三維橢圓振動輔助車削復雜曲面的路徑優化研究＊

盧明明 金鈺博 杜永盛 劉長青 李 昊

（長春工業大學機電工程學院，吉林 長春 130012）

復雜光學曲面由于可以獲得高質量的圖像，改善光學系統性能，減小光學系統尺寸，廣泛應用于光學、醫學、光纖通信和生命科學等眾多領域中[1]。近年來，由于復雜光學曲面的應用越來越多，復雜光學曲面的超精密加工變得非常重要。

三維橢圓振動輔助車削（3D-elliptical vibration cutting, 3D-EVC）作為一種超精密加工技術，可用于制造具有高形狀精度和良好表面粗糙度的自由曲面[2]，近年來受到了一些研究人員的關注。

在自由曲面金剛石車削路徑規劃中，已經進行了很多的研究，一些學者針對不同種類復雜曲面的EVC或快速刀具伺服（FTS）等金剛石車削中的刀具路徑生成方法進行了研究。李迎春[3]針對3DEVC運動方程，將X、Y、Z方向的位移加到刀位點坐標中。竇建利[4]針對刀具圓弧刃和橢圓刃兩種情況，提出了等殘高刀具路徑規劃算法，該算法在滿足加工要求的前提下最大限度減地少了刀具路徑轉數，從而提高了加工效率。Chen X[5]等人基于慢刀伺服加工技術對復雜光學曲面的刀位點規劃進行設計，分析刀觸點等角度離散方案及刀具圓弧半徑補償方案。Fang F Z 等[6]研究了在圓柱坐標加工方法中，典型自由曲面的刀具幾何補償和參數選擇。Zhang X D 等[7]討論了正弦曲面的刀具路徑生成和刀具參數選擇;對于離軸非球表面，Zhang X D等[8]通過坐標變換的方法有效地降低了曲面的大高徑比，改進了刀具路徑的生成。此外，朱志敏[9]針對擬間歇偏擺運動車削方法，提出了一種與之匹配的刀具路徑生成策略。左成明[10]針對紋理化自由曲面金剛石車削，應用變頻振動的雙頻橢圓振動切削方法，提出一種恒定紋理波長的刀具路徑規劃方法。齊洪方等人[11]提岀了一種復雜曲面工件接觸式在線檢測路徑規劃方法。牛恒泰[12]等人提出了基于Zernike多項式局部數據點擬合的刀觸點生成方法

一些學者基于對加工誤差和切削策略的分析，通過刀具路徑進行優化來提高加工精度。王貴林等人[13]采用等角度間隔的螺旋線掃描軌跡，進行了復雜面形快刀伺服加工的刀具路徑規劃，通過快速精確進刀運動能夠實時跟蹤工件面形變化，滿足 加工精度要求。王東方[14]考慮工件的面形特征和加工公差，以及機床的動態響應等因素，以加工公差和機床動態響應為約束條件，以插值面形誤差均勻分布為優化目標，建立車削路徑與刀位點間距之間的函數關系，提出一種新型自適應慢刀伺服車削路徑生成算法。對于微結構表面的 FTS 車削，Yu D P等[15-17]討論了加工參數的最優化選擇，減小了刀尖圓弧補償和控制動力學引起的誤差，分析和預先補償了刀具路徑生成中的滑模和動力學誤差。針對非零前角刀具金剛石車削，Gong H等[18]基于符號向量計算提出一種非零前角刀具自由曲面加工路徑規劃方法，該方法能針對負前角、零前角和正前角等不同刀具在車削加工自由曲面生成精確的刀具路徑。邵偉等[19]提出了一種基于尋位信息的大型曲面工件的設計 坐標系、測量坐標系和加工坐標的統一方法，在此基礎 上實現測量路徑規劃，實現測量過程中對測點的布置。郭隱彪等[20]根據非軸對稱非球面平行磨削法加工方式的基本思想，設計了以加工軌跡為檢測路徑的檢測方式，該方式可以應用于非軸對稱非球面工件的補償加工，提高補償加工的效率和精度。Chen S等[21]建立了一個理論殘余高度模型，將殘余高度與不同曲率半徑聯系起來，根據二者關系提出一種新的刀具軌跡生成方法，提高加工精度。

以往的研究過程中，對于刀具路徑螺旋線上點的選取，前人提出等角度法、等弦長法和等弧長法等方法；在刀具路徑的生成算法中形成了刀具圓弧半徑補償方法以及非零前角刀具的前角補償方法；為了得到不同要求的加工表面質量，形成了等殘高、等切屑載荷的刀具路徑生成方法等。

刀具路徑是加工復雜曲面最基本的保障。刀具路徑規劃算法可以影響到加工效率以及得到的自由曲面的表面質量。但目前有關該技術在加工路徑規劃算法的設計上仍然存在問題，所以本文將提出一種以防止過渡區域干涉過切、提高過渡區域表面質量為目的的新型刀具路徑生成算法。

1 三維橢圓振動輔助車削技術

三維橢圓振動輔助車削（EVC）作為一種超精密車削方法，可以高精度和高效地加工復雜光學曲面。3D-EVC技術是從一維、二維振動切削技術的基礎上提出來的。三維橢圓振動切削技術的空間橢圓運動軌跡是通過壓電驅動器驅動，柔性鉸鏈的微變形來促使刀尖形成給定的橢圓運動軌跡。具體可以表示為刀尖在二維橢圓運動軌跡平面的基礎上，分別沿切削方向和切削深度方向旋轉一定角度得到。刀尖點空間橢圓運動結合工件旋轉，形成加工主切削運動。具體原理圖如圖1所示。

圖1 EVC 加工原理

t0-t1-t2-t3-t4為一個橢圓運動周期，有效切削階段為t0-t1-t2，t2-t3-t4為分離階段。h為切削深度， γ 為切削痕跡上一點切線與切削方向的夾角。

在三維橢圓輔助振動車削裝置的驅動下，在刀具局部坐標系中刀具沿x、y、z向的運動方程為

其中：x(t)、y(t)、z(t）為分別沿x、y、z方向的振動位移，a、b、c為分別對應3個方向的振幅，φ1、φ2、φ3為分別對應3個方向的初始相位角。

2 刀位點規劃優化設計

圖2為路徑規劃的流程，本節將根據具體進行研究。

圖2 3D-EVC 加工路徑規劃流程

2.1 工件坐標系的建立與轉換

在機床加工系統中，自由曲面的加工通常由3個軸的合成運動實現。x、z、c三軸由圓柱(極)坐標系 (x,φ,z)控制坐標，加工系統用圓柱坐標系表示。如圖3所示，為切削自由曲面的切削過程及笛卡爾坐標系，X方向為進給方向，主軸轉向為順時針方向，待加工的自由曲面數學模型通常是通過笛卡爾坐標系 (xc,yc,zc)表示。所以，笛卡爾坐標系對應下的自由曲面方程需轉換成機床能夠識別的圓柱坐標系。式（2）~（4）為坐標轉換公式。

圖3 切削過程及坐標系

刀具幾何參數選擇包括刀具后角、刀尖圓弧半徑以及包角。

在車削過程中，如果刀具后角選取不當，將會降低刀具的壽命，甚至可能導致后刀面與工件發生碰撞干涉。由于自由曲面表面結構特殊性，要想使選用的刀具在整個待加工曲面上不發生干涉，需要使刀具的后角大于任意切削點處的切線與水平夾角的最大值，即 α ＞αmax。

要使金剛石刀具能在整個待加工曲面上順利完成切削加工過程并不發生干涉現象，要使整個曲面最小曲率大于刀尖圓弧半徑，整個曲面中每個切削點處的最小包角大于刀具的包角。即Rmin＞R, θmin＞θ 。

2.2 刀具軌跡生成分析

刀觸點軌跡的求解有多種方法。常規的等角度、等弧長路徑規劃方法具有一定的局限，并不適用于3D-EVC自由曲面加工過程，因此本文提出一種基于等角度、等弧長相結合的方法，并針對復雜曲面凸面凹面（過渡區）進行優化。

如圖4為等角度路徑規劃算法簡圖，等角度法即相鄰刀觸點的角度相等，具體的刀觸點求解方法如下。

圖4 等角度路徑規劃算法

式中： θw、rw是圓柱坐標系中自由曲面的刀觸點極坐標坐標；Dw是刀觸點和工件中心的距離，是工件直徑；af是X軸的進給量； Δ θ是相鄰兩個刀觸點之間角度的增量。

圖5為等弧長路徑規劃算法簡圖，等弧長法即相鄰點之間的弧長相等。具體的刀觸點求解方法如下。

圖5 等弧長路徑規劃算法

等角度法的優點是計算簡單，易于評估。但靠近中心區域的軌跡點過于密集，而外部軌跡點相對稀疏。如果離散角度很小，NC程序的計算工作量會增大，導致加工效率下降。

相比等角度法，等弧長法的計算量相對較小，但是工件中心的軌跡點相對稀疏，導致加工表面質量下降。

綜合以上兩種方法，本文采用等角度等弧長綜合的方法，對工件外圍采用等弧長法，對靠近工件中心采用等角度法，并對復雜曲面加工過渡區域進行優化，提高精度，防止過切。

3D-EVC加工間歇性的特點使得刀具沿徑向方向從凸面進入凹面輪廓時，由于EVC的間歇性，刀具與工件并不是時刻接觸，在刀具進出凸面凹面過渡區輪廓的過程中，產生一處既不與凸面輪廓相切，也不與凹面輪廓相切的區域，本文稱曲面過渡區。如圖6所示，按照傳統刀具路徑規劃方法，此時刀觸點與輪廓表面沒有接觸，這樣就會造成過渡區域內切削殘余高度較大，從而對正弦曲面EVC加工邊緣區域的表面質量有顯著影響。

圖6 常規方式正弦曲面刀位點過渡區

通過幾何關系可以得到

式中：f為進給量；L為過渡區沿徑向方向的寬度；h1、h2分別為凸、凹曲面處的加工殘余高度；過渡區寬度L受刀尖圓弧半徑r和曲率半徑R影響。

優化路徑是在原有兩段刀具路徑之間，插入一段XZ平面內凸曲面與凹曲面的交點Pc0(xc0，yc0，zc0)（即復雜曲面表達式二階導數為0位置），P0(x0，y0，z0)（進入過渡區前的刀位點）連接的圓弧。P0即由式（7）所求的刀位點。形成由凸、凹曲面輪廓圓弧和過渡區圓弧3部分組成的進刀路徑。優化后的刀具路徑使實際切削點直接通過凸面與凹面的交點，減小過渡區切削殘余高度，改善復雜曲面EVC加工表面質量。

圖6、圖7中X軸為刀具進給方向坐標，Z軸為工件軸向坐標。

圖7 優化后的進刀路徑

由圖7幾何關系可得

式中： θ為刀位點與x軸夾角。

刀位點Z向投影坐標位于過渡區內的判別條件為

2.3 刀具半徑補償

由于自由曲面特殊的表面，導致每個切削點在路徑中都有不同的曲率。因此傳統方法只通過補償一個刀具圓弧半徑值的刀具半徑補償方法并不適用。

如圖8所示，為傳統刀具圓弧半徑補償圖，在刀觸點軌跡上的一點PCT(x，y)的法向量n方向上補償一個刀尖半徑r。補償后的點即為刀位點，所有刀位點的軌跡就是路徑的最終軌跡。

圖8 刀具半徑補償示意圖

由于刀具軌跡是空間螺旋線，所以在EVC中要對刀具補償進行三維空間分析。

圖9為刀具補償三維空間分析中向量在刀具上的位置圖，設 α 、β、γ為方向余弦角，則刀觸點的法向量為

圖9 3個向量在刀具上的位置（圖修改）

當加工點的刀具接觸點極角為θ時，可獲得切削平面法向矢量。

求解刀尖半徑偏移的方向可由以下等式表示。

根據向量的知識，得

nox、noy、noz代表no在x、y、z方向的分量。

3 仿真實例

為驗證本文所提出的過渡區路徑優化算法的準確性與合理性，如圖10所示，為正弦曲面表征圖，圖11即為正弦曲面過渡區域表征圖，本文以正弦曲面為例，利用仿真軟件對傳統路徑規劃算法和路徑優化算法的兩種方式進行仿真分析。具體仿真參數如表1 、2所示。

圖10 正弦曲面

圖11 正弦曲面過渡區放大圖

表1 EVC 加工參數

表2 正弦曲面參數

正弦曲面表達式為：

圖12為未對過渡區進行優化的路徑，圖13為傳統路徑算法過渡區域殘余高度，從圖12可以看出凸面和凹面處的過渡連接區不光滑，從圖13可以看出連接處殘余高度不均勻，存在較大的誤差。

圖12 未優化的路徑

圖14、15為優化后過渡區的刀位點軌跡，圖16為過渡區優化后的殘余高度，可以看出在凹面和凸面的過渡區中表面光滑，殘余高度降低且均勻，并沒有產生過切現象。由圖13和圖16對比得出，優化后過渡區殘余高度降低27%。

圖13 等角度法與等弧長法過渡區殘余高度

圖14 路徑優化算法刀位點

圖16 優化路徑過渡區殘余高度

采用未優化過的刀具路徑，過渡區如圖17a所示，為Y= 0 時的截面圖，可以看出存在刀尖圓弧的過切現象，輪廓連接點附近存在較大的誤差，因此此處即為本文優化的地方。如圖17b所示，對復雜曲面過渡區路徑進行優化后，未出現過切現象，且輪廓的圓度較好。

圖15 正弦曲面路徑優化算法過渡區

圖17 Y=0 進刀路徑截面圖

對3D-EVC加工后的表面粗糙度進行評價，從以下3個參數進行評定：

三維輪廓均方根偏差

三維輪廓算術平均偏差

三維輪廓表面峰谷值

如圖18、19為優化前后加工表面形貌，采用二維小波分析方法對算法獲得的表面形貌進行分離與評價，將特定頻率的三維空間表面從原始表面形貌數據中分離出來。再由頻譜分析，選擇出表面粗糙度誤差部分。

圖18 傳統路徑表面形貌

圖19 采用優化路徑后的表面形貌

表3為三維表面粗糙度計算結果，由結果得知，優化路徑的表面粗糙度值Sq由0.005 9 mm降低至0.004 5 mm，Sa 由 0.006 7 mm 降 低 至 0.003 8 mm，優化路徑得到的表面精度得到提升。

表3 三維表面粗糙度計算結果

4 結語

本文通過系統研究3D-EVC路徑，針對目前路徑規劃存在的問題進行優化，具體工作如下：

（1） 以正弦曲面輪廓邊緣區域作為具體研究對象，討論EVC加工時曲面存在過渡區并且研究過渡區寬度分布情況。通過分析表明過渡區寬度L與刀尖圓弧半徑r、曲率半徑R有關，刀尖圓弧半徑與過渡區寬度值關系呈正相關。

（2） 基于現有的等角度、等弧長路徑規劃算法，對復雜曲面過渡區刀具路徑進行優化。仿真結果顯示，優化后過渡區殘余高度較傳統算法均勻且數值降低27%，驗證了提出優化路徑的可行性。

（3） 通過對表面形貌進行評價與計算，Sq由0.005 9 mm 降低至 0.004 5 mm，Sa 由 0.006 7 mm 降低至0.003 8 mm，證明提出的過渡區路徑優化方法能夠有效提高輪廓邊緣的加工精度。