基于ψ-(h,r)-凹算子的非線性分數階(p,q)-差分方程的唯一迭代解

王菊芳，王 斯，禹長龍,2

(1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.北京工業大學理學部，北京 100124)

量子微積分又稱q-微積分。1909年，JACKSON[1]首次提出量子微分與積分的定義。量子微積分作為數學發展中的一個新興學科，廣泛應用于數學、物理等自然科學領域。眾所周知，許多實際問題都可歸結為q-差分方程可解性的研究。近年來，人們對q-差分方程的可解性理論已獲得許多重要的結果[2-4]。20世紀中期，AL-SALAM[5]與AGARWAL[6]對q-微積分進行拓展，給出了分數階q-微積分的相關理論。與q-微積分相比，分數階q-微積分的應用更為廣泛，激發了廣大學者對分數階q-微積分的研究熱潮，分數階q-差分方程的可解性理論得到了迅速發展[7-12]。

作為q-微積分的進一步拓展，雙參數量子微積分應運而生，即(p,q)-微積分，最早出現在1990年的文獻中[13]。(p,q)-微積分在差分方程、組合數學、數論、力學、物理科學等領域得到了重要應用[14-20]。2020年，SOONTHARANON等[21]引入分數階(p,q)-微積分的概念，研究了分數階(p,q)-微積分的性質且得到與經典微積分類似的相關定理與結論。但關于非線性分數階(p,q)-差分方程可解性的研究結果并不多[22-23]。例如：2019年，GHOLAMI[19]研究了非線性的二階(p,q)-差分方程

的可解性，利用正錐上的Krasnosel′skii不動點定理證明了該問題正解的存在性、多重性和不存在性，還研究了相應的雙參數量子特征值問題，根據Lyapunov不等式給出了正特征值的下界估計；2020年，SOONTHARANON等[22]利用Banach不動點定理及Schauder不動點定理，研究了一類具有非局部Robin邊界條件的分數階(p,q)-差分方程

為了豐富分數階(p,q)-差分方程邊值問題的基本理論，基于上述工作，筆者運用定義在有序集上增的ψ-(h,r)-凹算子的不動點定理，研究非線性分數階(p,q)-差分方程邊值問題

(1)

的可解性，其中0

1 預備知識

定義1[18]設α是任意常數，則

其中

定義3[21](p,q)-Gamma和(p,q)-Beta函數定義為

定義4[18]函數f(x)的(p,q)-導數為

若f在x=0處可微，則Dp,qf(0)=f′(0)。

其中，tDp,q關于t是(p,q)-可微的。

引理3[21]設α,β>0，0

引理4[21]設α∈(N-1,N)，N∈，0

有關凹算子的相關理論如下。

定義7[11]對于任意x,y∈X，稱x與y等價，若存在μ>0和ν>0，使得μx≤y≤νx，記為x～y。

對于給定的h>θ，定義集合Ph={x∈X|x～h}，顯然Ph?P。設r∈P且θ≤r≤h，定義Ph,r={x∈X|x+r∈Ph}，即Ph,r={x∈X|存在μ=μ(h,r,x)>0,ν=ν(h,r,x)>0，使得μh≤x+r≤νh}。

顯然，Ph=Ph,θ。

定義8[24]設T:Ph,r→E是給定算子，滿足任意x∈Ph,r，λ∈(0,1)，存在ψ(λ)>λ，使得T(λx+(λ-1)r)≥ψ(λ)Tx+(ψ(λ)-1)r，則稱T是ψ-(h,r)-凹算子。

本文用到的假設如下：

(H3)f(t,0)≥0且對于t∈[0,1]，有f(t,0)?0；

(H4)1-δηα-2≤p(1-δηα-1)；

(H5)pα-qα≥pα-1-qα-1。

2 主要結論

P={ω∈X|ω(t)≥0,t∈[0,1]}。

若ζ>0，為方便起見，記

(2)

且

其中

(3)

引理7設y∈C[0,1]，0<δηα-2<1且η∈(0,1)，則分數階(p,q)-差分方程邊值問題

(4)

有唯一解，

其中：

證明設ω(t)是式(4)的一個解，由引理4得，邊值問題(4)可以等價為積分方程：

其中，c1,c2,c3是未知常數。由邊界條件ω(0)=(Dp,qω)(0)=0可得，c2=c3=0。此時，

又由(Dp,qω)(1)=δ(Dp,qω)(η)，有

因此，

證畢。

是連續的；

證明如下。

性質1)：顯然成立。

性質3)：顯然成立，證畢。

證明若t∈[0,1]，則有

且

則0≤r(t)≤h(t)，即r∈P。此外，Ph,r={ω∈X|ω+r∈Ph}。

根據引理3和引理7可知，若邊值問題(1)有解ω(t)，則

因此，對于任意ω∈Ph,r和t∈[0,1]，定義算子

顯然，ω(t)是邊值問題(1)的解，當且僅當ω(t)是算子T的不動點。

首先證明T:Ph,r→X是ψ-(h,r)-凹算子。對于任意λ∈(0,1)，ω∈Ph,r，由假設(H2)得

ψ(λ)r(t)+[ψ(λ)-1]r(t)=ψ(λ)Tω(t)+[ψ(λ)-1]r(t)，

即T(λω+(λ-1)r)≥ψ(λ)Tω+[ψ(λ)-1]r，λ∈(0,1)，ω∈Ph,r，由定義8知T是ψ-(h,r)-凹算子。

其次證明T:Ph,r→X是增的。由于ω∈Ph,r，則ω+r∈Ph，故存在ι>0使得ω(t)+r(t)≥ιh(t)，則有

由假設條件(H1)可知T:Ph,r→X是增的。

最后，證明Th∈Ph,r，只需證明Th+r∈Ph。由引理8和假設條件(H1)，有

且

Γp,q(α)>0且H*>0，由假設(H1)和(H3)可知：

故μ≥ν>0，即Th+r∈Ph。

注4若定理1的條件成立，且有下列不等式：

則邊值問題(1)在Ph,r中有唯一非平凡解。同理，可構造迭代函數列來逼近該非平凡解。

下面討論當δ=0時邊值問題(1)的可解性。

推論1若條件(H1)-(H3)和(H5)成立，則分數階(p,q)-差分方程邊值問題

(5)

有唯一解ω*∈Ph,r。此時，對于任意φ0∈Ph,r，定義迭代序列

則當n→∞時，φn(t)→ω*(t)。

證明類似于定理1的證明。

注5若ζ=0，根據引理6，類似地可以證明邊值問題(1)正解的唯一性。

3 應用舉例

考慮非線性分數階(p,q)-差分方程邊值問題

(6)

經簡單計算，可知

h(t)=H*t3/2，

且

于是有

且

及

且f(t,0)?0。于是，假設條件(H1)和(H3)成立。

2)函數f可表示為

且

又

4 結 語

本文應用定義在有序集上增的ψ-(h,r)-凹算子不動點定理，研究了一類非線性分數階(p,q)-差分方程邊值問題解的存在唯一性，通過構造迭代序列逼近唯一非平凡解。在賦予非線性項f一定的條件下，非線性分數階(p,q)-差分方程具有唯一非平凡解。研究結果在一定程度上豐富了分數階(p,q)-差分方程的可解性理論，為分數階(p,q)-差分方程在空氣動力學、復雜介質電動力學及電路等領域的應用提供了理論基礎。今后，將利用上下解、變分迭代等方法，深入研究分數階(p,q)-差分方程的可解性。