百試百靈的“套路”
——借助因式分解求字母的值

◎河北省秦皇島市第八中學八(11)班 李璧彤

我做數學題時，常常會遇到求字母的值的問題.這些題乍一看很難.學習了因式分解，我發現因式分解可以把一個多項式轉化成幾個整式的乘積，而且，利用因式分解可以讓一些求字母取值的問題變得十分簡單，我還發現了一個百試百靈的“套路”.下面就來跟大家分享一下.

【提出問題】

已知a2+4a+b2-6b+13=0，求a、b的值.

【分析問題】

這個式子看起來像一個方程，但是它有兩個未知數，無法解.我也沒看到有可以合并的項，怎么辦呢？這里有a2+b2，讓我想到了完全平方式，想到了因式分解.

在因式分解中，我們學過完全平方公式：

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2.

在這里，我發現要想得到（a+b）2，必須要有2ab，而題中沒有.但是如果a2+4a、b2-6b找到合適的常數項，也可以出現完全平方式.因為a2+4a+4=（a+2）2，b2-6b+9=（b-3）2，而 4+9正好等于 13，所以得（a+2）2+（b-3）2=0.

因為任何數的平方都有非負性，所以（a+2）2≥0，（b-3）2≥0.要想使結果等于0，那么必須有（a+2）2=0，（b-3）2=0，所以a=-2，b=3，這樣問題就解決了.

【問題變式】

我們再來觀察一道題：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.

【分析問題】

與第一題類似.觀察式子發現有2mn，那么完全平方公式中必須包含m，n，所以把2n2拆成n2+n2，就可以發現m2-2mn+n2+n2-8n+16=0，這不就是（m-n）2+（n-4）2=0嘛.所以m-n=0，n-4=0，可得n=4，m=4.

這里與前面問題不同的是，需要拆一項，再重組，最后再使用因式分解.

做到這里，是不是感覺有“套路”？好，我們再來做一題！

【問題延伸】

當x，y為何值時，x2+y2+4x-6y+15有最小值？求出最小值.

【分析問題】

看到這個式子，我們可以聯想到之前的解決辦法.但題目中要求最小值，為什么會出現最小值呢？按我們現在所學，還是先來看看能不能配成完全平方吧.我們看到x2+4x與y2-6y與第一道題類似，所以想到x2+4x+4和y2-6y+9，那么原式就可以變成（x+2）2+（y-3）2+2，由于（x+2）2≥0，（y-3）2≥0，它們相加最小為0，所以（x+2）2+（y-3）2+2≥2，這樣此式最小值為2，此時x=-2，y=3.

【我的心得】

在因式分解中，完全平方式是一個很奇妙的式子，它具有非負性.所以當式子為0時，字母值就很容易求出來了.當我們遇到帶平方的式子的時候，一定要想一想因式分解.化簡后，一般問題就解決了.在此之前，我對這類題目總是發怵，經過這一系列的研究，我感覺這“套路”還挺好用.因式分解，真是一種很實用的方法！

教師點評

小作者從自己的困惑出發，對一類求字母取值的問題進行了一系列研究.由簡單的完全平方公式，聯想到對一個多項式分組、拆項、求最小值，借助因式分解和完全平方式的非負性，達到目的.這樣的探究思路，讓我們看到了知識經驗在她頭腦中的生長過程.隨著所學知識的積累，相信小作者的分析能力會越來越強！