二維隨機(jī)Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程的中偏差原理

陳光淦,王悅陽(yáng),楊敏

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院;可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610068)

物理學(xué)中,Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系統(tǒng)由描述二元物質(zhì)相分離行為的Cahn-Hilliard方程和描述單層不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes方程耦合而成[1].該耦合系統(tǒng)是材料工程學(xué)和流體力學(xué)中一類(lèi)重要的界面擴(kuò)散模型,描述了兩個(gè)不混溶和不可壓縮流體的等溫混合物相分離的行為以及分離界面的演化過(guò)程,在合金淬火時(shí)的旋節(jié)分解和粗化,液滴的形成和碰撞,晶體生長(zhǎng)中的熱毛細(xì)管流以及蒸汽的冷凝成核等現(xiàn)象中被廣泛應(yīng)用[2].

本文考慮光滑有界區(qū)域D?R2上帶乘性噪聲的二維隨機(jī)不可壓縮Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程

(1)

其中uε∈R2為流體的速度,π為壓力,φε為相參數(shù),με是二元混合物的化學(xué)勢(shì),W1和W2是Wiener過(guò)程,n是?D上的外法向量.

Cahn-Hilliard-Navier-Stokes(CH-NS)系統(tǒng)由Hohenberg和Halperin提出并用于描述二元流體混合物的運(yùn)動(dòng).GAL等[3]研究了二維CH-NS系統(tǒng)的漸近行為.QIU[4]討論了二維隨機(jī)CH-NS系統(tǒng)的不變測(cè)度的存在性.MEDJO[5]證明了二維隨機(jī)CH-NS系統(tǒng)解的存在唯一性.QIU等[6]基于MEDJO的研究,進(jìn)一步建立了二維隨機(jī)CH-NS系統(tǒng)的大偏差原理.

大偏差和中心極限定理是統(tǒng)計(jì)學(xué)中重要的漸近性質(zhì),利用偏差尺度描述了系統(tǒng)解的漸近行為,在偏微分方程領(lǐng)域中得到了深入的研究[7-8].除此之外,中偏差也是描述系統(tǒng)解的漸近行為的重要工具.中偏差是介于大偏差和中心極限定理之間的一種估計(jì)(中偏差定義見(jiàn)本文定義2),可以提供更精細(xì)的偏差估計(jì).進(jìn)一步,中偏差給出收斂速度的估計(jì)和構(gòu)造有效的置信區(qū)間,從而提高漸近行為的精度.由于乘性噪聲的擾動(dòng),使得通常的指數(shù)逼近方法對(duì)系統(tǒng)的中偏差原理的研究變得復(fù)雜.WANG等[9]通過(guò)構(gòu)建新的近似系統(tǒng)和運(yùn)用弱收斂方法,建立了帶乘性噪聲的二維隨機(jī)Navier-Stokes方程的中偏差原理.BELFADLI等[10]證明了隨機(jī)Burgers方程的中偏差原理.LI等[11]運(yùn)用弱收斂方法證明了時(shí)空白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程的中偏差原理.本文通過(guò)建立新的近似系統(tǒng)和運(yùn)用弱收斂方法,證明了方程(1)的中偏差原理.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 空間和算子設(shè)置

1.2 基本定義

其中SM是弱拓?fù)湎碌腜olish空間.

(2)

其中B1(A1φε,φε)=B1(με,φε).

根據(jù)文獻(xiàn)[6]得,當(dāng)ε→0時(shí),方程(2)的解(uε,φε)逼近下述方程的解(u0,φ0),

(3)

1.3 相關(guān)引理

引理2[6]存在正常數(shù)c使得非線(xiàn)性算子B0,B1,B2滿(mǎn)足

假設(shè)1對(duì)于方程(2),假設(shè)存在正常數(shù)K1和K2使得對(duì)任意的t∈[0,T],函數(shù)σ和g滿(mǎn)足

(i)σ∈C([0,T]×V1×V3;L2(H0;H1)),g∈C([0,T]×V3;L2(H0;H3));

本文除特別說(shuō)明外,C是與參數(shù)ε無(wú)關(guān)的正常數(shù),且常數(shù)C的值有所不同.記1Υ為屬于Υ的有界閉集,Υc為Υ的補(bǔ)集.

2 近似系統(tǒng)

(4)

給定ε0∈(0,1],對(duì)任意的{hε}ε∈[0,ε0]?AM,考慮隨機(jī)控制方程

(5)

引理3任給ε0>0,若函數(shù)σ和g滿(mǎn)足假設(shè)1,則對(duì)任意的hε∈AM,ε∈[0,ε0],有

證明根據(jù)文獻(xiàn)[13],利用It公式和Fubini定理易證上述結(jié)論.

任給h∈AM,考慮確定性控制方程

(6)

對(duì)任意的t∈[0,T],N>0,令

證明根據(jù)文獻(xiàn)[13],利用Markov不等式易證上述結(jié)論.

I1+I2+·s+I10.

由引理2和假設(shè)1得:

用Burkholder-Davis-Gundy不等式得:

因此,可得:

證畢.

引理6給定N>0,對(duì)任意的h,hε∈AM,若hε在空間L2([0,T];H0)中弱收斂到h,則

h)),Y1)ds)=J1+J2+J3.

由假設(shè)1和引理3得

(7)

(8)

(9)

其中常數(shù)C與n無(wú)關(guān).

因此,給定n,當(dāng)ε→0時(shí),有J24→0,a.s..進(jìn)而根據(jù)控制收斂定理,當(dāng)ε→0時(shí),有EJ24→0,a.s..

類(lèi)似J2的證明方法得J3≤3δ.

3 中偏差原理

證明令(Zhn,Yhn)為KM中的序列.由于SM是Hilbert空間L2([0,T];H0)中的有界閉集,則SM弱緊.因此,對(duì)任意的h∈SM,存在hn的子序列hn′弱收斂到h.

由Gronwall不等式得: