軟土地基基坑開挖對臨近樁變形影響的時效分析

江杰，張探，歐孝奪?，柴文成，龍逸航

［1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西南寧，530004；2.工程防災與結構安全教育部重點實驗室（廣西大學），廣西南寧，530004；3.廣西防災減災與工程安全重點實驗室（廣西大學），廣西南寧，530004］

隨著經濟的快速發展和城市人口的迅速增加，建筑物密度日益增大，越來越多的軟土基坑在既有建筑結構附近進行開挖，基坑開挖會引起鄰近樁基的附加應力和附加變形，進而對建筑結構產生不良影響，甚至造成工程事故的發生.針對基坑開挖對鄰近樁水平位移的影響，國內外學者已進行了諸多研究［1-7］.

但上述研究主要關注的是瞬時開挖工況下鄰近樁基水平位移變形，開挖完成后樁的長期連續變形可能發展到超過允許值，對鄰近樁基造成破壞，特別是在軟黏土地區［8-10］.因此，有必要發展軟土地基基坑開挖卸荷后臨近樁基長期連續變形計算和預測的理論方法.軟土地基的長期連續變形與土體的蠕變性密切相關.目前有關考慮軟土蠕變對樁基影響的研究［11-14］中多將蠕變模型取作整數階導數黏彈性模型，由于整數階微分算子的限制，不可避免地對應力或應變隨時間變化的路徑造成了限制.Zhu 等［15］發現，整數階導數黏彈性模型在預測土體蠕變變形一段時間后與實驗數據出現偏差，幾乎無法擬合實驗數據，為了準確地描述實驗數據，往往要剔除高階微分項或縮小本構關系的適用范圍；Gemant［16］提出利用分數階導數來模擬材料的蠕變性能，隨后一些學者［17-19］對分數階黏彈性模型在實際工程中的應用進行研究，發現分數階黏彈性模型相比于經典黏彈性模型，能夠更精確地刻畫土體蠕變變形的力學行為，且僅需少數幾個實驗參數即能在較寬的范圍內預測土體變形隨時間的變化趨勢.

同時，有關既有樁基在鄰近基坑開挖下的響應理論解析中大多將樁基看作放置在Winkler 地基上的Euler-Bernoulli 梁.在實際工況下土體表面某點的變形值與該點所受的壓力值不成正比，在外荷載作用下，土體彈簧相互之間存在剪切作用，Winkler地基模型不能考慮土體之間的剪切作用［20］，Paster?nak 地基模型通過在土體彈簧上加上一層不能壓縮的剪切層來考慮土體相互之間的剪切效應.Euler-Bernoulli 梁基于平截面假定，沒有考慮樁基剪切變形的影響，對于長徑比較小的淺層樁基進行理論分析時會造成一定的誤差［21］.相比于Euler-Bernoulli梁模型，Timoshenko 梁能夠考慮樁基的彎曲和剪切效應.

針對上述不足，本文采用兩階段分析方法，第一階段采用三維分數階Merchant 黏彈性模型來描述土體的流變特性，解得彈性模量和泊松比在Laplace 域內的表達式，將表達式代入Mindlin 解中并通過La?place 變換方法解得鄰近樁基附加應力的時域解；第二階段將樁基看作放置在Pasternak雙參數地基上的Timoshenko 梁，將所得附加應力作用在樁基上，建立樁身控制方程，采用有限差分法對附加荷載作用下樁基響應進行分析，得到基坑開挖引起臨近樁水平位移的時域解.最后對Merchant 分數階黏彈性模型參數進行分析.

1 分數階黏彈性模型建立

分數階導數微積分和整數階微積分相比，微分和積分的階為分數.在Lebesgue 積分區間（0，x）中，Riemann-Liourville定義下的分數階導數為：

式中：f（t）為求導函數；ξ為分數階且滿足n-1≤ξ≤n；Γ(·)為Gamma函數.

為對樁身水平位移的時效性進行分析，需要對函數進行Laplace變換，整數階函數表達式為：

式中：s為復參變量；t為時間.假設f（x）在x=0的臨邊是可積的，則分數階導數函數f（x）的Laplace 變換可寫為：

本文采用分數階Merchant 黏彈性模型表示土的變形特性.分數階Merchant 黏彈性模型由一個Hooke 彈簧元件與一個Abel 阻尼元件并聯（即經典Kelvin 體），然后整體與另一個Hooke 彈簧元件（即Hooke 體）串聯組成，其本構模型如圖1 所示，圖1 中α為分數階，η為黏滯系數，G1為Hooke 體剪切模量，G2為Kelvin體剪切模量.

圖1 一維分數階Merchant黏彈性模型Fig.1 One-dimensional fractional Merchant viscoelastic model

文獻［22］將一維三參量黏彈性模型推廣至三維，并利用對應性原理得到了Laplace 變換域內的彈性模型和泊松比表達式，同理可得到三維分數階Merchant 黏彈性模型的彈性模量和泊松比μ的Laplace表達式：

式中：λ=G1-αη，G為材料的剪切模量；s為復參變量；K為體積模量.

2 開挖引起的鄰近樁基附加應力

2.1 軟土地基中Mindlin時域解

在半無限彈性體任一點(x1，y1，z1)處作用沿z軸方向的豎向集中應力P0時，由Mindlin 應力解［23］可知，引起半無限彈性體任一點(x，y，z)處沿x軸方向水平附加應力為：

式中：v1=(1-2μ)/(1-μ)；v2=1/(1-μ)；v3=(1-2μ)μ/(1-μ)；v4=(3-4μ)/(1-μ)；v5=μ/(1-μ)；v6=1-2μ，其中μ為泊松比.

式中：A1～A6為公式（5）中v1～v6中的泊松比μ被公式（4）中替換所得.

對分數階導數進行Laplace 逆變換時，分數階導數有以下性質：

式中：a、b為任意代數式；Eα為含一個參數的Mittag-Leffler方程，其定義為：

半無限黏彈性地基承受集中荷載的作用，有P(t)=P0H(t)，其中H(t)為Heaviside，對其進行La?place變換可得：

將公式（10）代入公式（7）中并利用公式（8）定義的分數階Laplace 逆變換公式進行變換可得基坑卸荷引起臨近樁x方向的附加應力時域解為：

同理可得x方向水平卸荷引起臨近樁x方向的附加荷載時域解及y方向水平卸荷引起臨近樁x方向的附加荷載時域解，限于篇幅，不再贅述.

2.2 開挖引起的鄰近樁基總附加應力

樁基受力模型如圖2 所示，基坑與鄰近樁基的水平距離為L0，基坑開挖尺寸為B×L×H，樁基長度為L1，在基坑中心點建立坐標系，對基坑四個側壁及基坑底面進行編號，分別為①、②、③、④、⑤.魏綱等［24］綜合比較了張治國等［25］和姜兆華等［26］的工作，認為Mindlin 解只適用于彈性半空間體，遠離樁基一側的另外一個基坑側壁由于土體已開挖，無法傳力，提出了開挖卸荷條件下鄰近地基中一點考慮坑底及三個坑壁卸荷作用疊加的附加應力計算方法.本文選取鄰近樁基的三個側面及基坑底面①、③、④、⑤引起的鄰近樁附加應力進行計算.

圖2 基坑-樁基相對位置示意圖Fig.2 Diagram of relative position between pile and excavation

對鄰近樁基附加應力的計算，做以下假定：1）地基土為均質土且各向同性；2）在計算基坑開挖卸荷引起鄰近土體的附加應力時忽略樁基存在時的影響；3）不考慮基坑降水作用和基坑開挖時的空間效應.

取編號⑤的基坑底面一微小單元，在此單元上所受均布力為P0=γhβ，其中γ為開挖土層深度h范圍內的重度加權值，β為折減系數，具體取值可以參考姜兆華等［26］的研究.

通過對受力面積進行積分計算即可得開挖范圍內，基坑底部⑤卸荷對鄰近樁基的水平附加應力值為：

取編號為①的基坑側壁上一微小單元，在此單元上所受均布力為P1=γhβK0，K0為側壓力系數，由K0=μ/(1-μ)求得.通過對開挖卸荷面積進行積分計算即可得到開挖范圍內，基坑側壁①卸荷引起鄰近樁基的水平附加應力值為：

同理可得基坑側壁③和④引起鄰近樁基的水平附加應力為：

將基坑坑底卸荷效應與坑壁卸荷效應引起的水平附加應力進行疊加，即可得到基坑開挖卸荷引起的鄰近樁基軸線上的水平附加應力值：

3 基坑開挖引起鄰近樁水平變形時域解

將臨近樁看作放在Pasternak 地基上的Timosh?enko梁，計算模型如圖3所示.

圖3 計算模型Fig.3 Calculation model

根據Timoshenko 梁理論，彎矩和剪力有如下關系：

式中：EI為樁基的抗彎剛度；κGA表示樁基的剪切模量，其中A為樁截面面積，G為樁基的剪切模量，κ為剪切系數，當樁基截面為圓形時取0.9；w為樁撓度；θ為樁截面轉角；M、Q分別為樁基所受的彎矩與剪力.

取樁的一微分單元進行受力分析，其受力如圖4所示.

圖4 樁微段受力示意圖Fig.4 Forces analysis of pile element

根據圖4建立平衡微分方程可得：

式中：q(z，t)為基坑開挖卸荷時對樁的附加荷載，由式（16）求得；D為樁基直徑；p(z，t)為地基反力，由Pasternak地基理論可得：

式中：k和Gp分別為地基反力模量和剪切層剛度.

式中：E和μ分別為土體的卸荷模量和泊松比，文獻［22］對其取值進行確定與修正；d'為樁土間剪切層厚度；D為樁基直徑.

將公式（17）（18）（21）代入公式（19）（20），可得基坑開挖卸荷條件下鄰近樁基水平變形的位移控制微分方程，方程是一個含時間變量的非齊次四階常微分方程，直接求解較為復雜，為了簡化求解過程，對其進行Laplace變換，可得：

式中：wi(z，s)及qi(z，s)分別為wi(z，t)和qi(z，t)的Laplace變換.

根據標準差分原理，將公式（23）寫作標準差分形式為：

假設樁基為摩擦樁，其兩段自由，彎矩和剪力均為0，即：

將公式（24）寫成矩陣形式：

式中：K1為樁基位移剛度矩陣；K2為樁基剪切剛度矩陣；K3為樁基抗彎剛度矩陣；［w（z，s）］為樁基水平位移矩陣；Q1、Q2、Q3為附加荷載列向量，結合邊界條件（26）即可得到各矩陣的表達式.

對公式（26）進行Laplace 逆變換，即可得到基坑開挖卸荷對臨近樁水平位移影響的時效分析.在已知基坑開挖卸荷對鄰近樁基附加荷載的情況下，結合公式（27）即可得到基坑開挖卸荷條件下鄰近樁基水平位移的時域解.值得注意的是，令樁基的剪切剛度κGA足夠大時，樁基的剪切變形趨近于0，Timosh?enko 梁退化為Euler-Bernoulli 梁矩陣；當Gp為0 時，Pasternak地基退化為Winkler地基.

4 方法驗證

4.1 地基應力時域解的正確性驗證一

本文提出的應力時域解是基于Mindlin 解，這意味著時域解可以退化為經典Mindlin 解［23，27］.在t=0時有Eα(0)=1，土體并未發生蠕變變形，取G=G1，可得到彈性應力解公式，將彈性模量關系ν=（3K-2G）/（6K+2G）代入彈性解中即可得到公式退化結果和Mindlin 解［公式（5）］一致；同理當時間t趨于無窮大時有Eα(∞)=0，土體蠕變變形達到最大值，此時G=G1G2/（G1+G2）同樣可得退化結果和經典Mindlin 解一致，驗證了本文分數階應力時域解的正確性.

4.2 地基應力時域解的正確性驗證二

祝彥知［28］基于三參數黏彈性模型推導了半無限彈性體內作用有豎向和水平向集中應力時，空間內某一點的應力和位移分量的黏彈性解.取參數：集中力P0為100 kN，分數階α為1，剪切模量G1為10 MPa，剪切模量G2為10 MPa，體積模量K為15 MPa，黏滯系數η為30 MPa·d；集中力作用點（0，0，0），應力點（1，1，1），其結果如圖5所示.

圖5 應力-時間關系曲線Fig.5 Stress-time curve

從圖5 可以看出本文解與文獻［28］有較好的一致性，因為當分數階Merchant 黏彈性模型參數α取1時，根據Gamma函數的性質有：

此時本文分數階黏彈性模型退化為整數階三參數模型，與文獻［28］所取得應力解形式一致.能夠說明本文分數階應力時域解的正確性.

4.3 軟土地基單樁模型的正確性驗證

Zhang 等［14］將樁看作Pasternak 地基上的Euler-Bernoulli 梁，基于Boltzmann 黏彈性模型推導出軟土地基中基坑開挖對鄰近樁水平位移影響的時效影響.相關參數如下：基坑尺寸為30 m×20 m×10 m，樁基長度18 m，樁徑0.9 m，樁基彈性模量20.5 GPa，樁徑中心線距離基坑的水平距離為20 m.土體泊松比0.33，土體密度為1.95 g/cm3，剪切層厚度15 m，黏彈性模型參數G1為0.86 GPa，G2為0.62 GPa，體積模型K為0.68 GPa，黏滯系數為16.7 GPa·d.

此時分數階Merchant 黏彈性模型退化為整數階Boltzmann 黏彈性模型，同時令樁基的剪切模量趨于0，Timoshenko 梁退化為Euler-Bernoulli 梁模型，此時退化后模型所需參數和文獻［14］所需參數一致.取與文獻［14］一致的參數，分數階α為1.取樁身深度z為2.7 m、7.2 m、9.9 m、14.4 m 處樁身水平位移進行分析.由圖6 可知，本方法計算結果與文獻［14］的結果有較好的一致性，可以證明本文解是準確的.目前，傳統的算法是將樁基簡化為放置在Winkler 地基上的Euler-Bernoulli 梁（簡稱EB-W 模型），通過與本文方法和文獻［14］對比可知，本文方法和文獻［14］方法解得的樁基水平位移小于EB-W 模型結果，其原因為Pasternak 地基相比于Winkler 地基考慮了地基彈簧之間的相互剪切效應，反映了地基土介質的連續性，進一步說明了Pasternak 地基的優勢.同時，從圖6 可以看出，當考慮軟土地基的蠕變時，樁基水平位移隨時間逐漸增加，最終增長量分別占不考慮流變工況下樁基橫向變形的27.98%、29.10%、32.48%、49.36%，表明軟土地基蠕變對樁基的水平位移影響較大，在工程實際中不能忽略.

圖6 樁基水平位移-時間曲線Fig.6 Relation curves between pile horizontal displacement and time

5 參數分析

上述文獻數據對比驗證了本文所提理論的正確性，在此基礎上對分數階Merchant 黏彈性模型參數進行分析.計算模型基本參數為：基坑開挖尺寸30 m×20 m×10 m，樁基彈性模量20.5 GPa，樁身剪切剛度為40 GPa，樁徑中心線距離基坑的水平距離為2 m，樁徑0.9 m，樁長20 m.Merchant 黏彈性模型參數取值為：G1=8.6 MPa，G2=6.2 MPa，K=6.8 MPa，η=160 MPa·d，α=0.6.土體卸荷模量E為7.987 MPa.因為本文提出的是樁基水平位移與時間有關的解，所以在對部分參數進行分析時選取樁基處某一特定的點進行，選取圖2坐標系中樁身坐標（12，0，10.7）處樁基水平位移隨時間的變化進行分析.

為分析分數階Merchant 黏彈性參數對樁基水平位移的影響，分別對參數取不同的值進行分析.將基坑開挖后樁基水平位移隨時間增長過程分為初期和末期.由圖7 可知，在基坑開挖后初期，G1越大樁基水平位移越小.在本構模型中，G1為模型的瞬時變形參數，主要與土的初始變形能力有關，控制樁基的初始變形能力.黏彈性模型參數的獲取可以參考文獻［29-30］的方法，利用三軸固結實驗獲得土的蠕變曲線，再根據應力松弛公式擬合分數階黏彈性模型參數.在剪切模量G1較小的基坑工程中，應加強開挖后初期基坑和鄰近樁的變形監測.

圖7 剪切模量G1對樁身水平位移的影響Fig.7 Influence of shear modulus G1 on horizontal pile displacement

由圖8 可知，當G2取不同值時，在開挖后初期樁基水平位移相同，當樁基水平位移隨著時間增加時，G2越大，樁基水平位移增加越少，最終變形越小.主要是因為剪切模量G2是黏彈性模型的延時變形體參數，與土的延時變形能力有關，控制著土體蠕變變形的極限值.

圖8 剪切模量G2對樁身水平位移的影響Fig.8 Influence of shear modulus G2 on horizontal pile displacement

從圖9 可以看出，體積模量對臨近樁基水平位移的影響較明顯.體積模量K越大，樁基水平位移越大，樁基位移增加的幅度越小.體積模量K對臨近樁水平位移的影響是不可忽視的.

圖9 體積模量K對樁身水平位移的影響Fig.9 Influence of bulk modulus K on horizontal pile displacement

從圖10可以看出，當η取不同的值時，基坑開挖對臨近樁水平位移的初始值和最終累計變形是沒有影響的，但是對達到水平位移極限值所需要的時間有顯著影響.η越大，達到極限值的時間越長，主要是因為黏滯系數η是黏彈性模型的延時變形參數之一，控制著土體的延時變形速率.

圖10 黏滯系數η對樁身水平位移的影響Fig.10 Influence of coefficient of viscosity η on horizontal pile displacement

從圖11可以看出，當取不同α值時，基坑開挖引起的臨近樁水平位移按照發展時間可分為兩個部分，分界點為圖11 線段的交叉點，在第一部分臨近樁水平位移隨著α的增大而減小，在第二部分臨近樁水平位移隨著α的增大而增大.圖中所示的交叉現象是由黏彈性模型中的Abel 阻尼元件導致的，也是分數階模型相比于傳統模型的優勢所在，即能更準確地模擬材料的流變特性.當α=1時，Abel阻尼元件退化為牛頓流體；當α=0 時，Abel 阻尼元件退變為彈性體.因此，當α取較小值時，土體的力學性質主要由剪切模量G2控制，樁基水平位移在第一部分有較大位移值，在第二部分位移發展緩慢；當α取較大值時，土體的力學性質主要由黏滯系數η控制，樁基水平位移在第一部分有較小位移值，在第二部分位移發展較快.

圖11 分數階α對樁身水平位移的影響Fig.11 Influence of fractional diffusion order α on horizontal pile displacement

6 結論

1）本文通過引入三維分數階Merchant 黏彈性模型并將既有樁基簡化為Pasternak 地基中的Timosh?enko 梁，得到基坑開挖引起鄰近樁基水平位移時域解.結合相關文獻驗證了本文模型的正確性，通過計算表明土體的蠕變變形對樁基的水平位移影響較大，在實際工程中不能忽略軟土蠕變的影響.

2）分數階Merchant 黏彈性模型參數G1對開挖完成后初期樁基水平位移影響較大，決定基坑開挖完成后初期樁基水平位移值，開挖完成后初期樁基水平位移隨著G1的增大而減小；剪切模量G2對開挖完成后末期樁基水平位移的極限值影響較大，決定位移的最大值，開挖后末期樁基水平位移最大值隨著G2的增加而減小.

3）樁基水平位移在基坑開挖完成后初期和末期位移均隨著體積模量K的增加而增大；黏滯系數η與樁基水平位移變化的速率有關，η越大，樁基位移達到最大值時所需的時間越久；分數階α對樁基水平位移影響按時間可分為兩個部分，在第一階段樁基位移隨著α的增大而減小，在第二階段樁基位移隨著α的增大而增大.