軸力作用下多點約束桿件的橫向振動及穩定簡化分析方法

陳飄華，張慧健，黃仕平,2，袁兆勛

(1.華南理工大學 土木與交通學院，廣州 510640；2.中新國際聯合研究院，廣州 510700)

在實際工程中，結構構件及許多機械設備都是在承受軸向荷載的情況下工作，例如受拉的纜索、桁架拱的受壓腹桿等。當軸向壓力超過某一臨界壓力時，壓桿將喪失保持穩定平衡構形的能力從而發生屈曲或失穩[1]。根據結構動力學[2]可知，桿件在承受壓力時，頻率會有所降低，且壓力越大，頻率降低越多。結構振動頻率作為結構動力特性的重要指標，是結構動力分析及控制的重要參數，因此軸力條件下桿件的自由振動引起了眾多學者研究。Huang等[3]提出一種動態有限元單元法用于計算斜拉索的振動頻率與索力。孫秀榮等[4]研究了一端固定一端滑動下分布軸向力對桿柱失穩和橫向振動的影響。李夢瑤[5]研究了簡支箱梁在剪力滯效應和附加軸力影響下的自由振動特性。滕兆春等[6]研究了軸向力對一端固定一端滑動梁的過屈曲前后固有頻率的影響。樓夢麟等[7]采用模態攝動法分析了預應力對簡支梁橫向振動特性的影響。陳永紅等[8]研究了軸向運動Timoshenko梁在軸向載荷作用下的振動特性。趙雨皓等[9]建立了軸向載荷條件下彈性邊界約束梁結構的振動分析模型。

上述研究大多是基于特定端部支承條件下軸力對自由振動影響的研究，且在實際工程中，為了改善構件的動力性能，通常會在構件的中間設置附加約束條件來控制其振動頻率，例如受拉纜索為了增加剛度，在其中部設置附加約束；鋼結構中為提高鋼梁的整體穩定性，通常在其受壓翼緣處設置側向支承點。合理設置附加支承可以控制構件的振動頻率及歐拉臨界力，提高構件的動力性能及穩定性，保證其在振動過程中不發生破壞或者失效。對于含中間支承的研究，吳曉[10]利用Laplace變換求得了多跨連續長索固有橫振振型的解析解。黃翀等[11]研究了多跨索支承在同一平面且不在同一直線上的固有振動特性。荊洪英等[12]研究了一端固支且自由端軸向受壓具有中間支承梁的橫向振動特性。Xiao等[13]基于Mindlin-Goodman法和模態疊加法，分析了軸力作用下均勻Euler-Bernoulli梁在隨機支承激勵下的動響應。

綜上所述，軸力下含附加約束桿件的振動頻率較為復雜，一般采用有限單元法等數值方法進行計算，然而有限單元法需要軟件建模且不夠直觀。基于此，本文采用特征函數集和相應的特征值建立基本結構的勢能泛函方程，利用拉格朗日乘子法考慮泛函中的附加約束條件，推導在不同端部支承方式下軸力作用桿件在多點約束下的頻率計算公式，并根據頻率和軸力之間的關系得到該桿件的歐拉臨界力，為結構設計及計算提供簡便的計算公式。

1 多點約束下梁的頻率公式推導

本章先建立軸向荷載下梁的總勢能泛函，然后通過拉格朗日乘子法考慮附加約束，最后通過最小勢能原理求解振動頻率及相應的歐拉臨界荷載。

取梁上任一截面x處的微段dx為隔離體，該微段有作用在兩個截面上的彎矩M，剪力Q，軸力N及分布慣性力m(x)(?2y/?t2)，如圖1所示。

圖1 梁段隔離體Fig.1 Beam segment isolation body

由梁段隔離體的力及力矩平衡方程求得軸向力作用下歐拉梁的橫向振動方程

(1)

式中：E為梁的彈性模量；I(x)為梁的慣性矩；y為梁的橫向位移；x為梁的坐標；m(x)為梁的單位長度質量；N為梁受到的軸向力。

假定梁遵循簡諧振動，則梁的撓度y可以分離成時間和空間變量

y=Y(x)sin(ωt+φ)

(2)

式中：ω為角速度，(rad/s)；φ為相位角。

將式(2)代入式(1)中可以得到

(3)

給定梁端的邊界條件(如簡支、固支或自由)，則會有相應的一組封閉的特征函數φr(x)和特征值λr=ω2對應梁的第r階振型。其特征函數有如下特性

(4)

滿足邊界條件的梁振動模態可以看作是各階特征函數φr(x)的疊加

無阻尼作用下梁振動的總勢能在任何時刻都是相同的，因此我們考慮梁在最大撓度位置處時的勢能。梁的最大撓度可以表示為

Y(x)=a1φ1(x)+a2φ2(x)+a3φ3(x)+…

(6)

梁在最大撓度位置處的應變能

(7)

對式(7)進行分部積分

當梁端為簡支或自由時，梁端彎矩EI(x)(d2Y/dx2)為0；當梁端為固支時，梁端轉角dY/dx為0，故式(8)簡化成

(9)

對式(9)再次進行分部積分

同理，當梁端為簡支或固支時，梁端撓度Y為0；梁端為自由時，梁端剪力(d/dx)[EI(x)(d2Y/dx2)]為0，故應變能最終簡化成

(11)

將式(3)代入式(11)中

(12)

同時，梁的勢能

(13)

當梁的兩端之間x=c1,c2,c3，…處有n個附加約束，如圖2所示。

圖2 軸向荷載下多點約束梁結構振動模型Fig.2 Vibration model of multi-point restrained beam structure under axial force

ci處對應的位移Yci

Yci=a1φ1(ci)+a2φ2(ci)+a3φ3(ci)+…

(14)

同時在梁的總勢能公式中引入n個拉格朗日乘子法[14]變量μ1,μ2,μ3…，則其總勢能泛函П為[15]

(15)

式中:U為應變能由式(12)求出;V為勢能由式(13)求出。

根據最小勢能原理，總勢能П需要滿足以下條件

(16)

和附加約束條件

將式(15)代入式(16)得到ar后，再將ar代入式(17)即可得到梁在多點約束下的頻率計算公式。

梁承受壓力時，其自振頻率會有所減小，相當于降低了梁的剛度，當梁的一階頻率降為零時，結構會發生失穩，此時的壓力即為歐拉臨界力。因此，當頻率公式中λ為0時，所得到的軸力N即為結構的歐拉臨界力。

本方法對任意端部支承方式的桿件都適用，只要知道其特征函數即可求解相應的頻率公式及歐拉臨界力。1.1節以端部支承為簡支和固支為例，求其振動頻率及相應的歐拉臨界力。

1.1 等截面簡支梁在多點約束下的頻率公式

(18)

根據式(18)，將特征函數代入式(12)和式(13)可得簡支梁的應變能和勢能

(20)

則總勢能П

當兩端之間x=c1處只有一個附加約束時(即n=1)，根據最小勢能原理，將總勢能代入式(16)可得

(22)

再將式(22)代入式(17)可得簡支梁在單點約束下的振動頻率公式

(23)

當式(23)中λ=0且r=2時，可得簡支梁在單點約束下的歐拉臨界力

(24)

當兩端之間x=c1，c2處有兩個附加約束時(即n=2)，根據最小勢能原理，將總勢能代入式(16)可得

(25)

再將式(25)代入式(17)整理可得

(26)

式(26)有非零解的必要條件是μ1，μ2的系數行列式為零，可得簡支梁在兩點約束下的振動頻率公式

同理，對式(27)取λ=0且r=3時，可得簡支梁在兩點約束下的歐拉臨界力

(28)

式中:A=[φ1(c1)φ2(c2)-φ2(c1)φ1(c2)]2；B=[φ1(c1)φ3(c2)-φ3(c1)φ1(c2)]2；C=[φ2(c1)φ3(c2)-φ3(c1)φ2(c2)]2。

1.2 等截面固支梁在多點約束下的頻率公式

固支梁的特征函數為

φr(x)=cosh(krx)-cos(krx)+γr[sinh(krx)-sin(krx)](29)

則固支梁特征函數有如下特性

(30)

因篇幅有限，本文僅給出固支梁在單點約束(即x=c1處)下的基頻計算公式，因此對固支梁特征函數僅取前兩項，則根據式(12)和式(13)可得固支梁的應變能和勢能

(31)

(32)

則總勢能П

μ1[a1φ1(c1)+a2φ2(c1)]

(33)

同樣總勢能П需要滿足式(16)和式(17)

(34)

同理，對上述式(34)消除a1和a2，即可得固支梁在單點約束下的基頻。若要求出前r階頻率，則特征函數需要取前r+1項計算。

實際工程中考慮到制造、施工、造價和外觀等因素，一般約束數量有限，大多在3個以內。對于大部分對稱結構，當約束較多時，可通過取半結構的方法對約束數量進行簡化。

2 實例及驗證

2.1 簡支梁在單點約束下的頻率

以兩端簡支且軸向受拉的拉索為例，拉索長度12 m，圓形截面采用直徑7.3 cm，附加約束位于跨距比l1∶l2=5∶7處。有限元模型采用一維梁單元且等間距劃分單元，梁端邊界為鉸接，中間支承僅約束豎向位移，具體參數如圖3、表1所示。

圖3 拉索結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of cable structure

表1 拉索模型的材料參數Tab.1 Material parameters of cable model

將拉索尺寸及材料參數代入式(23)，并對該式取前7項(即r=7)可得拉索的前6階頻率，計算結果與有限元模型對比，如表2所示。前6階頻率的最大誤差不足3%，滿足工程計算需求。

表2 前6階頻率對比Tab.2 Comparison of the first six frequencies

2.2 簡支梁在兩點約束下的頻率

以兩端簡支且軸向受壓的鋼梁為例，鋼梁長度10 m，截面采用HW 200×200×8/12，附加約束位于跨距比l1∶l2∶l3=3∶4∶3處。有限元建模方式與上述拉索相同，具體參數如圖4、表3所示。

圖4 鋼梁結構示意圖Fig.4 Schematic diagram of steel beam structure

表3 鋼梁模型的材料參數Tab.3 Material parameters of steel beam model

將鋼梁尺寸及材料參數代入式(27)中，并對該式取前8項(即r=8)可得鋼梁的前六階頻率，計算結果與有限元模型對比，如表4所示。兩點約束下頻率的計算值最大誤差不足2%，滿足工程計算需求。

表4 前6階頻率對比Tab.4 Comparison of the first six frequencies

當結構的頻率為0(即λ=0)時，式(28)所求的N=-8.508×103kN即為鋼梁的歐拉臨界力。此外，本文方法可服務于優化布設結構的約束位置和數量。當約束個數確定時，為了使壓桿有最佳的穩定性，可根據歐拉臨界力公式求出以c1,c2,c3，…為自變量下的最值N，保證壓桿擁有最大的歐拉臨界力(以鋼梁為例，兩點約束位于跨距比l1∶l2∶l3=1∶1∶1處時，為最大歐拉臨界力Nmax=-9.158×103kN)；當歐拉臨界力確定時，可根據不同約束個數下歐拉臨界力公式的最值N，選出所需的最少附加約束，保證最佳的經濟效益。

2.3 固支梁在單點約束下的頻率

以兩端固支且軸向受壓的混凝土柱為例，混凝土柱長度8 m，圓形截面采用直徑0.2 m，附加約束位于跨距比l1∶l2=3∶5處。有限元模型同樣采用一維梁單元且等間距劃分單元，梁端邊界采用固結 ，中間支承僅約束豎向位移，具體參數如圖5、表5所示。

圖5 混凝土柱結構示意圖Fig.5 Schematic diagram of concrete column structure

表5 混凝土柱模型的材料參數Tab.5 Material parameters of concrete column model

將混凝土柱尺寸及材料參數代入式(34)，對該方程組進行求解可得混凝土柱的基頻，并將計算結果與有限元模型對比。如表6所示，固支梁在單點約束下基頻的計算值誤差僅1.39%。

表6 基頻對比Tab.6 Fundamental frequency comparison

3 結 論

本文采用特征函數集和相應的特征值建立基本結構的勢能泛函方程，利用拉格朗日乘子法考慮泛函中的附加約束條件，推導了軸向力作用下多點約束桿件橫向振動的頻率方程，同時獲得了振動頻率及歐拉臨界力的解析解。主要結論如下：

(1)該方法同時獲得了振動頻率和歐拉臨界力，理論上解釋了歐拉臨界力和振動頻率的關系。

(2)桿件隨著軸向壓力的增大，固有頻率逐漸減小；當頻率降低至零時，結構發生失穩，因此對本方法所求的頻率公式中λ=0時，即可得到桿件在多點約束下的臨界歐拉力。

(3)簡化了多點約束桿件固有振動頻率的問題，該方法不受中間約束數量影響，可通過少量特征函數項求解結構頻率，且特征函數項數越高，計算的頻率精度越高。

(4)由式(24)、式(28)可知，歐拉臨界力的大小不僅與梁長、端部支承方式、彈性模量和慣性矩有關，還與中間支承的個數和位置有關，因此合理布置附加支承可提高構件的穩定性。

(5)結構設計中可根據本方法所求的歐拉臨界力公式反算得到構件需要附加支承的個數及位置的最優解。

(6)利用本文方法僅保留少數項特征函數即可求得低階振動頻率及相應臨界歐拉荷載，適合快速手算。

通過實例分析可知，對于兩端簡支和兩端固支的均勻連續梁，本文的計算結果與有限元分析的計算結果基本一致，該方法也適用于其他端點約束情況。