交錯群A167上的連通7度2-傳遞非正規Cayley圖*

李婉婷，凌波

云南民族大學數學與計算機科學學院，云南 昆明 650504

刻畫有限群的結構以及利用群來刻畫圖的對稱性，一直以來都是群與圖領域的熱點問題［1-4］。本文將對有限非交換單群上的非正規Cayley圖進行研究。

設Γ 是一個圖。其頂點集，邊集，弧集以及圖的全自同構群分別記作V(Γ)，E(Γ)，Arc(Γ)以及Aut(Γ)。稱Γ為對稱圖，若Aut(Γ)在其弧集上作用傳遞。

設G是一個有限群，將其單位元記為1。取G中不包含單位元的集合S，稱之為G的Cayley子集。設S滿足S=S-1?{s-1|s∈S}. 定義有限群G關于集合S的Cayley無向圖Γ = Cay(G，S)，其中

由定義可知，Γ 的度數為|S|. Γ 連通當且僅當G=＜S＞. 設R(G)為G的右正則表示，顯然有R(G) ≤Aut(Γ)，且R(G)作用在V(Γ)上正則，從而可知Cayley圖Γ是點傳遞圖，我們可將群G看作是Aut(Γ)的正則子群。反之，點傳遞圖Γ 同構于群G的Cayley 圖當且僅當Aut(Γ)包含一個同構于G的正則子群（可參考文獻［4］的性質16.3）。稱Cayley圖Γ = Cay(G，S)是正規的，若G在Aut(Γ)中正規，否則稱Γ是非正規的。

正規Cayley圖的概念是由徐明曜在文獻［5］中首次提出。有限非交換單群上的Cayley圖的正規性研究在學術界一直備受關注，而大部分這方面的研究集中在小度數的Cayley圖，特別是對于圖的度數≤5和度數為7 時的情形，有較多突出性的結論。例如，對于3 度圖，Li［6］證明：除了7 個例外，有限非交換單群上的3度弧傳遞Cayley圖都是正規的。在此基礎上，Xu等［7-8］證明：除了A47上兩個特殊情況，有限非交換單群上的3 度弧傳遞Cayley 圖都是正規的。對于4 度圖，Fang 等［9］證明：除了一系列可能的G上的Cayley圖，大部分4度弧傳遞Cayley圖都是正規的。進一步，Fang等［10］又證明：除了非交換單群M11上的兩個特殊情況，有限非交換單群上的4度2-傳遞Cayley圖都是正規的。對于5度圖，Zhou等［11］證明：所有有限非交換單群上的5 度1-傳遞Cayley 圖都是正規的。Ling 等［12］構造了交錯群A39上連通5 度2-傳遞非正規Cayley 圖的例子。對于7 度圖，Fang 等［13］提出猜想：當d≤20 或者d為素數時，在有限多種情形下，有限非交換單群上的d度局部本原Cayley 圖是正規的。更進一步地，Pan 等［14］證明：對于有限非交換單群G上的具有可解點穩定子群的7度弧傳遞Cayley圖Γ，要么Γ是正規的，要么其全自同構群Aut(Γ)有一個正規子群T在弧集上傳遞（T是非交換單群），滿足G＜T且(G，T) =(A6，A7)，(A20，A21)，(A62，A63)或者(A83，A84)，并在上述4種(G，T)情形下分別構造了一個7度G-正則的T-弧傳遞圖。事實上，對于5度圖和7度圖，目前已知的有限非交換單群上的弧傳遞非正規Cayley 圖的例子，大多是考慮了具有可解點穩定子群的情形，而對于具有非可解點穩定子群的情形，已知的結論較少。本文考慮構造有限非交換單群上的具有非可解點穩定子群的弧傳遞非正規Cayley圖，證明了如下定理。

定理1在交錯群A167上存在連通7度2-傳遞非正規Cayley圖，且其圖的全自同構群和點穩定子群分別為A168和PSL(3，2).

1 預備知識

設G是有限群，H≤G，CG(H)是H在G中的中心化子，NG(H)是H在G中的正規化子，則有下面的引理1，我們稱其為‘N/C’定理，參見文獻［15］的第I章定理5.7。

引理1設H≤G，則NG(H)/CG(H)同構于Aut(H)的一個子群。

設X是有限群，H為X的無核子群。對于g∈X-H滿足g2∈H，定義陪集圖Γ = Cos(X，H，g)為

則根據陪集圖的定義易證明下列引理2。

引理2設X，H和g的定義如上。令Γ = Cos(X，H，g). 則Γ是X-弧傳遞圖且下列結論成立：

（i） val(Γ) =|H：H∩Hg|；

（ii） Γ是無向圖當且僅當存在一個2-元素g∈XH使得g2∈H；

（iii） Γ是連通圖當且僅當＜H，g＞=X；

（iv） 如 果X包 含 一 個 子 群G， 且G在 圖Cos(X，H，g) 的 頂 點 集 上 作 用 正 則， 則Cos(X，H，g) ?Cay(G，S)，其中S=G∩HgH.

反之，每一個X-弧傳遞圖Σ 均同構于一個陪集圖Cos(X，Xv，g)，其中g∈NX(Xvw)是一個2-元素使得g2∈Xv，v∈V(Σ)，w∈Σ(v).

下面的引理3給出了7度對稱圖的點穩定子群的結構，參見文獻［16-17］。

引理3設Γ 是一個連通7度(X，s) -傳遞圖，其中X≤Aut(Γ)，且s≥1. 則當s≤3且α ∈V(Γ)時，下列結論之一成立：

（i） 如果Xα可解，則|Xα|| 252，(s，Xα)見表1。

表1 可解情形的點穩定子Table 1 Vertex stabilizer of the soluable cases

（ii） 如果Xα非可解，則|Xα|| 224· 34· 52· 7，且(s，Xα，|Xα|)見表2。

表2 非可解情形的點穩定子Table 2 Vertex stabilizer of the insoluable cases

2 定理1的證明

接下來，我們構造有限非交換單群G=A167上的連通7度2-傳遞非正規Cayley圖的例子。

構造1設G?Alt({2，3，…，168}) ?A167，H=＜a，b＞＜X?Alt({1，2，…，168}) ?A168，其中

a=(1 25)(2 26)(3 27)(4 28)(5 29)(6 30)(7 31)(8 32)(9 33)(10 34)(11 35)(12 36)(13 37)(14 38)(15 39)(16 40)(17 41)(18 42)(19 43)(20 44)(21 45)(22 46)(23 47)(24 48)(49 69)(50 70)(51 71)(52 72)(53 56)(54 55)(57 66)(58 65)(59 68)(60 67)(61 62)(63 64)(73 75)(74 76)(77 87)(78 88)(79 85)(80 86)(81 94)(82 93)(83 96)(84 95)(89 91)(90 92)(97 145)(98 146)(99 1 47)(100 148)(101 149)(102 150)(103 151)(104 152)(105 153)(106 154)(107 155)(108 156)(109 157)(110 158)(111 159)(112 160)(113 161)(114 162)(115 163)(116 164)(117 165)(118 166)(119 167)(120 168)(121 122)(123 124)(125 129)(126 130)(127 131)(128 132)(133 144)(134 143)(135 142)(136 141)(137 140)(138 139)，

b=(1 49 73)(2 50 74)(3 51 75)(4 52 76)(5 53 77)(6 54 78)(7 55 79)(8 56 80)(9 57 81)(10 58 82)(11 59 83)(12 60 84)(13 61 85)(14 62 86)(15 63 87)(16 64 88)(17 65 89)(18 66 90)(19 67 91)(20 68 92)(21 69 93)(22 70 94)(23 71 95)(24 72 96)(25 97 121)(26 98 122)(27 99 123)(28 100 124)(29 101 125)(30 102 126)(31 103 127)(32 104 128)(33 105 129)(34 106 130)(35 107 131)(36 108 132)(37 109 133)(38 110 134)(39 111 135)(40 112 136)(41 113 137)(42 114 138)(43 115 139)(44 116 140)(45 117 141)(46 118 142)(47 119 143)(48 120 144)(145 158 153)(146 157 154)(147 160 155)(148 159 156)(149 165 164)(150 166 163)(151 167 162)(152 168 161).

取x∈G為如下元素：

x=(1 61 105 53)(2 44 106 35)(3 104 107 24)(4 103 108 23)(5 122 116 75)(6 120 115 17)(7 10 114 109)(8 123 113 74)(9 19 110 118)(11 134 112 84)(12 18 111 119)(13 140 98 91)(14 139 97 92)(15 158 100 167)(16 42 99 33)(20 132 117 86)(21 63 101 55)(22 160 102 165)(25 36 45 43)(26 80 46 143)(27 68 47 52)(28 90 48 137)(29 161 32 164)(30 162 31 163)(34 62 41 54)(37 145 38 146)(39 147 40 148)(49 127 65 96)(50 151 66 155)(51 144 67 79)(56 157 64 168)(57 69 59 71)(58 70 60 72)(73 135 124 81)(76 87 121 129)(77 93 142 126)(78 94 141 125)(82 131 136 85)(83 130 133 88)(89 152 138 156)(95 150 128 154)(149 159 153 166).

定義圖Γ = Cos(X，H，x).

引理4 構造1 中的圖Γ = Cos(X，H，x)是連通弧傳遞的，它同構于G?A167上的一個非正規Cayley圖Cay(G，S)，其中S={x1，x-11，x2，x3，x4，x5，x6}，

x1=(2 163 165 56 143 147 154 34)(3 117 40 133 38 135 78 35 71 23 69 21)(4 118 64 123 98 25 158 113 44 104 101 19 106 157)(5 80 149 141 75 50 130 91 68 152 88 46 94 96)(6 111 112 45 164 166 132 110 109 52 146 155)(7 63 120 100 124 48 87 79)(8 77 36 150 74 51 93 95 131 90 151 14 85 47)(9 59 11 92 67 29 126 31 128 140 115 57)(10 97 26 30 125 32 127 13 86 60 12 58)(15 144)(16 161 167 66 137 145 156 27)(17 49 73 89 129 42 114 105)(18 107 54 160 119 61 103 102 122 99 159 139 116 41)(20 83 81 43 148 153 121 82 84 62 162 168)(22 142 76 37 136 39 134 108 53 72 24 70)(33 65)，

x2=(2 154)(3 55)(4 147)(5 115)(6 116)(7 113)(8 114)(9 140)(10 72)(11 134)(12 19)(13 99)(14 100)(15 97)(16 98)(17 59)(18 92)(20 86)(22 26)(23 61)(24 40)(25 71)(27 82)(28 81)(30 77)(31 142)(33 127)(34 75)(36 126)(39 104)(41 122)(42 96)(43 93)(45 69)(46 102)(47 136)(48 135)(49 65)(50 66)(51 67)(52 68)(53 103)(54 131)(56 133)(57 120)(58 149)(60 153)(62 85)(63 107)(64 83)(70 109)(73 121)(74 168)(76 124)(78 159)(79 158)(80 128)(84 112)(87 152)(88 151)(89 137)(90 138)(91 110)(94 162)(95 143)(106 150)(108 148)(111 118)(117 132)(119 139)(123 157)(125 163)(129 156)(130 155)(141 166)(144 167)，

x3=(2 35)(3 34)(4 59)(5 62)(6 61)(7 120)(8 168)(9 68)(12 25)(13 56)(14 39)(16 53)(17 73)(18 166)(19 45)(20 46)(23 75)(24 118)(26 143)(27 142)(28 55)(29 71)(30 72)(31 107)(32 77)(33 65)(36 133)(37 60)(38 139)(40 57)(41 164)(42 79)(43 131)(44 132)(47 162)(48 105)(49 100)(50 148)(51 121)(52 122)(54 136)(58 141)(63 89)(64 146)(66 140)(67 137)(69 98)(70 91)(76 163)(78 156)(80 90)(81 1 11)(82 112)(83 109)(84 110)(85 126)(86 145)(87 124)(92 165)(93 102)(94 101)(95 104)(96 103)(97 154)(99 106)(108 167)(114 129)(115 161)(116 125)(117 147)(123 155)(130 153)(149 157)(150 158)(151 159)(152 160)，

x4=(2 113)(3 154)(5 150)(6 108)(7 105)(9 148)(10 147)(11 78)(12 141)(13 80)(14 59)(15 120)(16 119)(19 143)(20 57)(21 163)(22 103)(24 162)(26 161)(27 106)(29 102)(30 156)(31 153)(33 100)(34 99)(35 88)(36 136)(37 86)(38 68)(39 168)(40 167)(43 134)(44 66)(45 115)(46 151)(48 114)(49 69)(50 98)(51 85)(52 112)(53 138)(54 137)(55 140)(56 139)(58 83)(61 124)(62 123)(63 122)(64 121)(65 96)(70 146)(71 79)(72 160)(73 91)(74 92)(75 89)(76 90)(77 131)(81 133)(82 117)(84 97)(87 127)(93 165)(94 144)(95 145)(101 149)(104 152)(107 155)(109 157)(110 158)(111 132)(116 164)(118 130)(125 129)(126 166)(128 159)，

x5=(5 95)(6 61)(7 35)(8 59)(9 89)(10 158)(11 48)(12 164)(13 31)(14 107)(15 75)(16 109)(21 121)(22 82)(23 141)(24 37)(25 28)(26 27)(29 93)(30 122)(32 136)(33 73)(34 157)(36 155)(38 116)(39 91)(40 110)(41 42)(43 44)(45 62)(46 84)(47 68)(49 52)(50 146)(51 137)(53 127)(54 150)(55 151)(56 71)(57 144)(58 143)(60 83)(63 159)(64 160)(65 66)(67 81)(69 132)(70 166)(72 129)(74 163)(76 156)(77 78)(79 80)(85 88)(86 87)(90 115)(92 108)(94 142)(96 135)(97 100)(98 130)(99 152)(101 167)(102 139)(103 138)(104 119)(105 161)(106 162)(111 124)(112 123)(113 114)(117 148)(118 126)(120 145)(125 128)(131 140)(133 134)(147 149)(153 154)(165 168)，

x6=(3 123)(4 111)(5 41)(6 109)(7 55)(8 56)(9 43)(10 121)(11 150)(12 149)(13 148)(14 62)(15 63)(18 66)(19 153)(22 160)(23 157)(24 72)(25 82)(26 98)(27 75)(28 126)(29 168)(30 124)(31 151)(32 114)(33 46)(34 45)(35 48)(36 47)(37 54)(38 134)(39 52)(40 112)(42 104)(44 140)(49 73)(50 74)(51 99)(53 137)(57 139)(58 97)(59 163)(60 164)(61 156)(64 88)(65 89)(67 158)(68 92)(69 93)(70 147)(71 146)(76 135)(77 113)(78 133)(81 115)(83 166)(84 165)(85 159)(91 145)(94 155)(95 154)(100 102)(101 152)(103 162)(105 142)(106 141)(107 144)(108 143)(117 130)(118 129)(119 132)(120 131)(125 161)(127 167)(128 138).

證明設Ω ={1，2，…，168}.現考慮X在Ω 上的自然作用。由Magma［18］，＜H，x＞=X，再由引理2（iii）可知，Γ是連通圖。由Magma［18］，H?PSL(3，2)且H在Ω上傳遞。又|H| = |Ω|，則H在Ω上作用正則。然而，G?Alt({2，3，…，168})，顯然G是點1 的點穩定子群，則X具有因子分解X=GH=HG使得G∩H= 1. 因此，Γ 同構于G?A167上的一個Cayley 圖。通過計算還可以驗證|H|/|H∩Hx| = 7，由引理2（i），Γ 是7 度圖。因為X是非交換單群，所以G在X中不正規，從而G在Aut(Γ)中不正規。因此，Γ 是G上的非正規Cayley圖。令x1，x2，x3，x4，x5，x6和S為該引理所述，則通過計算還可得G∩HxH=S.由引理2（iv），Γ ?Cay(G，S).

證畢

下面的引理5決定了構造1中的圖的全自同構群，進而完成定理1的證明。

引理5對于構造1中的圖Γ，其圖的全自同構群和點穩定子群分別同構于A168和PSL(3，2).

證明令A= Aut(Γ)，V=V(Γ)，G和X的定義如構造1 中所述。首先我們假設A在頂點集V上作用擬本原。設1 ≠N是A的一個極小正規子群，則N在V上作用傳遞，因此N是不可解的，從而N=Td，其中d≥1，T為非交換單群。設p是|A167|的最大素因子，則有p＞7，p2不整除|A167|. 因為N在V上傳遞且|V| =|A167|，則p||N|. 假設d≥2，則pd||N|，由引理3，|Av|| 224· 34· 52· 7，則|A||( 224· 34· 52· 7 )·|A167|，又pd||N|||A|，pd不整除|A167|，矛盾。因此d= 1，N=T?A. 設C=CA(T)，則C?NA(T) =A，CT=C×T。如果C≠1，則由A在頂點集V上作用擬本原，可知C在V上作用傳遞，從而有p||C|，p2||CT|||A|，矛盾。因此，C= 1，由N/C定理，A≤Aut(T)，又T≤A，則A為幾乎單群。

因 為T∩X?X?A168，X是 非 交 換 單 群，則T∩X= 1 或 者X. 如 果T∩X= 1，則 由|Av|/|Xv| =|A|/|X||221· 33· 52，有|T||221· 33· 52，但p＞7，p| |N| = |T|，顯然矛盾。因此T∩X=X，X≤T. 從而有|A168|||T||( )221· 33· 52· |A168|，由文獻［19］的第135-136頁知，T=X?A168，A≤Aut(T) ?S168. 如果A?S168，則|Av| = |A|/|G| = 336，這矛盾于引理3中對點穩定子群結構的描述。因此A?A168.

假設A在頂點集V上作用非擬本原，則存在1 ≠M是A的一個在V上非傳遞的極小正規子群。顯然M∩X?X. 因為X為非交換單群，所以M∩X= 1或者X. 如果M∩X=X，X≤M，則M在V上作用傳遞，矛盾。因此M∩X= 1，|M|| |A|/|X|| 221· 33· 52. 設L=MX，則L=M：X.

當M不可解時，因為|M||221· 33· 52，且由文獻［20］可知A5，A6和PSp(4，3)是僅有的{2，3，5}-單群，則通過比較階的大小，容易得出M?A5，或者A6，從而 有|M| · |A168| = |M| · |X| = |L| = |V(Γ)| · |Lv| =|A167| · |Lv|，|Lv| = 25· 32· 5 · 7，27· 33· 52· 7或者26· 33· 5 · 7，由引理3可知矛盾。

當M可解時，因為M是特征單群，所以M?，或者，其中1 ≤r≤21，1 ≤s≤3，1 ≤l≤2. 由N/C定理，L/CL(M) ≤Aut(M) ?GL(r，2)，GL(s，3)或者GL(l，5). 注意到M≤CL(M)，如果M=CL(M)，則L/CL(M) =L/M?X?A168≤GL(r，2)，GL(s，3)或者GL(l，5)，然而GL(r，2)，GL(s，3)，GL(l，5)中不包含同構于A168的子群，矛盾。因此M＜CL(M)，1 ≠CL(M)/M?L/M?A168，又A168是非交換單群，則A168?CL(M)/M. 因為| |CL(M) = |M| · |X| = |L|，CL(M) ?NL(M) =L，則CL(M) =L=MX，X≤CL(M)，X中心化M，所以L=M×X. 因而，Lv/Xv=L/X?M，Lv?Xv.M. 由引理3，當M?時，|Lv| = |Xv| · |M| =26· 3 · 7，Lv?ASL(3，2)，則ASL(3，2) ?PSL(3，2).，但ASL(3，2)中沒有正規子群同構于PSL(3，2)。當M?時，|Lv| = |Xv| · |M| = 27· 3 · 7，Lv?ASL(3，2) ×Z2，則 ASL(3，2) ×Z2?PSL(3，2).， 但ASL(3，2)×Z2中沒有正規子群同構于PSL(3，2)，矛盾。

證畢