地基附加應力改進計算方法及其規律分析

賀 敏，仰宗寶，徐卓君，曹文貴，張 超，徐 贊

（1.湖南工業大學 土木工程學院，湖南 株洲 412007；2.湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082；3.湖南科技大學 巖土工程穩定控制與健康監測湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201；4.湖南城市學院 土木工程學院，湖南 益陽 413000）

0 引言

地基在外荷載作用下的應力分布是基礎工程設計的重要依據[1]。目前，工程中普遍運用彈性力學理論[2-4]計算地基土體的附加應力，該方法假定地基土體是均勻和各向同性的彈性介質體。然而實際上地基土體并非連續彈性介質體，而是由若干大小相差懸殊的細小顆粒堆積而成的碎散體，其工程力學性質更加接近于散體介質[5-6]。可見，建立考慮土體散體特征的地基附加應力解析方法是巖土工程亟待解決的關鍵問題，這正是本文研究的出發點。

目前，基于彈性力學理論的附加應力解析解（Boussinesq 解[2]、Mindlin 解[3]、Flamant 解[4]等）在工程中應用廣泛，而針對不同的工程環境和外荷載條件，國內外學者們在經典附加應力解析解的基礎上進行了適當的改進，并建立了梯形荷載[7]、軸對稱山體荷載[8]作用下，路基[9-10]、橋頭[11]等工程背景下，地基土體內部的任意一點[12]等，可應用于不同工況的地基附加應力解析解，但經典的解析方法及其改進解析方法的研究，均是以地基土體為連續均勻彈性體為假設前提的。

眾多學者認為，土體是由大量土石顆粒組成的散粒集合體，其應力傳遞機理、響應機制以及分布規律等均與連續彈性介質不同，于是，一些考慮土體散體介質特征的附加應力解析方法應運而生。學者們采用試驗探究[13-17]、離散元數值模擬[18-20]等多種方法對地基附加應力傳遞及其分布規律進行了探討，并且進一步研究了其理論解析方法[21-24]，這為工程應用提供了有力的依據。

韋珊珊[13]采用聲波測試技術、劉源等[14]采用光彈試驗、J.M.Erikson[15]、蔣紅英等[16]采用壓痕試驗、Wang C.D.等[17]采用模型試驗，分別探究了散體介質在豎向靜荷載作用下的附加應力傳遞機理及分布規律，均認為散體介質附加應力傳遞的擴散范圍比連續介質（外荷載作用下附加應力擴散范圍為半無限空間）的要窄小；C.Goldenberg 等[18-20]采用離散元數值模擬，探究了散體介質在外荷載作用下的應力響應機制，均認為散體介質在外荷載作用下的應力是通過顆粒間的接觸和相互作用而向下擴散傳遞的，散體介質內部形成了明顯強弱有別的力鏈，且其應力擴散范圍為以荷載作用域為頂面的錐體；此外，代志宏等[21]考慮顆粒粒徑、膠結力、靜水壓力等因素對土顆粒單獨進行受力分析，建立了附加應力分析的細觀模型；蔣紅英等[22]引入概率理論，建立了二維有序散體介質的附加應力傳遞模型；廖智強等[23]考慮土顆粒無序排列的復雜性，建立了地基附加應力的概率論解析解；曹文貴等[24]將附加應力傳遞范圍視為半無限錐體，推導了豎向圓形均布荷載作用下的地基土附加應力解析解。

上述關于散體顆粒介質的附加應力傳遞及其分布規律的研究，為地基附加應力解析方法的進一步發展指明了方向。因此，賀敏[20]在已有研究的基礎上，考慮了土體顆粒的力學性質、外荷載大小等因素，對地基土附加應力傳遞機理及其分布規律展開了初步研究，提出了考慮散體特征的地基土附加應力解析方法。然而，該方法建立的豎向矩形均布荷載作用下的地基附加應力二維積分隱式解，不便被應用于工程實踐中，因此，本文擬在此研究的基礎上，考慮地基土體的散體介質特征，建立基于Boussinesq解的豎向矩形均布荷載作用下，地基附加應力的改進計算方法，并且對此進行參數分析，以進一步探究地基土附加應力的分布規律。

1 豎向均布荷載作用下的附加應力二維積分表達式

豎向均布荷載作用下，考慮散體介質特征的地基附加應力二維積分隱式解析解參見文獻[20]。

1.1 附加應力響應范圍的邊界分析模型

通過PFC（particle flow code）數值模擬分析，綜合考慮土顆粒大小級配、土顆粒相互作用及外加荷載等因素，分析各因素對地基附加應力響應的影響規律，建立如圖1 所示豎向均布荷載作用下附加應力響應范圍的邊界分析模型。

豎向均布荷載作用下地基附加應力響應范圍邊界分析模型，采用邊界曲線上某點到荷載作用域邊緣的水平距離Δr來描述，其計算式如下：

式中：z為雙曲線上某點到荷載作用域邊緣的豎向距離（m）；φ為土體內摩擦角（rad）；q為均布荷載（MPa）；Cu為土體顆粒不均勻系數；βi（i=0,1,…,9）為參數，其取值如表1 所示[20]。

表1 邊界分析模型參數取值Table 1 Parameter values of boundary analysis model

1.2 集中荷載作用下的附加應力

將附加應力響應范圍內的土體視為整體，引入Love 位移函數，用彈性力學方法推導，得豎向集中荷載下地基附加應力分量解析解如式（2）所示。

式中：σx、σy分別為附加應力所求點M的x、y方向的水平正應力；σz為附加應力所求點M的豎向正應力；F為集中荷載；(x，y，z) 為所求點M的坐標；μ為土體泊松比；

1.3 豎向均布荷載作用下的附加應力

基于應力疊加原理，將豎向均布荷載作用域劃分為若干微元，視微元上的荷載為集中荷載，將若干集中荷載在點M處所產生的應力疊加，即為均布荷載在點M處所產生的附加應力。以最常見的矩形均布荷載為例，以矩形荷載作用域的任一角點為坐標原點，建立直角坐標系，對集中荷載作用下的地基附加應力在荷載作用域內進行面積積分，如圖2 所示，即可得到豎向矩形均布荷載作用下附加應力分量二維積分表達式，如式（7）所示。

式中：l為荷載作用域長；b為荷載作用域寬；qdξdη為微元集中力dF，其中，0<ξ

2 豎向矩形均布荷載作用角點下的附加應力解析解

為便于積分，取豎向矩形均布荷載作用域角點下M點（位于直角坐標系z軸上），則x=0，y=0，代入式（7）和（8），可得下面以水平附加應力和豎向附加應力為例，推導二維積分表達式的附加應力顯式解析解。

2.1 水平附加應力分量的推導

對η積分并整理后，得式如下：

令ξ=g(z)tant，dξ=g(z)sec2tdt，代入式（14）并整理后，可得：

對β和ξ積分并整理后，可得：

令m=l/b，n=g(z)/b，代入式（17）并整理后，可得：

式（18）即為考慮散體特征的豎向矩形均布荷載作用角點下水平附加應力分量的顯式表達式。

2.2 豎向附加應力分量的推導

式（12）中，豎向附加應力σz經過整合后，其表達式如下：

對ξ積分并整理后，可得：

令η=g(z)tant，dη=g(z)sec2tdt，代入式（20）并整理后，可得：

令β=sint，dβ=costdt，cos2t=1-β2，代入式（21）并整理后，可得：

對β積分并整理后，可得：

令m=l/b、n=g(z)/b，代入式（23）并整理后，可得：

式（24）即為考慮散體特征的豎向矩形均布荷載作用時，角點下豎向附加應力分量的顯式表達式。

2.3 附加應力的解析解表達式

由上述公式推導可知，豎向矩形均布荷載作用時，角點下豎向附加應力的解析解如下：

式中：m=l/b；n=g(z)/b；g(z)見式（1）與式（3）；Δt見式（10）；Δk見式（11）。

式（25）即為考慮散體特征的豎向矩形均布荷載作用時角點下附加應力的解析解。

3 顯式解析解的合理性驗證

本研究是在考慮散體特征的地基附加應力隱式解析解[20]的基礎上，推導得到的顯式解析解（見上文中式（25））。而且文獻[20]采用室內模型試驗和PFC 顆粒流數值模擬試驗，已經對隱式解的合理性和適用性進行了驗證。研究結果表明：文獻[20]的方法與Boussinesq 解相比更接近試驗監測值，這是由于Boussinesq 解將地基土體視為半無限的線彈性連續介質，未考慮地基土物理力學參數以及荷載大小對附加應力響應范圍的影響，而文獻[20]的方法將地基土體視為散體介質，考慮了土體物理力學參數對附加應力響應范圍及其解析解的影響，理論上更加符合實際情況。

下面將對比分析本文推導得到的顯式解析解（見式（25））與文獻[20]中隱式解（見式（12））以及Boussinesq 解，在豎向矩形均布荷載中心線上的豎向附加應力σz的計算結果，以驗證本文顯式解析解的合理性和可行性。

由于式（25）為豎向矩形均布荷載角點下附加應力的解析解，因此，需采用“角點法”確定矩形均布荷載中心線上的豎向附加應力σz。本研究中將矩形均布荷載劃分為4 個小矩形，計算一個小矩形在角點下產生的附加應力，再乘以4 即可得到矩形的豎向附加應力值。文獻[20]中的模型試驗參數設置如下：荷載作用域的尺寸l×b為0.3 m×0.3 m，泊松比μ為0.2，內摩擦角φ為35°，顆粒不均勻系數Cu為10，所求點埋深z分別為0,0.25,0.50,0.75,1.00 m，均布荷載大小分別為50,100 kPa。據此參數，按式（25）、文獻[20]中隱式解和Boussinesq 解分別計算矩形均布荷載中心線上的豎向附加應力σz，所得結果如圖3所示。

由圖3 可以得知，以本文推導得到的豎向矩形均布荷載作用下地基附加應力改進解析方法計算得到的附加應力隨深度的分布形態，與Boussinesq 解計算得到的分布形態基本相同，即在荷載中心線上的附加應力均隨著深度的增加而逐漸遞減。由此可知，本文推導的顯式解析解合理且可行，是一種考慮散體介質特征的豎向矩形均布荷載作用下地基附加應力改進計算方法。

4 各因素對附加應力的影響規律分析

由式（25）可知，地基附加應力與基礎尺寸、點的位置（x軸、z軸坐標）、荷載q大小、土體內摩擦角φ、不均勻系數Cu等因素有關，為了深入研究地基附加應力的響應機制，下面將以豎向附加應力σz為例，探究各因素對附加應力的影響規律，包括參數分析和極差分析。

4.1 參數分析

本研究針對外加荷載大小、土體內摩擦角、不均勻系數等對荷載中心線上的豎向附加應力σz進行參數分析，探究各因素對豎向附加應力的影響規律。

各影響因素依據工程實際情況選取3 個不同的水平值，如表2 所示。

表2 各因素水平Table 2 Levels of various factors

在分析某個參數的影響規律時，其他參數均選取第Ⅱ水平值作為參數分析常量。此外，基礎長邊l為2 m，短邊b為1 m，泊松比μ取0.2，所求點埋深z分別取0,0.5,1.0,2.0 m 共 4 個水平值。

下面依據表2 設置的參數，分析荷載中心線上各點豎向附加應力σz隨深度的分布規律，所得參數分析結果如圖4 所示。

由圖4a 和4b 所示規律曲線可以得知，同一深度處的豎向附加應力隨著內摩擦角和不均勻系數的增大而逐漸減小。這是由于附加應力在地基土中的擴散范圍是隨內摩擦角和不均勻系數的增加而增大的，根據靜力平衡原理，附加應力擴散范圍的增大，會導致附加應力值減小，這也證明了本文所得出附加應力解析解的合理性。

由圖4c 可以得知，同一深度處的豎向附加應力隨外加荷載的增大而逐漸增大，而其增量隨外加荷載的增大而逐漸減小，這是由于附加應力在地基土中的擴散范圍是隨外加荷載的增加而逐漸增大的，根據靜力平衡原理，附加應力擴散范圍的增大會在一定程度上緩解附加應力的增大。

由以上分析可知，豎向均布荷載作用下地基豎向附加應力隨內摩擦角和不均勻系數的增大而逐漸減小，隨外加荷載的增大而逐漸增大，其增量隨外加荷載的增大而逐漸減小。

4.2 極差分析

為探究各因素對附加應力響應的影響程度，確定影響附加應力的各因素主次順序，下面采用正交試驗設計方法，對各因素水平下的豎向附加應力σz展開極差分析。

本正交試驗包括荷載大小、土體內摩擦角和不均勻系數3 個分析指標，每個指標有3 個水平，因此，此正交試驗設計方案如表3 所示。

表3 正交試驗方案及其附加應力解Table 3 Orthogonal test scheme with its additional stress solution

依據設定的正交試驗方案，計算得到各方案豎向矩形均布荷載作用下，中心線上深度z=1 m 處點的豎向附加應力值（見表3）。

下面依據表3 中各方案的豎向附加應力結果，對各因素進行極差分析。

依據式（26）確定各因素水平下豎向附加應力σz（見表3）的平均值：

各因素水平下，豎向附加應力σz平均值的極差L由下式確定：

由式（27）獲得的各因素水平下豎向附加應力σz平均值的極差，如表4 所示。

表4 不同因素水平下σz 平均值的極差Table 4 Mean value range of σz under different factor levels MPa

由表4 可以得出如下結論：影響豎向矩形均布荷載作用下地基豎向附加應力的因素，按其主次順序依次為q、Cu、φ。

5 結論

地基土體為大量土顆粒無序排列的散體介質，因此，豎向荷載作用下地基土中附加應力向下、向外擴散傳遞，且其應力響應范圍為以荷載作用域為頂面的錐體，該錐體邊界形狀與外荷載、土體內摩擦角和顆粒不均勻系數大小密切相關。據此，本文建立了考慮散體介質特征的豎向矩形均布荷載作用下，地基附加應力的改進計算方法，并且對附加應力解析解進行了參數分析和極差分析：

1）本研究在均布荷載作用下地基附加應力通用解析方法的基礎上，采用二維積分，推導出豎向矩形均布荷載作用下地基附加應力的顯式解析解，建立了考慮散體特征的地基附加應力的改進計算方法，該方法考慮了荷載大小和土體物理力學性質等眾多因素的影響；

2）將本研究得到的解析解和文獻[20]的解析解以及Boussinesq 解計算得到的附加應力進行了對比分析，驗證了本研究給出的解析解的合理性和可行性，可為基礎工程設計提供有力依據；

3）通過對本研究中解析解的參數分析和極差分析結果可知，影響附加應力的因素按其影響程度由大至小依次為荷載大小、顆粒不均勻系數、內摩擦角，且附加應力隨顆粒不均勻系數和內摩擦角的增大而減小，隨外加荷載的增大而增大，其增量隨荷載增大而逐漸減小；

4）本研究中考慮的散體介質特征，更適用于粗粒土地基，而對于細粒土地基，其適用性有待進一步證明；

5）對于多層地基，各層土體的物理力學性質及力學參數不同，暫時無法直接使用本解析解，后續將對此展開相應研究。