電場作用下HR 神經元的分岔分析及參數辨識

肖冉，安新磊，祁慧敏，喬帥

（蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070）

生物神經元是機體產生認知功能的系統，在生理活動調節中起主導作用，是最復雜的非線性系統之一。神經元系統的基本結構和功能單位是神經元，神經元頻繁且復雜的放電過程具有非線性，這對進一步研究其動力學行為有重要意義［1］。對生物神經元放電模型的研究可追溯至20 世紀50 年代，HODGKIN等［2］通過烏賊軸突觸電壓鉗實驗，建立了Hodgkin-Huxley（HH）神經元模型，這是首個關于神經元放電的數學模型。20 世紀80 年代，HINDMARSH等［3-4］以丘腦神經元為研究對象，建立了Hindmarsh-Rose（HR）神經元模型。

神經元的放電活動受離子轉運、電磁輻射等外界因素的影響，已成為近年來的研究熱點之一。考慮外部電磁輻射對神經元放電活動的影響不可忽視，文獻［5］采用憶阻器實現了感應電流與膜電位的耦合。文獻［6］在考慮神經元膜電位與外部磁場之間的電磁感應效應的基礎上，建立了改進的四維HR 神經元模型。文獻［7］將磁通量引入FitzHugh-Nagumo（FHN）神經元模型用以描述電磁感應效應，發現電磁輻射可使神經元的放電方式和螺旋波發生改變。文獻［8］通過引入電場變量，建立了外電場作用下的FHN 神經元模型，并通過數值仿真分析了該模型的動力學行為。結果表明，電場變量E可以很好地描述離子的分布和膜電位變化。文獻［9］進一步研究了FHN 神經元模型的動力學行為，同時證實了此模型中無共存吸引子。文獻［10］利用電場效應下改進的HR 神經元模型，研究了當跨膜電位與電場進行突觸耦合時兩個神經元之間的有限時間同步，結果表明，電場耦合強度的變化對神經元間的同步影響較小，改變突觸耦合強度則對神經元間的同步影響較大。說明電場可以成為促進信號交換和編碼的有效橋接。文獻［11］通過引入磁通量，建立了改進的HH 神經元模型，探討了該模型的分岔模式以及在電磁耦合強度下的同步行為。文獻［12］研究了HH 神經元模型受電磁輻射影響時放電活動的變化，并證明了電磁輻射的影響可以從單個神經元傳遞至附近的其他神經元。文獻［13］采用數值仿真方法研究了HR 神經元模型在電磁輻射影響下的放電行為，并通過構造Washout 控制器消除系統的隱藏放電行為。文獻［14］分析了電磁感應作用下HR 神經元模型的混合模式振蕩放電特征，同時通過構造Hamilton 能量反饋控制器，將該模型從混沌振蕩態轉為不同周期的簇放電態。文獻［15］用相對閾值耦合方法對混沌神經元實施控制，分析了不同弛豫時間以及閾值對混沌神經元動力學行為的影響。

神經元系統參數辨識是進行神經元動力學分析的重要環節。在實際中，神經元系統不可避免地受周期性擾動或外界因素的影響，引起系統多個參數同時變化，因此辨識變化后的參數準確值十分關鍵。有效的參數辨識可將實驗獲得的有用數據與理論模型結合，建立更符合實際的神經元模型。

神經元模型的參數辨識方法主要有2種，一種是基于Laypunov 穩定性理論以及自適應同步的方法，以原系統為驅動系統，構建對應的響應系統，設計適當的控制器，實現驅動系統與響應系統同步，辨識未知參數［16-17］。但某些神經元模型的控制器難以構建，且構建控制器需要原系統多個狀態變量的時間序列，所需信息量較大，操作困難。另一種是運用現代群智能優化算法的尋優能力，通過構建合適的目標函數，將參數辨識問題轉化為最優化問題進行神經元模型參數辨識。該方法在構建目標函數時只需1個狀態變量的時間序列，操作容易，是當前主流的一種參數辨識方法。文獻［18］設計了2 種目標函數，通過實數編碼的遺傳算法辨識HR 神經元模型的未知參數；文獻［19］采用改進的遺傳算法參數辨識方法，同時辨識了內埋式永磁同步機的4個參數；文獻［20］將混沌算法與粒子群算法融合，用自適應混沌粒子群算法辨識了光伏電池模型參數；文獻［21］提出了數據驅動的改進型Newton-Raphson法，辨識的電網線路參數準確性較高。

受上述研究啟發，考慮細胞膜離子交換時產生的電場可能對神經元系統有影響，本文引入電場變量，構建了一個四維HR 神經元模型。通過MATLAB 軟件得到該模型的雙參數分岔圖、最大Lyapunov 指數圖及峰峰間期分岔圖等，分析了模型的放電模式及分岔現象。考慮放電過程中模型的多個參數會發生變化，采用混合粒子群遺傳算法對四維HR 神經元模型進行了參數辨識，并通過數值仿真驗證了算法的有效性和可行性。

1 模型描述

基于三維HR 神經元模型，由于細胞內外連續離子交換會產生時變電場，時變電場進一步影響細胞內外離子交換，引起膜電位發生變化，故考慮時變電場的影響，建立改進的四維HR 神經元模型［22］，微分方程為

2 雙參數分岔分析

通過MATLAB 軟件得到不同雙參數組合下系統放電行為的雙參數分岔圖及其對應的最大Lyapunov 指數圖（圖1）。

以不同的雙參數組合為控制變量、其他參數為基準值，系統在雙參數平面中的分岔行為如圖1（a）（c）（e）所示，其中不同的顏色表示不同的放電態，對應的數字表示放電周期，如1 表示尖峰放電態，2 表示周期2 簇放電態，4 表示周期4 簇放電態，…，周期為20 及20 以上的系統放電態和混沌態均用白色表示，對應的最大Lyapunov 指數圖如圖1（b）（d）（f）所示，其中，藍色表示靜息態，黃色表示周期簇放電態，橙紅色表示混沌態。

圖1 雙參數分岔圖及最大Lyapunov 指數圖Fig.1 Bifurcation and maximum Lyapunov exponent of double parameters

由圖1（a）知，系統出現多種周期簇放電態且伴有“鋸齒狀”的混沌態。根據圖1（a）中黑線自左上方至右下方的走勢，系統從混沌放電態進入周期3 簇放電態，隨后經歷倍周期分岔進入周期6，12，…簇放電態，周期簇放電態結束后進入混沌放電態，接著出現周期4 窗口，再次經歷倍周期分岔進入周期8，16，…簇放電態和混沌放電態……。混沌放電態結束后系統進入周期數+1的簇放電態，即伴隨混沌的加周期分岔模式 。此外，由I∈[2.70，2.95]，r∈[0.002 0，0.006 9]可知，隨著r的增大，系統逐漸進入周期數+1的簇放電態，且不伴有混沌區域，即無混沌的加周期分岔模式。圖1（b）中的橙紅色混沌結構與圖1（a）的白色區域相對應，說明白色區域是混沌放電態窗口。

在圖1（c）中，底部呈現大面積淡藍色區域，表明系統在此范圍內呈尖峰放電態，2個參數的變化對系統的分岔行為幾乎無影響。當c∈[0.4，2.0]，d∈[4.4，5.6]時，隨著2個參數的同步增大，系統先從周期2 簇放電態通過倍周期分岔進入周期4，8，…簇放電態，再進入混沌放電態，接著出現周期3 窗口，通過倍周期分岔進入混沌態……這也是伴隨混沌的加周期分岔過程。周期≥20的白色窗口呈“鋸齒狀”，結合圖1（d），可知橙紅色混沌態結構與圖1（c）的白色“鋸齒狀”結構相吻合。

由圖 1（e）可知，當a∈[0.558，0.695]，r∈[0.002，0.022]時，系統始終處于大面積尖峰放電態或周期2 簇放電態，說明此時2個參數對系統的分岔行為影響較小。當a∈[0.035，0.558]，a∈[0.695，1.150]，r∈[0.002，0.022]時，隨著r的減小，左右兩側均伴隨與圖1（a）相似的分岔行為，即伴隨混沌的加周期分岔模式。在此基礎上，由圖1（f）知，左右兩側均有“鋸齒狀”混沌結構，其與圖1（e）左右兩側的白色區域對應。

按圖1（a）中黑線自右下方至左上方分別作系統膜電壓的峰峰間期（ISI）分岔圖及其對應的最大Lyapunov 指數圖（圖2）。由圖2（a）知，隨著I的增大和r的減小，系統膜電壓的放電模式依次為混沌放電態→周期3 簇放電態→周期6 簇放電態→周期12簇放電態→…→混沌放電態→周期4 簇放電態→周期8 簇放電態→周期16 簇放電態→…→混沌放電態……。由圖2（b）知，系統反復進入周期簇放電態與混沌態，且混沌態的區間與峰峰間期分岔圖相吻合。

圖2 系統（1）關于參數I和r的峰峰間期分岔圖及其最大Lyapunov 指數圖Fig.2 The ISI bifurcation diagram and the maximum Lyapunov exponent diagram of parameters I and r in system（1）

綜上，神經元系統的放電態發生變化是因為受外界刺激參數發生了變化。當系統的多個參數同時發生變化時，通過已有信息對變化后的參數進行辨識具有重要意義。

3 四維HR 神經元模型的參數辨識

3.1 參數辨識方法介紹

在智能優化算法中，粒子群算法和遺傳算法較為經典，粒子群算法是一種隨機搜索算法，將每個解看作一個粒子，每個粒子為使個體距離目標位置最短，需同時靠近個體歷史最優位置及種群最優位置。遺傳算法采用“物競天擇，適者生存”理念，先選擇保留優秀個體，再通過仿遺傳過程的交叉和變異操作對解進行搜索，是一種啟發式算法。

這2 種算法的優缺點較明顯。粒子群算法中各粒子迅速向歷史個體最優位置和種群最優位置靠近，種群快速聚集，迭代前期效率非常高，能快速逼近最優解，但較易陷入局部最優，出現早熟現象，且難以跳出局部最優。遺傳算法的全局性較好，但整體效率不高。本文將2 種算法相結合，在粒子群迭代中引入遺傳算法的交叉和變異操作，通過交叉和變異操作跳出局部最優，并用交叉公式計算得到新的染色體，從而增加種群多樣性，找到全局最優解。

3.2 自適應混合粒子群遺傳算法

在粒子群算法中，慣性權重ω以及學習因子C1，C2均能在很大程度上影響算法性能。在迭代前期，較大的慣性權重有利于算法跳出局部最優，加強全局尋優性能；在迭代后期，較小的慣性權重有利于算法局部尋優并達到收斂。本文采用自適應慣性權重：

其中，ωs，ωe分別為初始慣性權重與迭代結束時的慣性權重；g為當前迭代次數；G為迭代總次數。

學習因子C1代表粒子向個體歷史最優學習的能力，學習因子C2代表粒子向全種群最優學習的能力。在迭代前期，較大的C1和較小的C2可抑制各粒子快速聚集，使算法具有更好的全局尋優性能；在迭代后期，較小的C1和較大的C2有利于算法收斂。本文采用自適應學習因子：

其中，C1s，C1e分別為C1的初始值和最終值；C2s，C2e分別為C2的初始值和最終值。

在更新粒子的速度與位置后，為增加種群多樣性，跳出局部最優，引入遺傳算法的交叉和變異操作。考慮遺傳算法的編碼方式，將優化變量作為染色體進行二進制編碼，再進行交叉和變異操作。當遇到高維度優化問題或有高尋優精度要求時，二進制編碼較冗余，搜索空間過大，難度增加，影響迭代速度。因為待辨識參數均為實數，對辨識精度要求高，且參數辨識屬于高維連續優化問題，所以采用實數編碼的方式更合適，獲得的辨識結果精度更高。

在一般的實數編碼遺傳算法中，交叉操作是交換2個個體對應的實數染色體，并未產生新的染色體，得到優質個體，因此，多樣性并不豐富。本文所用交叉操作公式為

其中，l∈[0，1]為隨機數，參數dp可以調節子代產生的方向，通常，dp>1 可使子代往好的父代方向移動，而非盲目隨機產生個體。一方面，可以得到大量新的染色體，增加種群多樣性；另一方面，2個子代的和與2個父代的和較接近，能增加子代的收斂性。變異操作根據變異概率（取0.1）對挑選的個體邊界重新賦值。

自適應混合粒子群遺傳算法步驟：

步驟1將種群的位置與速度初始化，將個體最優位置和全局最優粒子的位置初始化。

步驟2根據式（2）和式（3）更新慣性權重和學習因子。

步驟3更新整個種群的位置和速度，并對跑出邊界的粒子做邊界化處理，防止其越界。

步驟4用式（4）對每對父代粒子做交叉操作，生成新種群。

步驟5根據變異概率對種群進行變異操作。

步驟6更新個體最優位置和全局粒子最優位置及最優值。

步驟7判斷是否達到最大迭代次數，若是，則轉步驟8 結束循環；若否，則轉步驟2 繼續循環。

步驟8輸出全局粒子最優位置和最優值。

4 數值仿真

為體現本文算法在神經元參數辨識中的高精度和優越性，分別采用標準粒子群算法、實值編碼遺傳算法以及本文算法通過MATLAB 軟件對四維HR神經元模型進行參數辨識。將a，b，d，r作為待辨識參數。目標函數設定為

其中，pn(x(t))為真實參數狀態變量x的前200個時間向量，pn((t))為待辨識參數狀態變量x的前200個時間向量。目標函數越小，待辨識參數系統狀態變量的信號與實際參數系統狀態變量時間序列的信號相差越小，待辨識參數與真實參數越接近，從而將神經元模型的參數辨識問題轉化為最優化問題。

4個待辨識參數的取值范圍分別為a∈[0.2，1.8]，b∈[1.8，4.0]，d∈[4.2，6.8]，r∈[0.001，0.012]。參數真實值取模型描述中的基準值。設置種群數為30，最大迭代次數為150，取C1s=2.0，C1e=0.5，C2s=0.5，C2e=2.0，ωs=0.8，ωe=0.4，dp=5。3種算法參數設置相同。

3 種算法的目標函數曲線如圖3 所示。可知，本文算法在迭代前期的辨識效果較好，迭代速度快，且前期辨識精度已高于另2 種算法的最終辨識精度。當迭代次數為150時，本文算法辨識精度較另2 種算法高。

圖3 各算法的目標函數曲線Fig.3 Objective function curve of different algorithms

3 種算法的參數辨識結果如表1 和圖4 所示。

由表1 和圖4 可知，相比于粒子群算法和遺傳算法，本文算法參數辨識結果與真實值最接近，誤差最小，尤其對最小參數r的識別非常精準，這是因為本文算法將遺傳算法的交叉和變異操作引入粒子群迭代，跳出了局部最優，找到了更接近真實值的結果。因此，本文算法能更準確地辨識未知參數，解決神經元模型的參數辨識問題，具有優越性。

表1 3 種算法的參數辨識結果Table 1 Parameter identification results of three algorithms

圖4 3 種算法的參數辨識曲線Fig.4 Parameter identification curve of three algorithms

5 結論

首先，在三維HR 神經元模型的基礎上引入了電場變量，構建了電場作用下四維HR 神經元模型，并用MATLAB 軟件作了雙參數分岔圖及其對應的最大Lyapunov 指數圖、峰峰間期分岔圖及其對應的最大Lyapunov 指數圖，發現模型具有豐富的動力學性質及放電模式。由于神經元模型維數較高，對參數辨識精度要求高，一般的粒子群算法和遺傳算法辨識效果欠理想，為此提出了一種自適應混合粒子群遺傳算法，并將其應用于神經元模型的參數辨識。數值仿真結果表明，該算法的尋優精度高，迭代速度快，辨識效果好。研究結果對電場下生物學及醫學神經元模型的建立以及參數辨識具有一定的參考價值。