斜坡段橋梁基樁受力與變形分析的傳遞矩陣法

尹平保，王翱，趙衡，楊鎧波，趙明華

［1.長沙理工大學土木工程學院，湖南長沙，410114；2.湖南大學巖土工程研究所，湖南長沙，410082；3.橋梁工程安全控制教育部重點實驗室（長沙理工大學），湖南長沙，410114］

在山區修建公路和鐵路時，受地形、地貌等水文地質條件的制約，有些路段往往會采用半路半橋或全高架橋的形式來跨越峽谷與河流，因此難免會將橋梁樁基設置在峽谷或河岸斜坡上，而形成斜坡基樁［1］.位于斜坡上的橋梁基樁，其主要承受上部結構傳遞下來的豎向荷載、水平荷載和偏心彎矩等.但由于基樁前后土體不對稱導致的“斜坡效應”，其水平承載特性與常規的平地樁差異顯著［2-4］.

為深入分析斜坡段橋梁基樁的水平承載機理及影響規律，趙明華等［5］通過室內模型試驗，研究了復雜荷載作用下高陡橫坡段橋梁雙樁基礎的內力與位移變化發展規律及破壞模式；Deendayal 等［6］通過室內模型試驗，研究了基樁長徑比和斜坡角度的共同作用對樁基承載特性的影響.Sawant等［7］通過有限元數值模擬，分析了水平荷載作用下斜坡坡度變化對樁身彎矩以及位移分布規律的影響.在此基礎上，趙明華等［8］和尹平保等［9］綜合考慮“P-Δ”效應和樁土相互作用，提出了陡坡段橋梁基樁受力分析的改進有限桿單元法及冪級數法；尹平保等［10-11］基于Mat?lock 黏土p-y曲線及雙曲線型砂土p-y曲線，推導了斜坡段橋梁基樁內力與位移分析的有限差分解.總體來說，有關斜坡基樁內力與位移計算方法主要有冪級數法、有限差分法和有限桿單元法等［12-15］.其中，我國《公路橋涵地基與基礎設計規范》（JTG 3363—2019）［16］主要采用線彈性地基反力法的冪級數通解，即基于m法計算樁身內力與位移，并提供了大量圖表以供查詢.而以有限桿單元和有限差分為主的數值計算方法，雖然計算精度較高，但其計算過程以及編程均比較復雜，難以在實際工程中推廣運用.矩陣傳遞法［17-18］是國內外近40年來興起的一種計算方法，其力學概念清晰，能充分考慮樁身截面尺寸變化、土體各向異性以及復雜邊界條件等，具有計算精度高，編程簡單等優點，便于實際工程的應用.

鑒于此，擬在現有研究基礎上，充分分析斜坡段橋梁基樁的水平受荷特點，建立考慮斜坡效應的樁-土相互作用模型及樁身撓曲微分方程；基于m法和傳遞矩陣法，推導樁身內力與位移分析的理論解答，編制相應的計算程序；再通過試驗結果，驗證理論解答及計算程序的可靠性；進而分析斜坡坡度和樁頂水平荷載對樁身受力與變形的影響.

1 樁身內力與變形分析的傳遞矩陣法

1.1 計算模型及撓曲微分方程

實際工程中，斜坡上的橋梁基樁可分為兩段：一是樁身位于坡面以上的自由段l0；二是樁身位于坡面以下的入土段lp，如圖1所示.

假設樁頂主要承受軸向荷載P0、橫向荷載Q0及偏心彎矩M0的共同作用，以樁頂軸心為原點可以建立wO'Z坐標系；再沿樁身縱軸線自上而下依次將樁身劃分為N段；其中，自由段分為k段，入土段分為N-k段.在圖1所示的計算模型中，以第i微元段樁頂中心為原點，可建立wiOiζi坐標系，見圖2.

圖1 樁-土相互作用模型Fig.1 Pile-soil interaction model

圖2 基樁第i微元段受力分析示意圖Fig.2 Force analysis of the micro element section i of the pile

通過對第i微元段進行受力分析，即可建立該微元段的撓曲微分方程：

式中：wi為第i微元段樁身水平位移；ζi為第i微元段計算點到段頂的距離；EiIi為第i微元段樁身抗彎剛度；P0，i為第i微元段頂所受軸向力；b1，i為第i微元段樁的有效計算寬度；qi為第i微元段所在巖土層的水平地基抗力；fi為第i微元段樁身軸力增長系數.

假設樁身自重和樁側摩阻力沿深度呈線性發展，則樁身軸力增長系數fi的表達式為［14］：

式中：γc，i為第i微元段樁身有效重度；τi為第i微元段對應的樁側巖土體極限摩阻力，i≤k時，τi=0；Ai和Di分別為第i微元段樁身截面面積和周長.

基于m法假定，第i微元段對應巖土層的水平地基抗力qi可表示為［18］：

式中：m為地基比例系數，當i≤k時，m=0.

將式（2）和式（3）代入式（1）整理可得：

1.2 傳遞矩陣解答

式（4）可采用冪級數法進行求解，設其解答為：

式中：ηi，0，ηi，1，ηi，2及ηi，3均為待定系數.

根據關系式θi=wi'，Mi=EiIiwi''，Qi=EiIiwi'''+Piwi'與式（5）可得第i微元段的樁身轉角θi、彎矩Mi和剪力Qi分別為：

聯立式（5）和式（6）消除待定系數ηi，j可得：

式中：wi，0、θi，0、Mi，0及Qi，0分別為第i微元段頂端（ζi=0）的水平位移、轉角、彎矩和剪力；Vi為第i微元段的內力與位移傳遞矩陣，其可表示為：

式中：

若第i和i-1微元段樁身內力與位移連續，則有：

根據式（7）和式（11），可得第i微元段與基樁頂端之間內力和位移的傳遞關系：

式中：Vi-1=Vi-1|ζi-1=li-1；w0、θ0、M0及Q0分別為樁頂水平位移、轉角、彎矩及剪力.

對于常規的橋梁樁基，其樁頂邊界條件有自由、固定、鉸支和彈嵌等；而樁端邊界條件有自由、固定等［9，18］，對位于斜坡上的嵌巖樁，通常可假定其樁端邊界條件為固定.

若樁頂和樁端邊界條件均為自由，則w0、θ0、M0和Q0滿足以下關系：

式中：YI，J為矩陣中第I行第J列元素.

式（14）中M0和Q0已知，求解式（14）即可得到w0和θ0.同樣地，根據其他邊界條件，亦可求解相應的w0和θ0.上述求解過程，均可編程計算.

2 斜坡地基比例系數的試驗確定

樁前坡體的存在將導致斜坡地基比例系數與平坦地基有一定差異.雖然我國《公路橋涵地基與基礎設計規范》（JTG 3363—2019）［16］中已給出平坦地基比例系數的取值范圍，但有關斜坡地基比例系數的確定則缺乏相應的規定或說明.為此，以實際工程中的斜坡基樁為原型，通過室內模型試驗測試斜坡地基比例系數，并建立斜坡與平坦地基比例系數間的關系式.

2.1 試驗概況

本模型試驗主要以湖南省張家界至花垣高速公路泗溪河大橋中某位于斜坡上的橋梁基樁為原型，該基樁總長25.0 m，自由段長7.0 m，入土段長18.0 m，基樁所在邊坡坡度約為30°～ 50°.該斜坡地層自上而下依次為：含礫石的粉質黏土（厚約1.0 m），強風化-中風化砂巖（厚約15.0 m），以下為微風化砂巖.本試驗采用直徑d1=60 mm 的鋼管樁測試地基比例系數，而以直徑d2=75 mm的PPR管樁測試加載過程中樁身受力與變形.模型樁長度為2 000 mm，自由段和入土段均為1.0 m，樁端嵌入混凝土中0.2 m 以模擬嵌巖.鋼管樁身彈性模量Es=1.35 GPa，PPR 管樁身彈性模量Ep=0.37 GPa.模型斜坡填土分為黏土和砂土，其中黏土坡度α=0°、15°、30°及45°，其物理力學參數為：內摩擦角φ=24°，黏聚力c=35.4 kPa，重度γ=18.5 kN/m3，含水率w=15.1%，塑限wP=27.8%，液限wL=45%，曲率系數Cc=3.12，不均勻系數Cu=12.5.而砂土坡度α=0°、30°、45°及60°，其物理力學參數為：內摩擦角φ=39°，含水率w=2.4%，重度γ=15.7 kN/m3，曲率系數Cc=1.05，不均勻系數Cu=8.57.試驗用土的級配曲線如圖3 所示，具體的模型試驗布置如圖4所示.

圖3 試驗用土級配曲線Fig.3 The grading curve of soils

圖4 模型試驗布置圖（單位：cm）Fig.4 Layout of model tests（unit：cm）

2.2 試驗加載

試驗加載裝置由定滑輪、鋼絲繩、掛鉤和砝碼組成.采用慢速維持荷載法分級加載［19］，通過砝碼在樁頂施加定向水平荷載，每級荷載為25 N，按0、5 min、15 min、30 min、60 min 的時間間隔采集試驗數據.各級荷載穩定標準為變形速率小于0.01 mm/5 min 或累計變形速率小于0.1 mm/h.當某一級荷載作用下坡體開裂嚴重或樁土交界處位移達到30 mm 時，即可終止加載.

2.3 斜坡地基比例系數mα值的測試原理

如圖4 所示，在樁頂逐級施加級水平荷載Q，并用百分表測量水平荷載作用點處樁身水平位移Y1和樁土交界面處樁身水平位移Y2.據此可計算相應坡度下的等效地基比例系數nα值，其計算式為［19］：

式中：H1為水平荷載作用點距樁土交界面的距離；H2為試驗樁埋入土體的長度；Q為施加的水平荷載；Y1為水平荷載作用點處樁身水平位移.

斜坡地基比例系數mα與等效地基比例系數nα之間的關系式為：

式中：b1為基樁計算寬度［16］.

2.4 試驗結果與分析

通過試驗并結合式（15）和式（16），可得斜坡地基比例系數mα與樁土交界面處樁身水平位移Y2之間的關系曲線，如圖5和圖6所示.Y2=6 mm 時對應的斜坡地基比例系數mα，如表1所示.

表1 實測斜坡地基比例系數mαTab.1 The tested value mα of sloping ground

由圖5和和圖6可以看出，斜坡地基比例系數mα值隨樁土交界面處的樁身水平位移Y2增大而呈非線性關系減小；當樁土交界面處樁身水平位移相同時，斜坡坡度越大，斜坡地基比例系數mα值越小；相對而言，黏土斜坡地基比例系數大于砂土斜坡.

圖5 黏土斜坡地基mα-Y2曲線Fig.5 The mα-Y2 curves of clay slope ground

圖6 砂土斜坡地基mα-Y2曲線Fig.6 The mα-Y2 curve of sand slope ground

根據表1，經非線性擬合可得斜坡地基比例系數比值λ與斜坡坡度α之間的關系式：

黏土斜坡地基：

砂土斜坡地基：

式中：λ=，mα為斜坡坡度為α的地基比例系數，m0為平地地基比例系數.

斜坡地基比例系數比值λ與斜坡坡度α之間的關系曲線如圖7 所示.由圖7 可知，斜坡地基比例系數比值λ隨斜坡坡度α增加而成非線性關系減小；擬合得到的λ-α關系曲線與實測結果吻合較好.

圖7 λ-α關系曲線Fig.7 The relation curves of λ-α

3 試驗驗證及影響因素分析

3.1 試驗驗證

為驗證斜坡基樁內力與位移計算傳遞矩陣法的合理性，以黏土斜坡模型試驗中水平荷載Q0=150 N為例，計算得到不同坡度下樁身水平位移和彎矩隨埋深的變化發展規律曲線，其與試驗結果的對比如圖8和圖9所示；地面處樁身水平位移及樁身最大彎矩對比如表2所示.

圖8 不同坡度下樁身水平位移曲線Fig.8 Horizontal displacement of piles under different slopes

圖9 不同坡度下樁身彎矩曲線Fig.9 Bending moment of piles under different slopes

表2 樁身彎矩與位移計算結果對比Tab.2 Comparison of bending moment and displacement of piles

由圖8 和圖9 可知，對于黏土斜坡中的模型樁，當試驗荷載Q0=150 N 時，不同斜坡坡度條件下實測樁身水平位移和彎矩曲線與計算曲線均吻合較好.另外，表2 顯示理論計算得到的樁身最大彎矩和樁土交界面處樁身水平位移結果與試驗結果之間的最大誤差為8.54%，由此可驗證斜坡段橋梁基樁受力與變形分析的傳遞矩陣法及程序是合理可行的.

3.2 影響因素分析

為進一步探討斜坡坡度及樁頂水平荷載對樁身內力與位移的影響，以張花高速中某斜坡上的橋梁基樁為例［20］，利用傳遞矩陣法對其進行影響因素分析.該基樁所在斜坡的坡度約為40o；基樁自由段長為4 m，直徑為1.8 m；入土段長度為25 m，直徑為2.0 m；樁身混凝土彈性模量Ec=29.6 GPa.樁側巖土體地基比例系數m=4.0 MN/m4；作用在樁頂的軸向荷載P0=7 312 kN，水平力Q0=50 kN，彎矩M0=520 kN·m.

3.2.1 斜坡坡度的影響

受斜坡效應的影響，斜坡段橋梁基樁的受力與變形與平地樁差異如何尚值得深入探討.為此，保持其他參數不變，分別計算斜坡坡度α=0°、20°、40°及60°時樁身水平位移和彎矩，其沿深度的變化發展規律曲線如圖10和圖11所示.

圖10 不同坡度下樁身水平位移曲線Fig.10 Pile displacement under different slopes

圖10 和圖11 顯示，在相同的荷載水平下，基樁樁身水平位移和彎矩均隨斜坡坡度增加而增大.當斜坡坡度α=0°、20°、40°及60°時，樁頂水平位移分別為2.87 mm、3.22 mm、3.73 mm 及5.35 mm；與α=0°（平地樁）相比，α=20°、40°及60°對應的樁頂水平位移增幅分別為12.2%、30.0%及86.4%.樁身最大彎矩隨斜坡坡度增加而有小幅增大，當α=0°時，樁身最大彎矩位置約為坡面以下2.0 m處；而當α=60°時，樁身最大彎矩位置則下移至坡面以下4.0 m 處.由此可見，斜坡坡度增大會使樁頂水平位移顯著增加，且對樁身最大彎矩位置有一定影響.這是因為斜坡坡度增大導致樁前淺層土體的水平抗力減弱，促使水平荷載向斜坡深處傳遞.當以樁身水平位移控制基樁水平承載力時，斜坡基樁的水平承載力將隨斜坡坡度增加而減小.

圖11 不同坡度下樁身彎矩曲線Fig.11 Bending moment of piles under different slopes

3.2.2 樁頂水平荷載的影響

在實際工程中，風荷載、車輛制動荷載等水平荷載將會通過上部結構傳遞至樁頂.為探討水平荷載對斜坡段橋梁基樁內力與樁頂水平位移的影響，假定其他參數相同，分別計算水平荷載Q0=0 kN、50 kN、100 kN 及150 kN 時的樁身水平位移和彎矩，其沿深度的變化發展規律曲線如圖12和圖13所示.

圖13 不同水平荷載下樁身彎矩曲線Fig.13 Bending moment curve of piles under different lateral loads

由圖12 和圖13 可知，對于斜坡坡度α=40°的斜坡基樁，樁身水平位移和樁身彎矩均隨樁頂水平荷載增加而顯著增大.當樁頂水平荷載Q0=0 kN、50 kN、100 kN 及150 kN 時，樁頂水平位移分別為2.25 mm、3.73 mm、5.47 mm 及7.29 mm，后者與前者相比，樁頂水平荷載每增加50 kN，對應的樁頂水平位移增幅分別為65.8%、46.6%及33.3%；同樣地，當Q0=0 kN、50 kN、100 kN 及150 kN 時，樁身最大彎矩分別為527.6 kN·m、801.0 kN·m、1 170.1 kN·m 及1 484.8 kN·m，也就是說樁頂水平荷載每增加50 kN，對應的樁身最大彎矩增幅分別為51.8%、46.1%、26.9%.由此可見，樁頂水平荷載對斜坡基樁樁身水平位移和最大彎矩的影響更為顯著.

4 結論

根據斜坡段橋梁基樁的水平承載特性，建立了考慮斜坡效應的樁-土相互作用模型及樁身撓曲微分方程，推導了基樁受力和變形分析的傳遞矩陣解答，測試了黏、砂土斜坡地基比例系數，驗證了傳遞矩陣解答的合理性，并開展了相應的影響因素分析.得到的主要結論如下：

1）與傳統的有限元法相比，斜坡段橋梁基樁受力和變形分析的傳遞矩陣法，能充分考慮樁身截面尺寸變化及復雜邊界條件，其力學概念清晰、參數少且易獲取、無需建模，計算效率高，便于應用.

2）斜坡地基比例系數隨樁土交界面處樁身水平位移增大而呈非線性關系減小；樁身水平位移相同時，斜坡坡度越大，斜坡地基比例系數越小；坡度相同時，黏土斜坡地基比例系數大于砂土斜坡.

3）在相同的荷載水平下，斜坡坡度越大，基樁樁身水平位移和彎矩也越大；斜坡坡度由0°增加至60°，其樁頂水平位移約增大86.4%，樁身最大彎矩約增大4.6%，樁身最大彎矩位置約下移2.0 m.

4）斜坡坡度相同時，基樁樁身水平位移和樁身彎矩均隨樁頂水平荷載增加而顯著增大；樁頂水平荷載每增加50 kN，樁頂水平位移平均增大48.6%，而樁身最大彎矩平均增大41.6%.