基于改進FCPM的工程項目施工動態規劃研究

劉大江

(唐山學院 土木工程學院，河北 唐山 063000)

0 引言

關鍵路徑法(Critical Path Method，CPM)是對大型復雜項目進行計劃、調度與控制的重要且有效的工具[1]。傳統CPM的成功實現必須基于施工規劃中有清晰的活動持續時間，然而，工程項目的一次性、項目活動實現的不可重復性、實現過程的復雜性和環境的不確定性，致使工程項目活動的持續時間難以被準確預測、項目數據信息失真，從而導致施工規劃或計劃出現嚴重偏差。計劃評審技術(Program Evaluation and Review Technique，PERT)也是一種安排大型復雜項目計劃的管理方法，它雖引入了基于概率分布(如正態分布、β分布等)假設的三時估計法來表達項目活動持續時間的不確定性，但恰當的概率分布需要歷史統計數據和人的判斷確定，而不能隨機假設；并且在工程實踐中，尚無對活動樂觀的、正常的和悲觀的持續時間進行規范定義，導致相關概率分布假設很難成立。顯然，以傳統方式處理不確定性狀態下的施工動態規劃問題難以獲得滿意的效果，而基于模糊理論的施工動態規劃被認為比基于概率論的更加有效。因此，模糊關鍵路徑法(Fuzzy Critical Path Method，FCPM)被廣泛應用于求解項目施工動態規劃問題。

基于FCPM的項目施工動態規劃分析需要實現三個目標[2]：(1)識別項目的最高風險活動和路徑，即識別不可浮動的關鍵活動和關鍵路徑；(2)計算項目最終完成時間，即總工期；(3)確定進度計劃中每項活動的總時差。同時，還應當妥善解決兩方面關鍵問題：(1)項目總工期、最早和最遲時間參數的模糊最大值或最小值運算；(2)涉及最遲時間參數和總時差的模糊減運算可能產生的不可行解。

文獻[3][4]應用模糊數的符號距離排序法，求得了項目模糊網絡的關鍵路徑；文獻[5]通過定義基于廣義模糊數質心的排序函數，判別了最早和最遲時間參數，識別了項目模糊網絡的關鍵路徑；文獻[1][6]通過建立線性規劃模型，計算了時間參數的下限值和上限值，獲得了每項活動最早和最遲時間的隸屬函數，從而確定了項目模糊網絡的關鍵路徑和路徑的關鍵程度；文獻[7][8]通過定義模糊活動時間的關鍵性，以及利用通過線性規劃模型計算出的路徑的關鍵度，確定了項目模糊網絡的關鍵路徑；文獻[9]采用字母序排序法對活動的模糊時間參數進行排序確定了其關鍵性，識別了關鍵路徑；文獻[10]通過定義將模糊數轉換成實數的排序函數，實現了對模糊網絡各項活動時間參數的計算和關鍵路徑的確定；文獻[11]-[14]提出利用距離測度的排序法計算每個活動的模糊時間參數，確定了項目網絡關鍵路徑和總工期。

上述研究不同程度地解決了模糊數最值運算和關鍵路徑識別問題。文獻[3]-[10]均采用先將模糊數轉換為實數再進行比較的模糊數的弱比較方法確定項目模糊網絡的關鍵路徑，但這種方法使數據的原始信息損失大，且規避了相關時間參數的計算，不能有效實現項目施工動態規劃分析的全部目標；文獻[11]-[13]給出了距離測度公式，對于兩個完全相等的模糊數應用其計算出的距離卻大于零，這與事實相悖，同時，這些文獻均未考慮活動持續時間模糊狀態下關鍵路徑可能發生變化的事實。文獻[14]提出了基于理想點的距離測度公式，雖在一定程度上彌補了上述研究的不足，但與最大和最小理想點距離同時相等的兩個模糊數卻無法比較大小。另外，針對在最遲時間參數和總時差計算過程中規避模糊減運算可能產生的不可行解問題，學界也開展了大量卓有成效的研究，比如在應用交互式模糊減法[15-16]、求解模糊方程法[17]、線性規劃法[18]、擴展模糊算術運算模型[19]、新多項式算法[20]、八角形模糊減法式[21]等方法時由于注意增設了非負約束條件，故均不同程度地規避了模糊減運算產生的不可行解問題，然而這些研究由于未考慮模糊數偏序關系與左右展寬的非負約束等情況，模糊減運算產生的不可行解問題尚未得到有效解決。

鑒于此，本文提出一種基于向量集成相似度排序算法和修正的模糊減運算標準算法的改進的FCPM，以提高項目施工動態規劃分析的合理性和有效性。

1 梯形模糊數基礎理論

(1)

圖1 梯形模糊數

(2)

Aα+Bα=[AL(α)+BL(α)，AU(α)+BU(α)]；

(3)

Aα-Bα=[AL(α)-BU(α)，AU(α)-BL(α)]；

(4)

λAα=[λAL(α)，λAU(α)]，λ∈R且λ≥0；

(5)

max(Aα，Bα)=[max(AL(α)，BL(α))，max(AU(α)，BU(α))]；

(6)

min(Aα，Bα)=[min(AL(α)，BL(α))，min(AU(α)，BU(α))]。

(7)

2 改進的FCPM

2.1 向量集成相似度排序算法[23]

向量集成相似度排序算法是利用梯形模糊數的等效參數形式，通過區間數與二維向量的信息轉換，集成比較信息向量與理想信息向量的范數相似度和方向相似度的信息，客觀、綜合地反映比較信息向量與理想信息向量相似程度，以確定梯形模糊數大小的一種排序方法。

向量集成相似度排序算法主要解決的是模糊施工動態規劃分析中遞推計算活動最早和最遲時間參數、識別關鍵活動和關鍵路徑、確定總工期等問題。

2.1.1 確定轉換信息向量

(8)

顯然，任意一個區間數X均可用M(X)和W(X)描述，那么對于區間數A和B，當且僅當M(A)=M(B)且W(A)=W(B)時，A=B。

2.1.2 確定理想信息向量

(9)

圖2 比較信息向量與理想信息向量

2.1.3 計算向量集成相似度

2-范數為：

(10)

內積為：

(11)

夾角為：

(12)

范數相似度為：

γ=

(13)

方向相似度為：

(14)

集成相似度為：

(15)

2.1.4 模糊數排序

因此，定理2成立。

基于式(10)-(15)，逐一計算并比較每個比較信息向量與理想信息向量的集成相似度。由定理2可知，集成相似度越大，其對應的模糊數相對越優，從而完成對模糊數的排序。

2.2 修正的模糊減運算標準算法[22]

模糊減運算標準算法[29]：

(16)

雖然計算獲得了非負解，但其明顯與區間數定義中AL≤AU的規定相悖，致使計算結果毫無實際意義。因此，將式(16)修正為式(17)。

(17)

3 改進的FCPM施工動態規劃分析的實現

改進的FCPM施工動態規劃分析的實現過程與CPM一致，但需要應用梯形模糊數和相關代數進行運算，本文以單代號網絡計劃為例闡述其實現過程。單代號網絡計劃的節點信息一般包括：活動名稱(N)、節點編碼(i)、活動持續時間(Di)、最早開始與結束時間(ESi與EFi)、最遲開始與結束時間(LSi與LFi)和總時差(TFi)，如圖3所示。

圖3 單代號網絡計劃的活動節點

基本步驟如下：

Step 1 構建項目施工模糊網絡。

選擇網絡計劃類型，確定每項活動的邏輯關系與活動模糊持續時間，設置虛擬開始節點(Sn)和結束節點(En)。活動持續時間以梯形模糊數的等效參數形式表示，虛擬開始節點：DSn=[0，0]，ESSn=[0，0]，EFSn=[0，0]。

Step 2 枚舉模糊網絡的全部路徑并計算每一路徑上活動持續時間之和。

根據式(3)進行模糊加運算，設模糊網絡存在m條路徑，則路徑x的持續時間之和為：

(18)

Step 3 識別模糊網絡關鍵路徑并計算項目總工期。

關鍵路徑判別標準：活動持續時間之和最長的路徑是關鍵路徑。

關鍵活動判別準則：關鍵路徑上的活動均為關鍵活動。

項目總工期：

T=max(Tx)。

(19)

Step 4 計算活動的最早開始與結束時間。

活動i在路徑x上的最早開始時間：ESxi=EFxh，h∈pred(i)，其表達如圖4所示。

圖4 活動i在路徑x上的最早開始時間

活動i的最早開始與結束時間分別按式(20)(21)計算，其表達如圖5所示。

圖5 活動最早時間

(20)

EFi=ESi+Di。

(21)

Step 5 計算活動的最遲開始與結束時間。

虛擬結束節點：DSn=[0，0]，LFSn=[EFEn，EFEn]，LSSn=[EFEn，EFEn]。模糊減運算據式(17)，逆向遞推計算模糊最遲開始與結束時間，如式(22)(23)所示，其表達見圖6。

(22)

LSi=LFi-Di。

(23)

圖6 活動最遲時間

Step 6 計算活動的總時差。

TFi=LSi-ESi或TFi=LFi-EFi。

(24)

Step 7 活動持續時間模糊狀態下的關鍵路徑變化情況分析。

根據不確定狀態下α∈[0，1]的變化情況，描繪各條路徑的變化軌跡，并對關鍵路徑變化情況作出分析。

4 實證分析

某項目為預制裝配式混凝土(PC)剪力墻結構。承包商試圖通過合理地確定總工期和關鍵路徑，制定科學的施工動態規劃，有效識別與規避施工風險，優化配置施工資源。以該項目標準層PC疊合樓板的施工為例，利用改進的FCPM進行施工動態規劃分析。

依據PC疊合樓板施工工藝及特點，構建單代號施工網絡(A-on-N)，如圖7所示，活動的邏輯關系為FTS。通過專家對既有類似項目(相同或相近的結構類型、施工方式、建設規模和質量標準等)活動持續時間數據的統計與測算，并充分考慮承包商施工水平和工作效率，獲得以梯形模糊數表示的該項目活動的持續時間。例如，經統計的類似既有項目A-J中“PC樓板吊裝”的持續時間如表1所示。經專家綜合分析確定“PC樓板吊裝”模糊持續時間為(1，2，3，4)。

圖7 某項目標準層PC疊合樓板的施工網絡

表1 類似項目中“PC樓板吊裝”的持續時間 d

同理，其他活動的模糊持續時間(為簡化計算均取整數)和邏輯關系(FTS)如表2所示。

表2 活動模糊持續時間和邏輯關系 d

基于改進的FCPM的PC疊合樓板施工動態規劃分析的實現過程如下：根據式(2)實現PC疊合樓板施工網絡的梯形模糊活動持續時間的等效參數形式轉換，如表2所示。枚舉PC疊合樓板模糊施工網絡的全部路徑，計算其對應的持續時間，如表3所示。

表3 模糊施工網絡路徑及其持續時間

根據式(18)(19)，不同α∈[0，1]水平下PC疊合樓板施工的總工期和關鍵路徑如表4所示。

表4 不同α水平下的項目總工期和關鍵路徑

表4顯示：α由0.2變化為0.3時，關鍵路徑從1-4-6-8轉換成1-2-5-6-8(如圖8所示)，項目總工期和時間參數均隨不同α水平而發生改變。當α取(0.2，0.3)中某一值時，路徑1-4-6-8和1-2-5-6-8的信息向量具有完全相等的集成相似度，二者均為關鍵路徑。這表明，在活動持續時間模糊狀態下，施工網絡是動態的，關鍵路徑和項目總工期隨不同α水平的變化而改變，而且模糊施工網絡可能同時存在多個關鍵路徑。該項目施工網絡的路徑變化情況如圖9所示。

圖8 關鍵路徑的轉換軌跡

圖9 不同α水平下施工網絡的路徑變化情況

5 結論

基于向量集成相似度排序算法與修正的模糊減運算標準算法的改進的FCPM成功實現了施工動態規劃分析的三個目標，通過定義梯形模糊數等效參數形式，可靠地實現了施工動態規劃由模糊性向確定性的轉化；向量集成相似度排序算法有效解決了模糊項目總工期、最早與最遲時間等參數計算的模糊最值問題；修正的模糊減運算標準算法最大限度地消除了模糊減運算結果的任意擴張，顯著降低了計算過程中數據原始信息的損失，并合理消除了不可行解的產生；關鍵路徑枚舉法在簡化計算工作的同時，可快速確定關鍵路徑和項目總工期；至關重要的是，對模糊持續時間狀態下關鍵路徑的變化情況進行剖析，無疑將進一步提高施工動態規劃分析的客觀性。實證分析表明，改進的FCPM計算和推理簡單、適應性和可操作性強。

然而，此改進的FCPM對于快速準確地枚舉大型復雜項目網絡的全部路徑仍存在一定困難，需協同BIM、人工智能等技術開發工程項目施工動態規劃智能分析系統，以進一步提升工程項目施工動態規劃分析的績效和水平。