聚焦練習設計，讓深度學習真正發生
——“質數和合數”一課的思考與實踐

陜西旬陽縣城關小學（725700）羅龍飛

隨著課程改革的不斷深入推進，“以學定教”的教育理念越來越受到廣大教師的關注。大多數教師都特別重視課堂教學的創新，無論是對課程目標的設定、學生學情的把握，還是學法、教法的選擇、教學情境的創設等，都不知不覺地向“以人為本”的方向轉型。然而，作為數學學習不可缺少的重要活動之一的練習，卻往往被忽視。

在教學中，有部分教師習慣性、傾向性地使用教材中的配套習題作為鞏固知識的重要載體，學生在單一、機械的練習中，產生被動應付的心理，逐漸對數學學習失去興趣，如此，學習很難真正發生。“以學定教”的理念倡導“以學生的學習為中心”來組織教學，教師是否可以將練習設計納入整體的課堂教學體系中，使之成為撬動學生深度學習的杠桿？向課堂四十分鐘要質量，讓學生的學習從課外鞏固向課內掌握轉型，真正為學生減負。本著這樣的思考，筆者對“質數和合數”一課的教學進行了實踐探索。

一、教材研讀

“質數”“合數”是小學階段重要的基礎概念，在小學數學中有著十分重要的地位。從數論的角度看，整數的基本元素是質數，任何一個合數都可以寫成質數的乘積。從課程標準的角度看，“了解”是課程標準對質數和合數的總體要求。從學科本體來看，質數和合數是“數與代數”領域中最基本也是最重要的內容之一，上承因數和倍數，奇數和偶數，下啟最大公因數和最小公倍數，通分和約分。從教材編排來看，人教版教材讓學生找1至20各數的因數，通過觀察比較因數個數的不同進行分類，給質數提供了定義，并強調“1”的特殊性，同時提供百數表讓學生找100以內的質數，給予學生雙向的思維空間。北師大版教材注重數形結合，通過等面積的長方形的長、寬變化，直觀展示自然數2至12的因數，依托小范圍的研究對象完成質數與合數的分類探究，更加注重問題的順向思維。蘇教版教材注重探究的層次性，雖然只簡單呈現2，3，5，6，8，9這6個數作為研究對象，但待學生寫出所有因數之后直接填空分類，讓學生先思考“只有兩個因數的數，它們的因數有什么特點”，再嘗試判定10以內余下的4，7，10的所屬類別，定義前置，驗證為主，同時設置找質數的練習，發展學生的逆向思維。綜合對比，人教版教材開放性更大，更側重知識的遷移運用和內在整合。北師大版教材導向性更強，注重數形結合、直觀呈現，促進學生理解和內化。蘇教版教材層次性更強，通過簡潔的數據揭示本質，分散學習難點，讓學生主動驗證獲取結果。

二、思考實踐

托爾斯泰曾說：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發學生的學習興趣。”“質數和合數”是一節數學概念課，內容比較抽象。課程標準的總體要求是“了解”，即從具體實例中知道或能舉例說明質數和合數的有關特征，并根據它們的特征，解決具體情境中的質數和合數問題。不同版本教材的編排雖然都注重從具體實例出發，但更像是固定的“生產流水線”，有的實例內容呆滯、死板，容易形成片面的認知，很難喚起學生強烈的求知欲。怎樣才能給教材中“冷冰冰”的數賦予現實意義，有效溝通數學與現實世界的聯系，讓學生樂于探究，主動學習呢？基于此，筆者在教學中進行了大膽嘗試，將練習作為學習的生長點和連接點。圍繞教學目標，筆者在課堂不同階段設計不同的練習活動，讓學生“卷入”學習的過程。

［練習1］你能給這些學號分分類嗎？請你在作業單上分一分，再和同學說說你是按什么標準進行分類的，分成了幾類？

［布置時機］建構質數和合數的概念時。

學生的學習應是自然發生的過程。因此，筆者將質數的學習與學生的學號巧妙結合，通過課前與不同學生的隨機交流，再將他們的學號生成為課堂研究資源。讓學生在作業單上自由分類，并說說是按什么標準來分的，分成了哪幾類。學生在思考分類、明晰標準的過程中，自然就感悟到質數和合數各自的特征，進而建構概念。顯然，這樣的練習設計既能給學生提供更大的探索空間，又能把學生的生活和數學緊密聯系起來。學生在完成練習的過程中，可以感受到學習數學的意義所在，還能體會到學號中所包含的數學知識。從實際教學來看，學生在完成分類的活動中，既可以根據是否是2的倍數進行分類，又可以根據因數個數的多少進行分類。無論是哪一種分法，都是符合學生的認知規律的，也為進一步抽象出“質數和合數”一類數的不同屬性奠定了基礎，同時更有利于將質數和合數放置于“數”的大體系中展開研究。學生也在經歷觀察、思考、分類、交流、抽象、概括等概念形成的學習過程中，獲得成功、愉悅的情感體驗，有效建構了質數與合數的概念。

［練習2］（1）判斷37，49，53，87這4個數分別是質數還是合數，并說說理由。

（2）判斷自己的學號是質數還是合數，并將其放到對應的集合圈里。

（3）在百數表內找出100以內的所有質數。

［布置時機］引出質數和合數的概念后。

數學教學最終就是要讓學生會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。其中，數學的眼光指的是數學抽象、直觀想象，代表數學的一般性；數學的思維指的是邏輯推理、數學運算，代表數學的嚴謹性；數學的語言指的是數學模型、數據分析，代表數學應用的廣泛性。質數、合數是比較抽象的兩個數學概念。在前面環節的學習中，學生已初步建構了質數和合數的概念，也從具體實例中知道了質數和合數的有關特征，接下來就是要根據這些特征，結合具體情境進行辨析、內化。因此，在這里設計讓學生判斷說理的練習，有利于學生的思維從感性上升到理性，在此基礎上，完成對自己的學號是質數還是合數的判斷。學生在完成這一活動的過程中，會發現“1”無處安放，自然而然地就會體會到“1既不是質數也不是合數”的特殊性。而在放置“1”的過程中，又將質數和合數置于自然數這個更大的集合圈內，最后完成100以內質數表的尋找。學生采用不同方法篩查的過程，既是對概念的進一步內化，又是對邏輯推理能力的提升。同時，學生對“篩法”這一數論中的初等方法也有所了解，助力其建構完整的概念體系。

［練習3］（1）下面的說法對嗎？說一說你的理由。

①所有的奇數都是質數，所有的偶數都是合數。（）

②自然數不是質數就是合數。（）

③一個合數的因數一定比質數的因數多。（）

（2）把下列偶數寫成兩個質數相加的形式。

10=（ ）+（ ） 16=（ ）+（ ）

24=（）+（）

（3）猜一猜。

老師的電話號碼是由11個數字組成的：

第一個數字和第九個數字相同，且既不是質數也不是合數；

第二個數字和第十個數字是最小的既是奇數又是質數的數；

第三個數字是兩個連續質數的積；

第四個數字和第六個數字既是質數又是偶數；

第五個數字既是奇數又是合數；

第七個數字和第十一個數字既是質數又是5的倍數；

第八個數字是10以內最大的質數。

［布置時機］概念的鞏固應用環節。

課程標準指出，學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。教學中，教師設計富有層次、充滿趣味的練習，能讓學生以積極的心態、飽滿的熱情投入學習中，同化并積極建構新知識。因此，在這個環節，筆者既設計有基礎性的鞏固練習，又設計有富有挑戰性的能力提升練習，同時注重從學生的心理需求出發，賦予原本枯燥乏味的數學練習以生動、有趣的故事情境或現實意義。其中，判斷說理的練習就是一項基礎性的鞏固練習。學生判斷的過程，實際就是概念辨析、同化的過程，也是一個推理的過程。學生在完成這項練習的過程中，能感受到數學的嚴謹性，使邏輯推理能力得到有效提升。把一個偶數寫成兩個質數相加的練習，源于被譽為“數學皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，也是至今未解的數學難題。學生完成練習的同時，成就感也會油然而生，也許在不經意間，繼續探究的種子也會在學生的心中悄然生根發芽。而猜老師電話號碼的練習，則很好地把原本枯燥乏味的數學練習放置到新穎、有趣的現實情境中，從而使靜態的數學知識變為動態的數學活動。顯然，這樣的數學學習才是充滿活力的，富有生命力的。

［練習4］請你根據自己的喜好，從下列問題中任選一項并完成。

（1）你能將一個合數分解成幾個質數相乘的形式嗎？選擇幾個合數試試看，并說說你完成的過程。

（2）請你運用質數和合數的相關知識，選擇家里任意一人的電話號碼，改編成有趣的數學問題，讓同學猜一猜。

（3）請發揮你的想象，給質數和合數畫一幅“肖像”或者編一則關于二者的小故事。

［布置時機］課后。

課后練習既有鞏固當堂知識的短期作用，也具有發展學生數學能力的長遠價值，是課堂教學的鞏固和延伸，甚至是課堂教學的極盡升華。“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上有不同的發展”的課程理念，也召喚著教師要著眼于以學生的發展為方向，并根據學生的個性、認知水平、學習能力的差異，設計不同層次的練習內容，使練習能夠啟發學生思維的發展，使不同層次的學生的學習都能在原有基礎上獲得最大限度的發展。上述3個問題中，將合數分解成質數相乘的形式既是對本節課知識的鞏固，又是本節課知識的延伸和再生長；依據電話號碼創編數學問題的練習，則需要學生的思維上升到更高的維度，通過逆向思維給每一個數定性、重組；給質數和合數畫“肖像”或編故事的練習，既充滿了趣味性，又具備一定挑戰性，需要學生綜合美術、語文等學科知識，用奇妙的想象力對認知的概念進行描繪，這實際是提升學生綜合能力的拓展訓練。3個問題形式不同、側重不同，具有自主選擇性，既給了學生自主發展的空間，又能讓不同層次的學生“跳一跳，摘得到”，實現個性化發展。

三、反思收獲

得法于課內，得益于課外。通過對“質數和合數”一課的實踐探索，筆者認為，聚焦課內、外練習設計，強化課堂主陣地作用，可促進學生深度學習，實現減負增效的作用，在以人為本的新的教育觀下具有重要的現實意義。作為教師，我們要不斷加強對課內、外練習設計有效性的研究，讓學生在做練習的過程中體驗成功的喜悅，享受成長的樂趣，點燃生命的火花。

1.練習的內涵要豐富。既要具備鞏固基礎知識，掌握基本技能，形成數學思想方法，積累基本活動經驗等方面的功能效應，又要具有學習興趣培養、核心素養提升、健康人格形成以及思維可持續發展等方面的內涵價值。

2.練習的形式要多樣。可以是書面型練習，也可以是實踐型練習；可以是游戲型練習，也可以是實驗型練習；可以是觀察型練習，也可以是調查型練習；可以是問題型練習，也可以是專題型練習；可以是探究型練習，也可以是綜合型練習等。只有通過豐富的練習形式，才能真正讓學生從重復、機械、單一、封閉的低效練習中解放出來。

3.練習的時機要得當。要根據不同的知識，不同的學習時段，設計不同的練習，讓學生練到點子上，練在易混易錯處，練在思維困頓時，如此方能真正讓練習成為撬動學生深度學習的杠桿。

4.練習的內容要開放。既要設計靈活性、探究性強的練習，讓學生在“多種解法”或“多種答案”中靈活運用知識，增強創新意識和能力，又要設計跨學科綜合性練習，給學生創設更為廣闊的思維空間，發展數學豐富的內涵，讓學生在綜合運用各種學科知識的過程中領略數學的魅力。