波形鋼腹板簡支組合梁橋梁端混凝土附加應力

張 愉張 云羅婷倚劉玉擎

（1.中交公路規劃設計院有限公司，北京 100088；2.廣西北投公路建設投資集團有限公司，南寧 530000；3.同濟大學土木工程學院，上海 200092）

0 引言

波形鋼腹板組合梁橋采用折形腹板代替混凝土腹板，具有自重輕、預應力施加效率高、避免腹板開裂等優點［1］。

各國學者對該種橋梁的彎曲性能進行了研究［2-3］。Hamilton等［4］進行了波形腹板I形鋼梁的彎曲試驗，發現腹板幾乎不承擔彎矩，鋼梁的抗彎承載力由翼緣板的屈服強度控制。Metwally等［5］進行了波形鋼腹板-混凝土頂底板組合梁的抗彎試驗，結果表明，組合梁的抗彎承載力僅由混凝土頂底板承擔。因此，一般認為波形鋼腹板的“手風琴效應”使得腹板幾乎不承擔彎矩，波形鋼腹板組合梁抗彎設計時只考慮混凝土頂底板截面的貢獻，且符合平截面假定，即混凝土橋面板正應力為

式中：σc，tr為混凝土正應力；yc為距截面中性軸的距離；Ic為混凝土截面慣性矩。

波形鋼腹板組合梁端支點處通常設有橫梁，如圖1所示，當不考慮端部橫梁約束的影響時，波形鋼腹板組合梁在支點處會產生轉角與波形鋼腹板的剪切變形，混凝土應力分布滿足平截面假定。實際上，由于端橫梁的約束作用，支點處波形鋼腹板的剪切變形會受到約束，進而對局部混凝土頂底板受力產生影響，稱之為混凝土附加應力。

圖1 簡支梁端部附加應力產生機理Fig1 Mechanism of additional stress near the end of simply supported beams

當前關于波形鋼腹板剪切變形影響的研究主要集中于其對橋梁撓度的增大效應，關于剪切變形引起的支點區段附加應力問題研究很少。Combault等［6-7］最早指出支點區段頂底板存在的附加應力問題。Shiratani等［8］通過試驗和有限元研究了波形鋼腹板組合梁的支點區段的彎剪性能，揭示了支點區段混凝土附加應力現象并建議加強支點區段頂底板軸向鋼筋配置。Zhou等［9］基于試驗和有限元分析了線彈性波形鋼腹板組合梁應變分布，有限元結果顯示，支座附近混凝土應變分布不滿足“平截面假定”。聶建國等［10］研究了波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板梁受力行為的影響，認為端部的約束條件對主梁撓度影響較小，而主梁梁端混凝土局部受力產生較大影響。劉保東等［11］進行了變截面波紋鋼腹板連續剛構橋彎曲試驗，試驗結果顯示靠近支點截面混凝土應變分布復雜，不滿足“平截面假定”。

為此，利用考慮剪切變形的波形鋼腹板梁模型，推導了波形鋼腹板簡支組合梁在在集中荷載和均布荷載作用下梁端區段混凝土頂底板正應力的解析解，并與有限元結果進行對比，揭示了波形鋼腹板組合梁端支點區段混凝土附加應力的分布規律，并給出其計算式。

1 波形鋼腹板組合簡支梁混凝土應力解析解

1.1 基本假定

先給出以下5點基本假定：

（1）混凝土頂、底板截面轉角相同，獨立于整個截面轉角；

（2）波形鋼腹板縱向剛度為0；

（3）假定截面不發生面內扭曲，不考慮剪力滯效應；

（4）梁端鋼腹板剪切變形為0；

（5）材料處于彈性范圍，不考慮混凝土頂、底板與鋼腹板之間的剪切滑移。

1.2 理論推導

圖2所示為組合梁某截面混凝土頂底板與波形鋼腹板的內力分布。Vt、Vw、Vb分別為混凝土頂板、鋼腹板、混凝土底板剪力，Mt、Mw、Mb分別為混凝土頂板、鋼腹板、混凝土底板彎矩，Nt、Nw、Nb分別為混凝土頂板、波形鋼腹板、混凝土底板軸力。

圖2 組合梁內力變形圖示Fig.2 Diagram of internal force and deformation of composite beams

1）物理方程

式中：ht、hb為截面形心至混凝土頂底板形心的距離；Ec為混凝土彈性模量；At、Ab為混凝土頂底板截面積；It、Ib為混凝土頂底板慣性矩；Aw為波形鋼腹板截面積；?為梁豎向撓度；γ為鋼腹板剪切變形；θ為腹板水平轉角；φ為頂底板形心連線的水平轉角；Gw為波形鋼腹板等效剪切模量。

即

式中：G為鋼材剪切模量；aw為直板段長度；bw為斜板段投影長度；cw為斜板段長度；tw為板厚；αw為波形鋼腹板形狀系數，波形尺寸如圖3所示。

圖3 波形示意Fig.3 Profile of corrugated steel web

2）幾何方程

組合梁豎向撓度?、轉角ω′，鋼腹板剪切變形γ、轉角θ；頂、底板形心連線的水平轉角φ具有如下關系：

式中：et、eb分別為混凝土頂板形心至下緣和底板形心至上緣的距離；hw為鋼腹板高度，hc為混凝土頂底板形心間距。

3）平衡方程

整個截面利用平衡方程，截面內力與變形的關系為

其中

聯立式（6）—式（10）得到關于?的六階微分方程：

其中，

集中荷載與均布荷載下，式（12）分別為

集中荷載：ωVI-ξ2ωIV=0

則方程的解為

其中，A*x4為特解，當為集中荷載時，q=0，則A*=0；當為均布荷載時，A*=。

聯立式（8）—式（10）得

由式（15）得：

聯立式（3）、式（4），式（15）—式（17），即可得到混凝土頂底板各個截面的內力分布。以混凝土頂板為例，截面內力Mt，Nt如式（18）、式（19）所示：

當得到混凝土頂底板各個截面的內力后，即可計算分別由頂底板軸力與彎矩引起的應力分布，頂底板正應力的解析解由軸力與彎矩產生的應力進行疊加，即以頂板為例可得：

式中：σc為混凝土頂板截面正應力的解析解；yt為計算點至混凝土頂板中性軸的距離。

當荷載形式與邊界條件確定后，計算系數A1-A6的值，即可得到混凝土頂板正應力的解析解，即

1.3 典型邊界條件及解析解

如表1所示，研究波形鋼腹板簡支組合梁承受集中荷載與均布荷載的兩種工況。

表1 典型邊界條件及荷載Table 1 Typical boundary conditions and loads

1.3.1 簡支梁受集中荷載

當跨中作用集中荷載P時，梁端位移為0；腹板剪切變形受到混凝土的抑制，梁端腹板剪切變形為0，綜合考慮式（8），即梁端對混凝土與鋼腹板的約束作用。固定端剪力V=P/2；跨中由于對稱性，組合梁轉角與混凝土頂底板連線轉角均為0；跨中剪力V=P/2。則位移與外荷載具有如下關系：

利用邊界條件式（22），可得到

利用邊界條件式（24）、式（25），可得到

進而得到

利用邊界條件式（23），可得到

解得

利用邊界條件式（27），可得到

利用邊界條件式（26），可得到

進而得到

將式（36）代入式（28），即可得到

基于以上分析，即可得到組合梁中點受集中荷載P作用下，考慮腹板剪切變形下的混凝土頂板正應力解析解為

1.3.2 簡支梁受均布荷載

同理可得作用均布荷載q時典型邊界條件，即

同理，此邊界條件下各常數解為

2 混凝土附加應力解析解驗證

2.1 有限元模型

為驗證混凝土正應力解析解，建立實體有限元模型如圖4所示。組合梁跨度L=20 m，梁高h=3 m，上、下混凝土頂底板寬厚為1.8 m×0.4 m，波形鋼腹板采用1600波形（直板段430 mm、斜板段長370 mm、高220 mm），鋼板厚度20 mm。波形鋼腹板與混凝土頂底板建立耦合約束，忽略連接件滑移，梁端與混凝土頂底板固結。設集中荷載P=360 kN，均布荷載q=10.5 kN/m。所有材料均為理想線彈性材料，混凝土彈性模量Ec=3.6×104MPa，鋼板彈性模量Es=2.06×105MPa。

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

2.2 解析解驗證

圖5所示為解析解、傳統計算式（1）以及有限元計算的波形鋼腹板組合簡支梁在集中荷載和均布荷載下混凝土頂底板應力比較，在有限元建模中，端梁料選取與頂底板相同。因此，有限元建模計算結果符合實際，結果顯示，解析解與有限元結果吻合良好，可以準確預測混凝土應力分布。有限元計算結果、解析解在梁端一定范圍內均大于傳統計算式（1）的結果，隨著離梁端距離增大，三條曲線逐漸重合，說明支點區段頂底板中產生附加應力，隨著梁端距離的增大附加應力逐漸減小至0。

圖5 解析解的數值驗證Fig.5 Numerical verification of the analytical solution

對于集中荷載作用，簡支端的混凝土頂板上表面產生0.76 MPa的附加拉應力，當距離固定端約1.7 m時，附加應力基本為0。對于均布荷載作用，簡支端的混凝土頂板上表面產生0.88 MPa的附加拉應力。

3 附加應力分布規律

圖6所示為有無端橫梁約束條件下的波形鋼腹板組合梁支點區域混凝土頂板正應力云圖，結果顯示，對于無端橫梁約束條件下的簡支梁，支點區域彎矩為0，因此無端梁約束下的混凝土應力為0，且混凝土頂板在簡支梁全跨范圍內受壓。而在有端橫梁約束條件下的支點區段，存在局部的附加應力。在混凝土頂板上1/2厚度范圍內，附加應力為局部拉應力，使得混凝土頂板應力出現局部反號的現象；在混凝土頂板下1/2厚度范圍內，附加應力為局部壓應力，使得混凝土頂板壓應力出現局部增大的現象；頂板中性軸處為0。

圖6 混凝土頂板應力云圖對比Fig.6 Comparison of stress distribution for girders with or without crossbeams

設附加應力為實際混凝土應力與傳統計算結果的差值，即

式中：σc.ad為頂底板混凝土附加應力；σc為基于解析解的混凝土實際應力；σc，tr為基于平截面假定的傳統計算式（1）下的混凝土應力。

圖7所示為在跨中集中荷載作用下的附加應力沿梁縱向的分布。圖8所示為不同截面（x=0，x=0.8 m，x=1.7 m）的附加應力沿截面高度的分布。結果顯示，在頂底板上緣，附加應力為拉應力；在頂底板下緣，附加應力為壓應力，中性軸處為0。同一截面頂底板處上下緣的附加應力方向相反，沿混凝土頂底板截面高度呈現線性分布，且附加應力大小隨著梁端距離的增大逐漸減小至0。由于附加應力的存在導致平截面假定在此范圍內不成立。

圖7 不同位置混凝土附加應力縱向分布Fig.7 Longitudinal distribution of additional stress

圖8 不同截面混凝土附加應力豎向分布Fig.8 Vertical distribution of additional stress in concrete at different sections

以上分析可知，波形鋼腹板簡支組合梁，梁端附加應力在混凝土頂板、底板的上表面為拉應力。基于不同尺寸模型參數分析，附加應力分布范圍約為0.6倍的梁高。實際設計中，應當考慮梁端區域混凝土頂底板存在的附加拉應力，采取相應的抗裂性措施。

4 梁端附加應力設計指導

考慮到簡支梁零彎矩區傳統計算方法應力結果為0，實際上由于端梁的約束作用會產生頂板附加拉應力，對設計產生不利的效果。因此，給出附加應力計算式直接計算混凝土附加應力的大小，以供設計參考。圖9為附加應力分布模式，其中σc.ad為附加應力沿梁縱向x的分布，σc.ad，max為梁端最大附加拉應力，其值可用于指導實橋支點處混凝土抗裂設計。

圖9 波形鋼腹板組合梁附加應力表達Fig.9 Expression of additional stress

簡支梁在集中荷載和均布荷載下σc.ad計算式為式（42）、式（44）；此外，將x=0代入即可得到σc.ad，max的計算式，考慮到sinh(ξL/2)≈cosh(ξL/2)>>1，σc.ad，max計算式可簡化為式（43）、式（45）。

跨中集中荷載作用：

均布荷載作用下：

5 結論

（1）利用考慮剪切變形的波形鋼腹板梁模型，推導了波形鋼腹板簡支組合梁在集中荷載和均布荷載作用下的梁端混凝土頂底板正應力的解析解，并與有限元結果進行比較，揭示了波形鋼腹板組合梁梁端混凝土附加應力的分布規律。

（2）簡支組合梁橋混凝土橋面板附加應力在梁端為峰值，且隨著梁端距離的增大應力值逐漸減小至0，長度約為梁高的0.6倍，此范圍平截面假定不適用。

（3）簡支組合梁橋混凝土橋面板附加應力豎向分布呈現混凝土板上緣為附加拉應力，下緣為附加壓應力，中性軸處為0的線性分布規律。

（4）波形鋼腹板簡支組合梁，梁端附加拉應力發生在混凝土頂、底板的上表面，實際設計中應對梁端區域混凝土頂板采取相應的抗裂措施。