六相永磁直線同步電機(jī)電磁特性分析及數(shù)學(xué)模型建立*

楊 歸,許 金,朱俊杰,李明珂

(海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430033)

0 引 言

近年來，對(duì)于永磁材料的不斷研究和開發(fā)，永磁電機(jī)得到迅速的發(fā)展[1-4]。永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)與傳統(tǒng)電勵(lì)磁電機(jī)相比，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，運(yùn)行可靠；體積小，質(zhì)量輕；損耗小，效率高；電機(jī)形狀和尺寸可以靈活多樣等諸多優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航天航空、交通運(yùn)輸、艦船推進(jìn)、電磁彈射等領(lǐng)域[5-6]。與長(zhǎng)次級(jí)短初級(jí)結(jié)構(gòu)相比，PMLSM采用長(zhǎng)初級(jí)短次級(jí)結(jié)構(gòu)不僅可以節(jié)省材料成本，而且可避免高速運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致端部開斷引起動(dòng)態(tài)邊端效應(yīng)，以及改善供電線纜初級(jí)繞組運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致電機(jī)壽命降低等問題，更兼?zhèn)漭^低不對(duì)稱性等明顯優(yōu)勢(shì)。

在研究電機(jī)設(shè)計(jì)和控制方法時(shí)，通常需要建立準(zhǔn)確有效的數(shù)學(xué)模型[7]。數(shù)學(xué)模型主要分為兩種：以有限元模型為代表的分布參數(shù)模型[8-10]與以相空間模型和dq0軸坐標(biāo)模型為代表的集總參數(shù)模型[11-14]。有限元模型由于其具備計(jì)算結(jié)果精確以及便捷可視化操作界面等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用，然而同時(shí)具有建模成本高、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等不足。傳統(tǒng)集總參數(shù)模型具備建模成本低、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)也得到了廣泛應(yīng)用。相空間模型可以考慮電機(jī)不對(duì)稱、邊端效應(yīng)、飽和效應(yīng)以及諧波磁場(chǎng)等非線性影響因素，而dq0軸模型具備便于控制以及易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，通常可通過變換矩陣實(shí)現(xiàn)兩種模型之間的相互解耦變換。

目前永磁電機(jī)多為三相電機(jī)，而多相電機(jī)具備冗余度高、推力脈動(dòng)小、單相容量低以及安全可靠等諸多優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)電機(jī)。文獻(xiàn)[15]以分段供電雙三相PMLSM作為研究對(duì)象，考慮氣隙磁場(chǎng)脈動(dòng)以及暫態(tài)過程，建立了非線性相空間非線性數(shù)學(xué)模型，但未對(duì)dq0軸數(shù)學(xué)模型以及電磁特性進(jìn)行研究[15]；文獻(xiàn)[16]針對(duì)永磁電機(jī)飽和效應(yīng)以及磁場(chǎng)諧波問題，基于有限元建立了dq0軸數(shù)學(xué)模型，并對(duì)電磁特性進(jìn)行分析，但是以旋轉(zhuǎn)電機(jī)作為研究對(duì)象。目前大多數(shù)電機(jī)數(shù)學(xué)模型的建立均是基于大量假設(shè)條件進(jìn)行分析，而假設(shè)條件的設(shè)立缺少詳細(xì)的電磁特性分析。

綜上，本文以新型動(dòng)次級(jí)PMLSM作為研究對(duì)象，首先針對(duì)電機(jī)暫態(tài)時(shí)間、飽和特性及不對(duì)稱性等電磁特性進(jìn)行有效分析，然后建立自然坐標(biāo)系abc數(shù)學(xué)模型，由此推導(dǎo)出同步坐標(biāo)系dq0數(shù)學(xué)模型，繼而建立等效電路，并對(duì)瞬態(tài)工作特性開展相關(guān)計(jì)算；最后，通過電壓測(cè)試值和瞬態(tài)推力有限元值與解析計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果吻合度較高，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。

1 電磁特性分析

1.1 暫態(tài)時(shí)間計(jì)算及分析

在發(fā)射電機(jī)磁路中，永磁動(dòng)子為氣隙提供恒定磁源，定子采用電勵(lì)磁的方式為氣隙提供磁源，而初級(jí)繞加載激勵(lì)是從無到有的過程，即初級(jí)定子提供的磁場(chǎng)是從產(chǎn)生到穩(wěn)定具有一定的暫態(tài)時(shí)間。電機(jī)的定子電路為L(zhǎng)R回路，電感的電壓和電流達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)需要一定的過程，其波形符合指數(shù)變化，電感電壓電流變化式為

(1)

(2)

式中:Uin為輸入電壓；Rs為單相電阻；t1為時(shí)間常數(shù)，t1=Lp/R,Lp為相總電感，Lp=Lm+Ls，Lm為激磁電感，Ls為漏感。

通常規(guī)定5t1時(shí)間后電感參數(shù)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)出廠試驗(yàn)測(cè)得發(fā)射電機(jī)單相電阻與電感值計(jì)算暫態(tài)時(shí)間為0.009 s，電感參數(shù)電壓電流暫態(tài)曲線如圖1所示。為驗(yàn)證暫態(tài)時(shí)間計(jì)算的正確性，利用有限元瞬態(tài)各相感應(yīng)電壓變化曲線驗(yàn)證各相暫態(tài)時(shí)間如圖2所示。

圖1 歸一化參數(shù)變化曲線

圖2 有限元各相電流暫態(tài)變化曲線

由圖2可以看出電機(jī)各相繞組電壓暫態(tài)時(shí)間與理論上基本一致。根據(jù)以上分析可知，電磁場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的暫態(tài)時(shí)間遠(yuǎn)小于實(shí)際工作時(shí)間，可以忽略電機(jī)暫態(tài)過程。

1.2 飽和特性分析

當(dāng)初級(jí)繞組激勵(lì)增大時(shí)，電機(jī)電感會(huì)出現(xiàn)非線性，電機(jī)繞組電感需增加飽和系數(shù)ks，即電感是以電流變化的非線性函數(shù)，其關(guān)系可以用一個(gè)簡(jiǎn)化函數(shù)表示為

L′m=ksILm

(3)

為確定電機(jī)線性工作時(shí)加載電流激勵(lì)范圍，根據(jù)硅鋼片線性B-H曲線范圍及永磁體作用于初級(jí)鐵心表面的徑向磁場(chǎng)，推斷出初級(jí)繞組加載激勵(lì)時(shí)作用于鐵心表面的徑向磁場(chǎng)區(qū)間，從而根據(jù)磁場(chǎng)計(jì)算公式得到初級(jí)繞組加載電流激勵(lì)的范圍。

由無激勵(lì)單定子鐵心表面磁場(chǎng)分布，如圖3所示，可知無激勵(lì)永磁體磁場(chǎng)作用于初級(jí)鐵心表面最大電磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.678 6 T；由硅鋼片B-H曲線，如圖4所示，可知鐵心開始飽和時(shí)的電磁感應(yīng)強(qiáng)度約為1.5 T。根據(jù)單定子磁場(chǎng)計(jì)算式推算出鐵心出現(xiàn)飽和時(shí)初級(jí)繞組加載激勵(lì)最大值約為13 740 A。

圖3 鐵心表面徑向磁場(chǎng)

圖4 鐵心B-H曲線

為分析電機(jī)飽和規(guī)律，基于發(fā)射電機(jī)有限元模型進(jìn)行電感隨電流激勵(lì)變化關(guān)系求解，圖5所示為電流變化時(shí)的飽和系數(shù)曲線。

由圖5可知電流達(dá)到14 000 A左右時(shí)，電感開始些微下降，鐵心開始出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，仿真結(jié)果與理論計(jì)算值基本符合。實(shí)際工況下電流遠(yuǎn)達(dá)不到14 000 A，電機(jī)發(fā)射過程中基本處于線性工作區(qū)間內(nèi)。

圖5 飽和系數(shù)曲線

1.3 不對(duì)稱性分析

對(duì)于圓筒PMLSM:(1) 初級(jí)鐵心開斷，繞組端部將產(chǎn)生漏磁，初級(jí)繞組端部某相繞組產(chǎn)生的磁場(chǎng)與其他相繞組磁場(chǎng)耦合程度不同，將導(dǎo)致電感矩陣不對(duì)稱；(2) 發(fā)射電機(jī)要求工作在大推力狀態(tài)下，從而導(dǎo)致電磁負(fù)荷較大，需考慮初級(jí)鐵心飽和對(duì)電感參數(shù)帶來的影響。在發(fā)射電機(jī)同步工作過程中，永磁體動(dòng)子產(chǎn)生的磁場(chǎng)與初次電樞磁場(chǎng)相對(duì)靜止，因此永磁體磁場(chǎng)不會(huì)影響電機(jī)初級(jí)繞組電感參數(shù)變化，即電流不對(duì)稱性主要受初級(jí)定子影響。

為探索電流不對(duì)稱影響，設(shè)置工況(電壓幅值為35 V，頻率為20 Hz)進(jìn)行單定子電壓測(cè)試試驗(yàn)，并對(duì)所測(cè)的六相電流響應(yīng)進(jìn)行正負(fù)序分解，分析六相電流不對(duì)稱性影響程度。六相電流波形如圖6所示。根據(jù)六相電流響應(yīng)時(shí)域波形圖6可以看出六相電流B2相電流幅值略大，C1相電流幅值略小。

圖6 六相電流測(cè)量曲線

圖7 正負(fù)序電流頻譜

對(duì)六相電流進(jìn)行頻域分析，分析結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出正序電流只包含基頻，而負(fù)序電流除了基頻分量外還包含倍頻諧波，整體負(fù)序電流遠(yuǎn)小于正序電流。不對(duì)稱度計(jì)算式為

(4)

由式(4)計(jì)算出試驗(yàn)工況所測(cè)六相電流不對(duì)稱度約為1.97%，可知不對(duì)稱性對(duì)電機(jī)影響較小。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 初級(jí)繞組結(jié)構(gòu)分析

圖8 初級(jí)繞組相位圖

圖9 無槽整距繞組布置

2.2 自然坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型的建立

為便于PMLSM分析，建立切實(shí)可行的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)上節(jié)電磁特性分析，可以提出以下5點(diǎn)合理假設(shè)：(1)忽略暫態(tài)過程，近似認(rèn)為PMLSM一直同步工作；(2)忽略鐵心磁滯、渦流損耗及飽和，即電機(jī)磁路線性變化，磁場(chǎng)可以通過疊加原理進(jìn)行分析；(3)初級(jí)繞組及次級(jí)永磁體無阻尼作用；(4)定子初級(jí)磁動(dòng)勢(shì)沿氣隙按正弦規(guī)律變化，忽略磁路的高次諧波磁動(dòng)勢(shì)；(5)將次級(jí)永磁體材料視為理想磁源，即為電機(jī)氣隙提供恒定磁場(chǎng)。

abc坐標(biāo)系中磁鏈方程為

ψabc=LijIabc+ψabcf

(5)

式中:ψabc、Iabc分別為abc坐標(biāo)系中電機(jī)磁鏈向量、電流向量，ψabc=[ψa1ψb1ψc1ψa2ψb2ψc2]T，Iabc=[Ia1Ib1Ic1Ia2Ib2Ic2]T。

ψabcf為abc坐標(biāo)系下磁體交鏈與初級(jí)繞組磁鏈矩陣，其表達(dá)式為

(6)

式中:ψf為初永磁體交鏈于初級(jí)繞組磁鏈幅值;θ為次級(jí)d軸與初級(jí)繞組A1相之間夾角。

Lij為各相繞組自感互感矩陣，為6階方陣，i、j=a1、b1、c1、a2、b2、c2,若i=j則表示各相自感，其表達(dá)式為

Lij=Lss+Labc_s1=

(7)

式中:Lss為六相繞組氣隙磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)主電感矩陣;Labc_s1為初級(jí)繞組漏感矩陣。

abc坐標(biāo)系中電壓方程為

Uabc=RabcIabc+pψabc

(8)

式中:p為求導(dǎo)因子d/dt;Uabc為初級(jí)繞組在abc坐標(biāo)系中外加電壓向量，其表達(dá)式為Uabc=[Ua1Ub1Uc1Ua2Ub2Uc2]T;Rabc為初級(jí)繞組在abc坐標(biāo)系中電阻矩陣，其表達(dá)式為Rabc=RsE6，Rs為每相初級(jí)繞組電阻，E6為6階單位矩陣。

結(jié)合式(5)將式(8)進(jìn)一步化解為

Uabc=RabcIabc+Lij(pIabc)+pψabcf

(9)

式(9)第三項(xiàng)為空載反電動(dòng)勢(shì)Eabc，即:

(10)

式中:ωr為動(dòng)子相對(duì)定子運(yùn)動(dòng)速度v對(duì)應(yīng)的角速度;ωr=βv，β為極距系數(shù)。

在電機(jī)同步情況下:

v=2fτ

(11)

式中:f為初級(jí)繞組輸入激勵(lì)頻率;τ為電機(jī)極距。

abc坐標(biāo)系中電磁推力Fthrust為

(12)

式中:We為電機(jī)輸出有用功率。

2.3 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系模型的建立

由2.2節(jié)可知電機(jī)磁鏈隨定子與動(dòng)子相對(duì)位置變化而變化，為簡(jiǎn)化其表達(dá)式，將abc坐標(biāo)系中相關(guān)方程轉(zhuǎn)化至dq0坐標(biāo)系。PMLSM繞組軸線分布圖如圖10所示。

圖10 dq0坐標(biāo)系繞組軸線圖

根據(jù)橫幅值等效變換，將abc坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至dq0坐標(biāo)系的變換矩陣為

(13)

式中：當(dāng)i=1時(shí)，θi=θ；當(dāng)i=2時(shí),θi=θ-π/6。

dq0坐標(biāo)系變換至abc坐標(biāo)系的變換矩陣為

(14)

通過變換矩陣式(13)將abc坐標(biāo)系中磁鏈、電流和電壓轉(zhuǎn)換至dq0坐標(biāo)系中，則dq0坐標(biāo)系中磁鏈方程為

ψdq0=Ldq0Idq0+ψdq0f

(15)

式中:ψdq0、Idq0分別為dq0坐標(biāo)中電機(jī)磁鏈、電流，ψdq0=[ψd1ψq1ψ01ψd2ψq2ψ02],Idq0=[Id1Iq1I01Id2Iq2I02];ψdq0f為永磁體與初級(jí)繞組交流的磁鏈，ψdq0f=[ψf0 0ψf0 0]。

dq0坐標(biāo)系中電壓方程為

Udq0=Rdq0Idq0+pLdq0Idq0+ALdq0Idq0+Aψdq0f

(16)

dq0坐標(biāo)系中電磁力計(jì)算式為

(17)

式中:pr為電機(jī)動(dòng)子極對(duì)數(shù);Idn、Iqn分別為d、q軸電流；Ldn、Lqn分別為d、q軸電感；n為第n套繞組。

3 等效電路的建立及瞬態(tài)工作特性分析

3.1 等效電路的建立

建立等效電路可以生動(dòng)形象地描述電機(jī)初級(jí)繞組之間的耦合關(guān)系，便于電機(jī)控制模型設(shè)計(jì)及工作特性分析。

結(jié)合式(16)建立d軸與q軸等效電路，如圖11和圖12所示，電機(jī)兩套初級(jí)繞組等效電路相同，統(tǒng)一用下標(biāo)s表示初次繞組。

圖11 六相PMLSM的q軸等效電路

圖12 六相PMLSM的d軸等效電路

3.2 瞬態(tài)工作特性計(jì)算

電機(jī)控制通常采用Id=0電流控制方式，該控制方式具備控制方法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，且可避免電樞反應(yīng)導(dǎo)致永磁體去磁等優(yōu)點(diǎn)。電機(jī)在瞬態(tài)工作過程中并不是時(shí)刻保持同步運(yùn)行，存在電機(jī)失步現(xiàn)象，即動(dòng)子磁場(chǎng)相對(duì)定子磁場(chǎng)存在一定的功角差Δδt，t0時(shí)刻功角為

(18)

式中:xt0為t0時(shí)刻拉力傳感器反饋得到的觀測(cè)位置;ωs(t)為電樞磁場(chǎng)變化速度。

根據(jù)電機(jī)學(xué)相關(guān)理論，可知電機(jī)t0時(shí)刻的有功功率為

(19)

式中:Um為單相端口電壓有效值；Xq與Xd分別為交、直軸電抗。

當(dāng)Xq和Xd相等時(shí)，將式(19)簡(jiǎn)化為

(20)

進(jìn)而可得到推力計(jì)算式為

(21)

電機(jī)總輸入功率為

Ps=6IsqUsq

(22)

電機(jī)工作效率為

(23)

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證新型PMLSM數(shù)學(xué)模型建立的正確性，設(shè)計(jì)新型PMLSM電壓測(cè)試，利用羅氏線圈電流傳感器以及高采樣頻率力高力采集器構(gòu)成電流采集系統(tǒng)，得到電壓測(cè)試分析系統(tǒng)控制端輸入幅值為150 V，頻率為38 Hz六相對(duì)稱電壓條件下輸出電流特性，六相電流解析計(jì)算值與測(cè)量值對(duì)比結(jié)果如圖13所示。

圖13 六相PMLSM電流對(duì)比

由圖13可以看出六相電流計(jì)算值與試驗(yàn)測(cè)量值吻合度較好。圖13中計(jì)算電流曲線超前于試驗(yàn)測(cè)量電流曲線現(xiàn)象，是由于電能變換柜以及測(cè)量設(shè)備電抗作用導(dǎo)致電流滯后于電壓。

為驗(yàn)證瞬態(tài)電磁力計(jì)算的準(zhǔn)確性，將動(dòng)子最大速度18 m/s瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)工況中拉繩傳感器所測(cè)得的速度數(shù)據(jù)與電流傳感器測(cè)得的電流數(shù)據(jù)加載到有限元模型中，將有限元計(jì)算得到的電磁推力數(shù)值與解析值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖14所示，數(shù)值對(duì)比結(jié)果表明數(shù)值最大誤差為3.6%。

圖14 六相PMLSM推力對(duì)比

5 結(jié) 語

本文以新型六相永磁直線電機(jī)作為研究對(duì)象，在分析電機(jī)暫態(tài)時(shí)間、飽和特性及電流不對(duì)稱性等電磁基礎(chǔ)上，建立了abc與dq0坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型，由此闡明了磁鏈、電壓和電流相互之間的約束關(guān)系，在此基礎(chǔ)上對(duì)瞬態(tài)工作特性開展相關(guān)計(jì)算，并利用電流試驗(yàn)測(cè)量值與推力有限元計(jì)算值驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型建立的正確性及瞬態(tài)工作特性計(jì)算的準(zhǔn)確性。