基于加權(quán)準則的雷達博弈波形設(shè)計

董 軍，杜曉林*，崔國龍，余顯祥，田團偉

(1. 煙臺大學(xué)計算機與控制工程學(xué)院 山東 煙臺 264005；2. 電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731；3. 河南大學(xué)物理與電子學(xué)院 河南 開封 475001)

認知雷達是近年來提出的一種新的雷達系統(tǒng)概念，與傳統(tǒng)雷達不同，面對復(fù)雜環(huán)境，認知雷達的發(fā)射機可以根據(jù)之前所獲得的先驗知識自適應(yīng)調(diào)整發(fā)射波形，實現(xiàn)與環(huán)境和干擾的匹配，從而提高雷達性能。發(fā)射波形的優(yōu)劣會直接影響認知雷達的系統(tǒng)性能[1-4]。文獻[5-12]依據(jù)互信息(mutual information,MI)準則或信干噪比(signal-to-interference-plus-noise ratio, SINR)準則在各種實際的約束條件下開展了波形設(shè)計的研究，取得了豐富成果，但以上方法并未針對智能目標進行研究。在現(xiàn)代電子戰(zhàn)環(huán)境中，干擾機有實時捕獲雷達波形參數(shù)和精準干擾的能力，雷達能夠自適應(yīng)優(yōu)化其發(fā)射信號，雷達和干擾之間存在真實博弈，干擾信號作用于空間、時域、頻域、能量域，形成的干擾場景復(fù)雜、樣式多樣，對雷達探測距離、精度、分辨率等能力的削弱愈加明顯。因此，如何在博弈背景下設(shè)計波形應(yīng)對干擾并提升雷達性能是當前面臨的嚴峻挑戰(zhàn)。

博弈論是模擬雷達和干擾機之間敵對關(guān)系的有效理論依據(jù)[13-20]。文獻[13]首先基于MI 準則提出了針對Stackelberg 博弈的波形優(yōu)化策略。文獻[14]以最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)作為目標函數(shù)，提出了基于MMSE 的Stackelberg 博弈的干擾優(yōu)化策略。文獻[15]研究了多輸入多輸出雷達的天線功率如何在信息獲取不完全的Bayesian 博弈中分配的問題。文獻[16]基于MI 準則建立遞階對策模型，提出了一種魯棒發(fā)射波形設(shè)計方法，但未論證其模型的優(yōu)越性。文獻[17]推導(dǎo)論證了納什均衡解的存在性，并基于SINR 準則利用多次迭代注水法求解了博弈條件下的波形設(shè)計問題，但該算法計算復(fù)雜度較高。文獻[18]研究了單基地雷達和干擾機基于MI 準則的博弈策略設(shè)計問題，采用泰勒近似的方法將迭代注水法所需求解的兩個拉格朗日乘子減少到一個，從而降低了算法復(fù)雜度，但忽略了雜波這一重要因素。文獻[19]采用粒子群算法來規(guī)避求解Stackelberg 平衡中涉及的兩個拉格朗日乘子計算，但也未考慮雜波的影響。文獻[20]基于MI 準則，采用最大邊緣分配(maximum marginal allocation, MMA)算法來求解雜波條件下雷達與干擾機間的均衡博弈策略問題，但該算法易陷入重復(fù)博弈困境。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文研究了在雜波背景下，基于加權(quán)準則的雷達與干擾機間的博弈波形設(shè)計問題。首先建立認知雷達與干擾之間的二元零和博弈模型，然后分別分析了基于SINR 準則與MI 準則的博弈波形設(shè)計模型，據(jù)此設(shè)計出基于加權(quán)準則的非合作均衡博弈模型，并提出最大邊緣重分配算法進行求解，最后仿真實驗驗證了本文方法的有效性。

1 問題建模

1.1 信號模型

假設(shè)x(t) 是 時寬為T、帶寬為W的雷達發(fā)射信號，y(t)為 接收信號。h(t)為單一或擴展隨機目標的脈沖響應(yīng)在有限時間Th內(nèi) 的隨機過程，雜波c(t)為非高斯隨機過程，n(t)和j(t)分別表示噪聲和干擾信號，r(t)為 接收濾波器脈沖響應(yīng)，設(shè)T遠大于Th，即低通濾波器持續(xù)時間相對較短，可忽略其影響。

圖1 給出了發(fā)射-接收信號模型圖，雷達接收信號為[13-18]：

式中，“*”代表卷積。此外，x(t) 、h(t) 、r(t)的傅里 葉 變 換 分 別 為X(f)、H(f)、R(f)；c(t)、n(t)和j(t)的功率譜密度(power spectral density, PSD)分別為Scc(f)、Snn(f)和Pj(f)。

由于h(t)是一個持續(xù)時間有限的隨機過程，能量有限，所以并非是真正的平穩(wěn)高斯隨機過程。因此，其PSD 不能用來描述目標的散射特性，但可以使用能量譜密度(energy spectral density, ESD)來描述[14-20]，ESD 定義為：

1.2 檢測理論

圖1 發(fā)射-接收信號模型

1.3 MI 準則博弈波形設(shè)計

假定目標與雷達接收信號之間的互信息為[22]：

相反，為了減小雷達所獲得的互信息量，干擾機對如下模型進行優(yōu)化，得到干擾波形：

由式(7)和式(8)可得，雷達與干擾機是沖突對立的，因此雙方可構(gòu)成非合作二元零和博弈模型，一方策略改變將使另一方策略隨之改變，最終雙方將在不斷爭取最優(yōu)利益的博弈中達到納什均衡，此時雷達與干擾機雙方發(fā)射的都是各自收益的最優(yōu)波形。文獻[17-18]都對納什均衡解進行了理論推導(dǎo)，并證明了其存在性與收斂性。

1.4 SINR 準則博弈波形設(shè)計

假設(shè)雷達回波信號y(t)中 信號分量為ys(t)，干擾分量為yj(t) ， 則t0時刻SINR 頻域表達式為[24]：

同理，式(11)和式(12)所描述的問題也構(gòu)成了二元零和博弈模型。

1.5 加權(quán)準則博弈波形設(shè)計

根據(jù)上述的波形設(shè)計準則，構(gòu)造如下波形設(shè)計問題：

式(13)和式(14)均是在相同能量約束下的多準則最大化問題。通常，同時使得多個目標函數(shù)達到最優(yōu)的可行解基本不存在。受到凸優(yōu)化理論中標量化技術(shù)的啟發(fā)[25]，本文引入權(quán)重因子 λ ∈[0,1]，通過λ 控制MI 準則和SINR 準則兩個目標函數(shù)的相對權(quán)重，將問題轉(zhuǎn)化為權(quán)重單目標優(yōu)化問題，從而可得Pareto 最優(yōu)解。多目標優(yōu)化問題式(13)和式(14)可轉(zhuǎn)化為如下權(quán)重單目標優(yōu)化問題：

顯然，式(17)和式(18)所描述的問題也是二元零和博弈模型。

2 MMR 算法在求解均衡博弈波形中的應(yīng)用

針對式(17)和式(18)中所描述的問題，本文對MMA 算法[26]進行改進，提出最大邊緣重分配(maximum marginal reallocation, MMR)算法來求解。

2.1 MMR 算法原理

MMR 算法的邏輯是在約束條件下，將投入給低收益活動的資源回收并重新投入給更高收益的活動，最終達到最優(yōu)效果。首先，給出定義：

2.2 MMR 算法求解均衡博弈波形設(shè)計問題

為求解式(17)和式(18)中的博弈波形設(shè)計問題，首先將加權(quán)準則離散化：

令：

將umax離 散等分成M份，最小單元為 Λ，即umax=MΛ，u(k)的 取 值 范 圍 為 {0,Λ,2Λ,···,MΛ}。MMR 算法每一次都對 Λ單位的能量回收或重分配，最終將 Λ單位的能量分配給獲得最大準則收益的頻段，當所有的能量都重分配完，獲得的目標與回波之間準則收益最大。

對所有k值，回收階段均選擇Lλ(u(k),k)中的最小值Lλ(u(kmin),kmin) ， 對u(kmin)回 收 Λ能量，在下一次能量分配之前更新Lλ(u(k),k)，直至整個能量回收過程結(jié)束；重分配階段再選擇Lλ(u(k),k)中的最大值Lλ(u(kmax),kmax)， 將 Λ能 量分配給u(kmax)，在下一次能量分配之前更新Lλ(u(k),k)，直至整個能量重分配過程結(jié)束，此時得到的結(jié)果即為目標與回波之間的最大準則收益，且對不同的k值，在各頻段分配的能量u(k)就是最優(yōu)發(fā)射波形的能量譜。

綜上所述，MMR 算法的流程如下。

3 仿真實驗

假設(shè)雷達工作中心頻率為35 GHz，發(fā)射信號帶寬W=100 MHz，定義能量分配份數(shù)M=20 000，觀測時間T=10 ms。沒有特殊說明情況下，發(fā)射機與干擾機功率均為20 dBW，并將全頻帶劃分為5 個子頻帶，定義目標脈沖響應(yīng)和模擬起伏地雜波分別為 {σ2h(fk)}={1.3,3.0,5.0,7.0,4.0}， {Scc(fk)}={1.2,2.0,1.5,1.0,0.8}， 下標k=1,2,···,5，對應(yīng)5 個不同子頻帶，定義接收機噪聲Snn(fk)={1,1,1,1,1}[16-18,20]。

3.1 算法性能比較

假設(shè)MMR 算法的回收份數(shù)R=M/10，即每次重分配能量為1/10 總功率，且實驗以各頻帶能量分配相同的狀態(tài)作為初始波形。圖2 為MMA 算法與MMR 算法性能對比，表1 給出了運行1 000 次取平均下的博弈時間對比結(jié)果(計算機處理器為i5-8300H@2.3 GHz，內(nèi)存為8 GB)。聯(lián)合圖2a 和表1可知，在SINR 準則下，雖然MMR 算法達到納什均衡所需博弈次數(shù)比MMA 算法多了兩次，但是最終所得的SINR 基本相同，且由于MMR 算法每次博弈所需計算較少，總體計算時間降低，計算效率提升約20%。圖2b 表明在MI 準則下，MMR 算法相比于MMA 算法可以得到更加精煉的納什均衡解。

表1 SINR 準則博弈時間對比結(jié)果

圖2 MMA 算法與MMR 算法計算納什博弈結(jié)果

3.2 固定干擾功率性能分析

圖3 為本文所提加權(quán)準則與SINR 準則的對比。圖中加權(quán)準則所采用的權(quán)重λ 為0.85，SINR準則對應(yīng)λ=0 的加權(quán)模型，由圖可知達到納什均衡時，加權(quán)準則的SINR 明顯優(yōu)于SINR 準則，SINR提升了約0.283 dB。

圖3 兩種準則SINR 對比圖

圖4 為線性調(diào)頻與各準則博弈達到納什均衡時，雷達與干擾機各子頻帶功率分配情況。當雷達發(fā)射線性調(diào)頻信號時，各頻帶功率分布平穩(wěn)，雷達沒有針對干擾進行波形優(yōu)化，沒有與干擾進行博弈，即無博弈模式。由圖4 可以看出，在SINR 與加權(quán)準則下，為了爭奪性能，具有更高目標雜波比(target-to-clutter ratio, TCR)[28]值的4、5 子頻帶更受雷達與干擾機雙方的青睞，雙方都傾向于向其傾注能量，向高TCR 子頻帶傾注能量帶來增益的同時，低TCR 頻段削減能量也會帶來損失?；赟INR 準則博弈中，雷達在高TCR 子頻帶上增益明顯，但在低TCR 子頻帶的損失過大，最終導(dǎo)致收益不高；在加權(quán)準則博弈下，雷達在低TCR 的1、2 子頻帶保留分配了更多能量，干擾只好向高TCR 頻段傾注更多的能量來抑制發(fā)射機在這些子頻帶上的性能，使雷達獲得了更大的性能收益。由于雙方在不同權(quán)重下雷達功率分配方式有所不同，這將導(dǎo)致博弈中干擾機的分配策略也相應(yīng)改變。與SINR 準則分配策略相比，加權(quán)準則下雷達的功率分配策略較平滑，減少了向高TCR 頻帶投入的能量，而干擾機為了更好地壓制雷達只能將能量投入高TCR 頻帶以求更好地降低SINR 值，降低了對低TCR 頻帶上的能量分配，從而導(dǎo)致最終加權(quán)準則的整體SINR 比SINR 準則高，這是雙方經(jīng)過博弈的最終結(jié)果。

圖4 信號功率分配策略

3.3 加權(quán)準則權(quán)重分析

圖5 給出了對加權(quán)因子的分析。分析圖5a 可得，當λ 靠近0.50 時易于陷入重復(fù)博弈，λ 在0～0.50 時，SINR 性能有所下降。而圖5b 表明，在博弈背景下，不同的λ 對于MI 達到納什均衡時的數(shù)值影響較小。因此，在博弈達到納什均衡的前提條件下，綜合SINR 性能和MI 性能作為評定指標，λ=0.85 時綜合性能最佳。

圖5 加權(quán)準則權(quán)值分析圖

3.4 干擾功率變化時性能分析

考慮到干擾機功率對雷達性能的影響，本文假設(shè)雷達發(fā)射機功率為20 dBW，干擾機功率變化范圍按比例設(shè)定為1～30 dBW 進行分析。

圖6 和圖7 分別展示了基于SINR 準則和加權(quán)準則達到納什均衡時雷達與干擾各子頻帶功率分配隨干擾功率變化的情況。由圖6a 和圖7a 可知，當干擾功率過低時，雜波為SINR 性能的主要影響，隨著干擾功率的升高，干擾代替雜波成為主要影響；干擾傾向于向TCR 高的頻帶傾注能量，且加權(quán)準則下干擾對于高TCR 頻帶所傾注的能量更多，這是由3.2 節(jié)所分析過的加權(quán)準則雷達博弈策略所導(dǎo)致的，雷達在高TCR 頻帶上減少的能量并沒有使干擾機的重點壓制頻帶轉(zhuǎn)變。由圖6b 和圖7b 可看出，當雷達功率較之干擾功率處于優(yōu)勢時，干擾在高TCR 子頻帶上并未造成重大影響，雷達可以依據(jù)子頻帶TCR 的高低來決定分配策略，隨著干擾功率的升高，雷達逐漸難以從被干擾大量盤踞的高TCR 子頻帶上獲取信息，所以雷達將功率向TCR 相對較低的子頻帶轉(zhuǎn)移，希望能夠在這些子頻帶中獲取目標信息，最大化SINR。

圖6 SINR 準則-納什均衡功率分配策略

圖7 加權(quán)準則-納什均衡雷達功率分配策略

圖8 展示了在不同干擾功率下，線性調(diào)頻與各準則博弈達到納什均衡時的雷達檢測性能對比。由圖8 可以看出，雙方功率的比值大小對檢測性能結(jié)果造成了巨大影響。當雷達功率占據(jù)絕對優(yōu)勢時，博弈波形的檢測性能優(yōu)勢較小；隨著干擾功率逐漸增大，線性調(diào)頻與博弈波形的雷達檢測性能都呈現(xiàn)出明顯下降，但加權(quán)準則的檢測性能下降幅度較低，這點在干擾功率占據(jù)絕對優(yōu)勢時尤為明顯，這證明加權(quán)準則博弈波形設(shè)計具有較強的抗干擾能力，且對比線性調(diào)頻方法檢測概率最高可提升14.970%，平均提升4.312%，較SINR 準則平均提升4.269%。

圖8 不同準則策略間雷達檢測概率變化

4 結(jié) 束 語

本文針對雷達與干擾間的博弈波形設(shè)計問題進行了研究。基于博弈論與標量化技術(shù)，設(shè)計了MI和SINR 的加權(quán)準則，依據(jù)加權(quán)準則建立了一種博弈雷達波形優(yōu)化設(shè)計模型，并提出MMR 算法對上述問題進行求解。仿真實驗驗證了所提出的加權(quán)準則和MMR 算法具有一定的優(yōu)越性，相較于MMA算法，本文算法的計算效率提升了約20%。