色偶極子模型中深度虛康普頓散射過程研究

向文昌，蔡燕兵*，周代翠

（1.貴州財經大學 金融物理重點實驗室，貴州 貴陽 550025；2.華中師范大學 粒子物理研究所，湖北 武漢 430079）

微擾量子色動力學預言，隨著能量的增加或動量分數的減少，強子內的膠子密度快速增加，在小x區域（當能量足夠高時）形成高膠子密度的飽和狀態，即色玻璃凝聚態（color glass condensate，CGC）［1］。CGC 中的膠子飽和現象可用非線性的JIMWLK 演化方程［2-5］描述，但JIMWLK 演化方程是極其復雜的無窮階級聯方程，對其解析和數值求解均十分困難，因此很難直接用于描述具體的物理觀測量。另一種能描述膠子飽和現象的是非線性演化BK（Balitsky-Kovchegov）方程［6-7］，BK 方程為JIMWLK 方程的平均場近似。BK 方程的重要結果之一是散射振幅的幾何標度，并由此驗證了HERA能區電子質子深度非彈性散射（deep inelastic scattering，DIS）的實驗數據［8］，間接表明了膠子飽和物質的存在，從而有力地支持了CGC 理論。

近年來，隨著實驗精度的不斷提高和測量能區的不斷擴大，CGC 理論得以較快發展。一方面，通過各種高階修正，發展了一系列改進的CGC 演化方程，例如考慮跑動耦合常數修正（夸克圈修正）的次領頭階演化方程［9-10］，同時考慮夸克圈修正和膠子圈修正的完整次領頭階演化方程［11］。另一方面，CGC 理論被用于描述各種實驗觀測量，例如單舉過程的質子結構函數［12-13］和強子的產生［14］，遍舉過程實光子［15-16］和矢量介子的產生［17-18］。這些研究不但發展和完善了CGC 理論，而且促進了相關實驗的發展。美國在建的電子離子對撞機（electron ion collider，EIC），其重要目的之一就是尋找CGC 存在的證據；我國設計的極化電子離子對撞機（electron ion collider in China，EicC），旨在通過與EIC 相互補充，豐富對CGC 理論的研究。

在CGC的諸多研究領域中，遍舉過程比單舉過程更易于探測CGC 中出現的膠子飽和現象，因為單舉過程的散射截面僅正比于膠子密度的一次方，而遍舉過程的散射截面正比于膠子密度的二次方，即遍舉過程對膠子飽和更敏感［19］。特別地，對遍舉過程中的衍射矢量介子產生和深度虛康普頓散射（deeply virtual compton scattering，DVCS）的實光子產生進行了大量研究，這些研究提供了膠子飽和的重要信息。但衍射矢量介子產生過程中，無法通過量子色動力學（quantum chromo dynamics，QCD）精確計算矢量介子波函數，模型存在不確定性。在DVCS 過程中，光子的波函數是可以精確計算的，且不需要引入模型參數。在HERA 能區，H1 和ZEUS實驗組已經積累了豐富的不同轉移動量區域的DVCS 實驗數據，這些數據為精確研究質子的內部結構提供了場所。特別地，通過Bethe-Heitler 過程的干涉項可以很好地探測DIS 過程的廣義部分子分布函數。因此，DVCS 過程成了研究膠子飽和最為理想的探針之一［20］。

色偶極子模型能較好地描述DVCS 過程實光子的產生。FAVART等［16］在色偶極子框架下基于BGBK（Bartel-Gder-Biernat-Kowdski）飽和模型研究了DVCS 過程實光子的產生，通過修正偏度較好地描述了大的光子虛度區域的實驗數據。MARQUET等［21］利用色偶極子模型中領頭階水平的唯象IIM（Iancu-Itakura-Munier）模型預測了HERA 能區DVCS 過程實光子的產生，由于當時HERA 能區實驗測量精度并不高，因此MARQUET等［21］的模型參數只能粗略地取自矢量介子產生過程。KOWALSKI等［22］在IIM 模型基礎上引入了碰撞參數依賴，得到了b-CGC 模型；REZAEIAN等［23］利用b-CGC 模型計算了DVCS 過程實光子的產生并與HERA 能區的最新實驗數據進行了比較，發現在大的質子轉移動量平方區域，不同的偶極子模型給出的結果不一致。這是由于這些模型并沒有考慮高階效應，計算精度尚不足以定量描述真實的物理過程。

為提高色偶極子模型的精度，更好地描述DVCS 過程，本文將高精度的共線改進偶極子散射振幅用于研究DVCS 過程實光子的產生，通過擬合HERA 能區的最新DVCS 實驗數據，得到微分截面下的χ2/d.o.f=0.51 和總截面下的χ2/d.o.f=0.89，同時抽取了DVCS 過程的斜率，所得結果與實驗一致，CGC 理論的有效性得到進一步支持。

1 色偶極子模型對DVCS 過程的描述

1.1 色偶極子模型中的DVCS 截面

DVCS 是電子-質子深度非彈性散射中十分重要的過程，在DVCS 過程中，電子輻射的虛光子與質子發生相互作用，生成實光子，即γ*p →γp。由色偶極子模型，虛光子與質子的相互作用通常被認為是虛光子漲落形成的一對由正、反夸克（qqˉ）組成的偶極子與質子發生相互作用［22］。在質子靜止參考系下，偶極子的壽命遠長于其與質子相互作用的時間，因此DVCS 過程可看成3個時間上連續的子過程，如圖1 所示。其中，I 為入射虛光子漲落成由正、反夸克組成的偶極子；II 為偶極子與質子通過交換膠子發生相互作用；III 為相互作用后的正、反夸克對重新融合成末態的實光子；z和1 ?z分別表示夸克和反夸克所攜帶的虛光子的縱向動量分數，r表示偶極子的橫向大小，t表示質子轉移動量的平方，b表示碰撞參數，其值為偶極子中心到質子中心的距離。

圖1 色偶極子模型中DVCS 過程示意Fig.1 The DVCS diagram in the color dipole model

根據因子化理論，DVCS 過程的散射振幅可因子化為3個子過程所代表的物理量的乘積［22］：

由光學定理，偶極子質子散射總截面可用偶極子向前散射振幅（t=?q2=0）的虛部表示，因此式（2）右側b空間的散射振幅可進一步寫為［22］

將式（2）和式（3）代入式（1），有

假定式（3）中的散射振幅只包含向前部分，考慮非向前部分的貢獻需在僅考慮向前部分的式（4）中加入一個指數因子exp [±i(1 ?z)rq/2]。式（4）中，N(x，r，b)為碰撞參數依賴的散射振幅，其變化滿足偶極子演化方程，由于碰撞參數依賴的演化方程十分復雜，目前常用在IIM 模型中唯象地引入碰撞參數的依賴關系，因IIM 模型來自領頭階的BK 方程，所以引入的碰撞參數依賴的散射振幅本質上也是領頭階的。為提高DVCS 過程截面的計算精度，需將偶極子與質子的散射振幅推廣至次領頭階水平，考慮碰撞參數依賴的散射振幅的復雜性，本文采用CEPILA等［24］的方法，將N(x，r，b) 因子化為三部分

其中，σ0為歸一化常數，N(x，r)為偶極子散射振幅，r表示r的模，T(b)表示質子輪廓函數，碰撞參數的依賴由此函數體現。假定因子化后偶極子的散射振幅僅是偶極子橫向大小的函數。將N(x，r，b)因子化的好處之一是可直接從偶極子演化方程中得到N(x，r)，因此很容易推廣至次領頭階水平。本文將采用高精度的次領頭階水平的共線改進的偶極子散射振幅；好處之二是分離的能量依賴（N(x，r)）和碰撞參數依賴（T(b)），可在考慮高精度的偶極子散射振幅的同時考慮質子的量子效應。在DVCS 過程中，由于參與相互作用的質子能量非常高，質子的量子效應使其子結構在相互作用中出現波動。本文將質子看作由一系列高膠子密度區域組成的量子體，這些高膠子密度區域也稱為熱點。由于質子存在量子效應，熱點位置將隨相互作用事件的變化而變化。由CEPILA等［24］所用的模型，其質子輪廓函數為熱點區域之和：

其中，Nhs表示質子中的熱點數。每個熱點均滿足高斯分布：

其中bi表示質子中第i個熱點的橫向位置，bi的取值滿足中心在原點（0，0）、寬度為Bp的二維高斯分布。因此參數2Bp表示質子橫向半徑平方的均值，同理，2Bhs表示熱點半徑平方的均值。

質子中的熱點數Nhs是模型依賴的，在CEPILA等［24］的研究中，假設Nhs與能量相關，因此引入了動量分數依賴的熱點數模型：

該模型在一定誤差范圍定量描述了J/ψ介子的產生，但并不完善。因Nhs為高膠子密度區域（熱點）數，所以膠子密度僅是能量依賴的這并不合理。由QCD 實驗和相關理論，膠子密度還應該是虛度（Q2）依賴的［25-26］。ZHANG等［18］受膠子密度公式啟發，引入了Q2依賴的熱點模型，很好地描述了J/ψ介子的產生。與已有模型相比，本文模型得到了較小的Bhs，間接揭示了熱點半徑隨Q2的增大而減小，這與QCD 實驗和相關理論相吻合，從而驗證了本文模型的優越性。研究中，將Q2依賴的熱點模型首次運用于DVCS 過程，引入Q2依賴后，熱點數可參數化為［18］

其中，Λ=0.2 GeV；p0，p1，p2，p3為自由參數，經擬合實驗數據得到。

由式（1）和式（4）知，要計算DVCS 過程的散射振幅，光子波函數是其中一個重要因素。與矢量介子波函數不同，光子波函數可由量子電動力學（QED）精確計算得到，因此在DVCS 過程中不存在波函數的不確定性，這使得DVCS 成了研究強子結構的最理想探針之一。由于DVCS 過程中末態光子為實光子，因此只有橫向極化成分。簡潔起見，定義光子重疊波函數為

下標T 表示末態光子只有橫向極化，極化求和后有［22］

由于末態光子為實光子，其虛度=0，因此=。式（11）中，Nc表示色數，αem表示電磁精細結構常數，mf和ef分別表示味為f的夸克的質量和電荷，K0和K1分別表示0 階和1 階二類修正貝塞爾函數。由式（10）及非向前部分貢獻因子，DVCS 過程的散射振幅可寫為

將式（6）和式（7）代入式（13），對變量b積分，將變量r化成極坐標形式，并對方位角積分，可得

其中用了與式（5）相同的約定，q表示轉移動量q的模，J0表示0 階一類貝塞爾函數。由式（14），DVCS過程實光子產生的微分截面可寫為［22］

對t積分，可得到DVCS 過程實光子產生的總截面。

1.2 偶極子散射振幅演化方程

計算微分截面的兩個重要因素是光子重疊波函數和偶極子散射振幅，其中，光子重疊波函數可通過微擾QCD 精確計算，因此得到高精度微分截面的關鍵是提高偶極子散射振幅的精度。

自偶極子模型提出以來，如何獲得能更好描述實驗數據的偶極子散射振幅成為高能物理學研究的重點。按偶極子散射振幅的獲得方法，大致可分為兩類研究：一類是通過唯象模型得到偶極子散射振幅，模型參數通過擬合實驗數據得到；另一類是通過計算不同精度的偶極子散射費曼圖，得到相應的偶極子演化方程，通過解演化方程得到偶極子散射振幅。

第一類研究主要有GBW（Golec-Biernat-Wusthoff）模型［27］、BGBK模型［28］、IIM模型［29］。GBW 模型是在Mueller 偶極子模型框架下引入膠子飽和得到的，因此GBW 模型能很好地刻畫膠子飽和這一物理性質，并且其散射振幅為偶極子橫向尺寸r和膠子飽和動量Qs的函數（幾何標度效應），這一效應在實驗中得到了印證。但GBW 模型并不適合大轉移動量區域，為解決此問題，BARTELS等［28］用 DGLAP（Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi）演化的膠子密度代替Qs，得到BGBK 模型。盡管此模型能很好地描述質子結構函數的實驗數據，但并不適合在飽和區域進行DGLAP演化?；诖耍琁ANCU等［29］通過解BK 方程得到了著名的IIM 模型。IIM 模型對HERA 能區的實驗數據描述能力優于GBW 和BGBK 模型，但本質上IIM 模型源于BK 演化方程，因此其精度仍處于領頭階水平。

通過解演化方程得到的偶極子散射振幅，由于其是通過計算相應的費曼圖得到的，因此容易擴展至包含高階修正的情形。本文將采用由共線改進的偶極子演化方程計算DVCS 過程的偶極子散射振幅。為便于約定和引入相應的符號，先介紹領頭階的BK 方程。

BK 方程描述偶極子通過輻射軟膠子隨快度Y的演化，在大Nc極限下，其演化方程為［6?7］

其中，KLO為領頭階演化核，

其中，=αs Nc/π，αs為跑動耦合常數，r表示母偶極子的橫向尺寸，r1和r2表示新產生的2個子偶極子的橫向尺寸。

領頭階BK 方程僅對αsln(x)進行所有階重求和，且αs為固定常數，因此方程的精度并不高。在用其描述HERA 能區質子結構函數時發現，理論值總比實驗值大［12］，原因是由領頭階BK 方程得到的偶極子散射振幅隨快度快速演化，得到的偶極子散射振幅相對較大。為得到能更好描述實驗數據的散射振幅，在BK 方程的基礎上加入各種高階修正，以壓低散射振幅的演化速度，例如夸克圈（跑動耦合常數）修正［9-10］、膠子圈修正和非線性平方及立方膠子樹圖修正［11］。當用含夸克圈修正的偶極子散射振幅描述實驗數據時，發現夸克圈修正過度會壓低偶極子散射振幅隨快度演化的速度［30］，基于此，BALITSKY等［11］得到了一個完整的次領頭階BK演化方程（fNLOBK），但fNLOBK的數值解并不穩定，隨著快度的增加，當偶極子的尺寸小于一定值時，其散射振幅會出現負值。LAPPI等［31］研究發現，其原因是方程中的雙對數項產生了過大的輻射修正。

為解決fNLOBK的數值解不穩定問題，提出了兩種處理方案：一是對演化核進行動力學限制，得到射彈快度Y表示下的非局域演化方程［32］；二是對雙對數修正進行到所有階的重求和，得到Y表示下的共線改進演化方程［33］。此兩方案等效，且均能使fNLOBK的解穩定。最新研究發現，偶極子演化方程最合適的演化變量不是射彈快度Y，而是靶快度η，因為實驗中觀測量通常是以η=ln(1/x)為自變量，并且在η下并不存在雙對數項引起的不穩定性問題［34］。本文將采用η表示下的共線改進演化方程（BK-η）獲得研究DVCS 過程中實光子產生的偶極子散射振幅。由于直接在靶快度下通過計算相應的費曼圖得到相應的演化方程尚存在許多困難，因此采用DUCLOUE等［34］提出的變量變換方法，將Y表示下的BK 方程變換至η表示下。變量變換中Y和η的關系為

其中，ρ=分別表示入射偶極子和靶的特征橫動量標度。由式（18），進行變量變換可將偶極子散射振幅變換至η表示下［34］：

式（20）和式（21）泰勒展開，并保留至一階項，有

式（22）和式（23）中等號右邊的第2 項為泰勒展開的一階項，其中的偏微分部分滿足偶極子演化方程，將領頭階的BK 方程代入式（22）和式（23），可得式（20）和式（21）的完整表達，將所得結果連同式（19）代入式（16），并加入膠子輻射應滿足的時序條件，可得共線改進的偶極子演化方程BK-η［34］：

式（24）為靶快度η下共線改進的BK 方程。

2 數值結果

首先對BK-η演化方程進行數值求解，其次將得到的偶極子散射振幅用于擬合DVCS 過程的實驗數據，由所得到的χ2/d.o.f，發現BK-η方程能很好地描述實驗數據。

2.1 偶極子散射振幅的數值解

因BK-η演化方程（22）為復雜的微分積分方程，為得到偶極子散射振幅的數值解，用MV（McLerran-Venugopalan）模型作為方程演化的初始條件［35］

在數值計算中，將r和η均在二維網格離散化為256個點，對應于rmin=2.06×10?9GeV，rmax=54.6 GeV，ηmin=0，ηmax=20。用龍格庫塔方法求解方程中的微分，用自適應辛普森方法求解方程中的積分，對不在網格內的點，用三次樣條插值得到任意點的偶極子散射振幅。

2.2 DVCS 實驗數據的描述

用數值形式的偶極子散射振幅擬合HERA 能區DVCS 過程實光子的微分散射截面和總截面的實驗數據，擬合參數為式（9）中的自由參數p0，p1，p2，p3。共擬合了HERA 能區DVCS 過程中實光子產生的76個數據點，其中微分截面數據點28個，總截面數據點48個。

表1 給出了由共線改進演化方程（BK-η）得到的偶極子散射振幅擬合DVCS 過程實光子產生的擬合參數和相應的χ2/d.o.f。由表1的最后一列知，由共線改進的偶極子散射振幅得到的χ2/d.o.f較合理，表明由BK-η演化方程得到的偶極子散射振幅能很好地描述HERA 能區DVCS 過程實光子產生的微分散射截面和總截面的實驗數據。

表1 DVCS 過程實光子產生的擬合參數和χ2/d.o.fTable1 The fitting parameters and χ2/d.o.f of the real photon production in DVCS

為更好地觀察由BK-η演化方程得到的偶極子散射振幅對DVCS 過程實光子的描述能力，用表1得到的擬合參數，通過式（15）計算實光子產生的微分散射截面，并將其與實驗數據進行比較。圖2 給出了不同Q2和Wγ*p（光子質子質心系能量）下實光子的微分散射截面隨|t|的分布情況。其中，（a）為ZEUS 實驗組和當=82 GeV 時H1 實驗組的結果，（b）為當Q2=10 GeV2時H1 實驗組的結果。從圖2 中可以看出，理論計算結果很好地描述了H1 和ZEUS的實驗數據。

圖2 不同Q2和Wγ*p 時DVCS 過程實光子產生的微分散射截面隨|t|的分布情況Fig.2 The differential cross sections of the real photon pro?duction in DVCS as a function of |t|at different Q2 and Wγ?p

為與實驗數據所測范圍保持一致，取t的積分范圍為［0，1］。為進一步說明由BK-η演化方程得到的偶極子散射振幅能很好地描述不同類型的觀測值，給出了實光子產生的總截面隨Q2和的分布情況（圖3）。從圖3 中可以看出，除大Q2區域的少數點外，由BK-η得到的偶極子散射振幅均能很好地描述實驗數據。在大Q2區域出現偏差的原因主要有兩個：一是該區域的實驗測量誤差相對較大；二是當相同時，大Q2區域對應于大x，而CGC 理論主要適用于小x。

圖3 DVCS 過程實光子產生的總截面隨Q2的變化Fig.3 The total cross sections of the real photon production in DVCS as a function of Q2

圖4 不同Q2 時DVCS 過程實光子產生的總截面隨的變化Fig.4 The total cross sections of the real photon production in DVCS as a function of at different Q2

此外，為了從不同角度反映由BK-η演化方程得到的偶極子散射振幅能很好地描述DVCS 過程?；赿σ/d|t|∝e?bt抽取了DVCS 過程的斜率B，并與HERA 能區H1 實驗組所測得的B進行了比較，見圖5。斜率B為DVCS 過程的一個重要觀測量，其值對應于質子中部分子的橫向分布范圍［38］，因此B隱含小區域質子形狀的重要信息［22］。由圖5（a）知，隨著Q2的增大，B呈緩慢減小趨勢。從圖5 中可以看出，在誤差范圍內理論抽取結果與實驗測量結果一致。

圖5 微分截面抽取的斜率BFig.5 The value of slope B extracted from differential cross sections

3 總結與討論

基于色玻璃凝聚理論框架下的色偶極子模型，利用共線改進的偶極子演化方程研究了DVCS 過程實光子的產生。通過數值方法求解BK-η演化方程，得到了數值形式的高精度偶極子散射振幅。將該偶極子散射振幅用于擬合DVCS 過程產生的實光子的微分截面和總截面，得到了較合理的χ2/d.o.f。此外，基于理論計算的微分截面分布，抽取了相應的斜率B，所得結果與實驗測量結果一致，表明由共線改進的演化方程計算得到的偶極子散射振幅能很好地描述HERA 能區DVCS 過程實光子產生的實驗數據，研究結果進一步支持了CGC 理論的有效性。下一步擬將模型應用于更高精度的EIC 和EicC 能區，以進一步檢測CGC 理論的優越性。