，V=IC(R)，W=I(R)滿足條件（*）；

（2）若V=W 是關于擴張、同構和有限直和封閉的自正交模類，則V，W 滿足條件（*）；

（3）由文獻［3］注記2.3（4）和文獻［8］引理4.1、命題5.2、推論6.1，知V=P(R)，W=IC(R)滿足條件（*）；

（4）由文獻［3］注記2.3（4）和文獻［8］引理4.1、命題5.2、推論6.1，知V=PC(S)，W=I(S)滿足條件（*）。

定義4復形X的完備CE VW-分解是HomC(CE(V)，?)-正合和HomC(?，CE(W))-正合的CE-正合序列

由推論1，可得

推論2設X是CE VW-Gorenstein 復形，則在X的完備CE VW-分解中，每個態射的核均為CE VW-Gorenstein 復形。