簡諧運動物理量的理論推導與應用

云南 張保雷 胡家光

1 基本概念

1.1 簡諧運動的定義

如果質點的位移與時間的關系遵從正弦函數的規律，即它的振動圖像(x-t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運動，簡諧運動位移與時間的關系的表達式為x=Asin(ωt+φ0)，式中A是振幅，ω為圓頻率，t為時間，φ0為初相位。

1.2 簡諧運動的受力特征

簡諧運動的受力特征為F=-kx，其中F為指向平衡位置的回復力，也叫諧振特征力；x為振動質點偏離平衡位置的位移；k為恢復系數，由振動系統自身性質決定；“-”表示F與x方向相反。由牛頓第二定律F=-kx=ma，可知簡諧運動為變加速運動。

1.3 簡諧運動的周期

2 理論探究

2.1 簡諧運動的位移、速度、加速度

由簡諧運動位移與時間的關系

x=Asin(ωt+φ0) ①

解得簡諧運動質點的速度

當cos(ωt+φ0)=1時，簡諧運動質點的速度最大，此時x=Asin(ωt+φ0)=0，即質點通過平衡位置的速度最大，最大值為vM=Aω；

簡諧運動質點的加速度

當sin(ωt+φ0)=1，此時x最大，即質點位于距平衡位置位移最大處，且加速度最大，最大值為aM=Aω2；

由①②③式，可知簡諧運動質點的位移、速度、加速度與時間的關系均遵從正弦函數的規律。

2.2 簡諧運動的回復力

根據牛頓第二定律，可得簡諧運動質點的受力

F=ma=-mω2Asin(ωt+φ0) ④

由④式可知簡諧運動質點的受力與時間的關系均遵從正弦函數的規律。

由①④式易得簡諧運動質點的受力

F=-mω2Asin(ωt+φ0)=-mω2x=-kx⑤

其中k為恢復系數，k的大小由振動系統自身性質決定，振動系統不改變，則振動過程中k保持不變，即做簡諧運動的質點所受作用力大小與位移成正比，方向與位移相反，該力始終指向平衡位置，物理學中按效果將其命名為回復力。從簡諧運動的受力特征出發是證明某運動為簡諧運動簡單、有效的常用方法。

2.3 簡諧運動的周期

由⑤式可得k=-mω2⑥

其中m為振子質量，k為振動系統的恢復系數，此式從簡諧運動的定義式出發推理而得，適用于任何簡諧運動周期的計算。

2.4 簡諧運動的能量

結合①⑨式，簡諧運動系統的勢能為

由⑧⑩式可得簡諧運動系統的動能與勢能之和

3 常見簡諧運動的實例分析

3.1 彈簧振子

圖1

3.2 單擺

圖2

4 非常見簡諧運動的實例分析

如圖3所示，電荷量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細桿上，間距為d。若桿上套一帶正電的小環C(圖中未畫出)，帶電體A、B和C均可視為點電荷。若小環C所帶的電荷量為-q，將小環拉離平衡位置一小段位移x(|x|=d)后由靜止釋放，計算小環C回到平衡位置所用時間。

圖3

圖4

5 結語

通過上述對簡諧運動位移、速度、加速度、周期和能量的理論探究，發現簡諧運動各物理量有著深層次的內在聯系，只要確定了恢復系數，相對復雜的振動周期和能量就迎刃而解了。如果師生能經歷上述理論探究過程，不僅可以對簡諧運動有深入系統地認識，也能體驗科學探究的方法和體會理論探究的樂趣，也是優秀學生成長的一條有效途徑。