信息技術在地球運動試題解析中的應用
——以“桿影軌跡”為例

鐘 華，汪為青，張文軍，鐘文芳

（1.浙江省春暉中學，浙江 紹興 312300；2.江西省景德鎮一中，江西 景德鎮 333000；3.佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007）

一、問題的產生

在地球運動一輪復習時，筆者搜集了一些例題用于課堂教學，如例1所示。

例1.圖1是某觀測者在當地夏至日時，根據觀測到豎直標桿日影繪制的示意圖。請據此完成問題。

（1）圖中表示正午的日影是

A.① B.② C.③ D.④

（2）觀測地的緯度最有可能是

A.20°N B.40°N C.20°S D.10°S

參考答案：（1）C（2）B

課堂中學生甲（后簡稱甲生）提出一系列疑問，如一天內的桿影是否都呈雙峰M形？不同緯度、不同日期又會有怎樣的變化？由于課堂討論時間有限，故與其約定課后再繼續探討。

二、桿影軌跡方程

桿影是指垂直于水平地面的直桿在太陽光照射下的影子，該影子首端連著桿腳，桿頂的影子為桿影末端（圖2），一天內桿影末端在地面劃過的路線為桿影軌跡。顯然，桿影的方位與太陽方位相反，桿影的長短取決于桿高和太陽高度角。一天內太陽方位與高度在不斷變化，桿影也隨之變化。那么，桿影軌跡是什么曲線形態？有無規律可循？

帶著這個問題，甲生與筆者分別行動，查找相關著作和論文，發現有相關地理教學論文描述過桿影軌跡［1-2］，但并不精確且存在一定主觀性。繼而又發現《中學數學月刊》刊登的《探究日影運動軌跡》一文中有詳盡的數學分析，但并未繪制相關圖像。文中的桿影軌跡方程為：x2sin2δ－y2cos（φ＋δ）cos（φ－δ）＋hysin2φ－h2sin（φ＋δ）sin（φ－δ）＝0，其中φ和δ分別表示當地緯度、太陽直射點緯度，北緯為正，南緯為負，h表示桿高［3］。

三、桿影軌跡繪制

根據上述方程，繪制直角坐標系中的軌跡曲線，“幾何畫板”“GeoGebra”和“Desmos”等軟件均可完成。因甲生軟件操作能力較強，筆者決定安排其完成網頁編程。甲生采用可視化效果較好的Desmos網頁進行編程與繪制，將桿高統一輸入為1，通過互動面板調節太陽直射點緯度與演示地點的地理緯度可得到全球任意緯度在任意日期的桿影軌跡。將甲生開發的演示網頁用于課堂教學，以解答上次課堂教學中遺留的困惑，經過形象直觀的圖形演示，學生對直立桿影的軌跡有了全面深入的認識。下面以六個不同緯度討論桿影軌跡形態。

1.赤道

春秋分日，赤道上的桿影軌跡為一條經過桿腳（原點）的東西向直線，與x軸重合（圖3），因為太陽正東升，太陽視運動軌跡垂直于地平面，故整個上午太陽均在正東方向，影子在正西方向，正午太陽在天頂無桿影，下午太陽位于正西，桿影則在正東。值得一提的是，除極點外，全球任意緯度的春秋分桿影軌跡均為一條東西向直線，北半球該線位于桿腳以北，南半球則為以南，緯度越高則直線離桿腳越遠。

非春秋分日，赤道上的桿影軌跡為雙曲線。春分至秋分，太陽直射點位于北半球，赤道上觀察太陽位于偏北方，故桿影軌跡位于桿腳的南側，開口朝南。秋分至次年春分，桿影位于桿腳北側，開口朝北。日期越接近春秋分則雙曲線的曲率越小，日期越接近二至日則曲率越大。二至日曲率最大，且離桿腳最遠，假設桿高為1（下同），則正午桿影末端坐標為（0，±0.435）。

2.回歸線之間（含回歸線）

以15°S為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線（圖4）。春分至秋分，開口朝南；秋分至次年春分，開口朝北，其中太陽直射15°S時，桿影軌跡過原點（即桿腳）。北回歸線上，夏至日軌跡過原點（圖5）。

3.回歸線至極晝區邊界

以45°N為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線（圖6），曲率比低緯地區有所加大。春分至秋分，開口朝南，夏至軌跡與x和y軸的交點分別為（±1.464，0）、（0，0.394）；秋分至次年春分，開口朝北，冬至軌跡與y軸交點為（0，2.539）。在春秋分，軌跡為直線，該直線距x軸為1個單位，因為正午影長與桿高相等。顯然春秋分軌跡并不是兩至日軌跡的對稱軸。

4.極晝區邊界

以南極圈為例，冬至日該地恰好出現極晝，軌跡為開口向北的拋物線（圖7）。值得一提的是，凡是極晝區與非極晝區分界緯線上（即剛出現極晝的緯線），其軌跡為拋物線，而并非橢圓。南極圈其他日期為雙曲線或直線。

5.極晝區（除極點）

以75°N為例，極晝期間軌跡為橢圓，24小時均有桿影，正午與子夜太陽高度分別為最大和最小，桿影分別為最短和最長。橢圓長軸位于南北方向，短軸位于東西方向，原點位于橢圓的焦點，越靠近極晝區的邊緣，則橢圓的偏心率越大（圖8）。

6.極點

春秋分日，太陽在地平線上，理論上桿影無限長，桿影軌跡無法表達。極晝期間，極點的桿影軌跡為正圓（圖9），圓心為桿腳，因為太陽平行于地平面，一天內太陽高度不變。越趨向夏至（或冬至日），圓的半徑越小；越趨向春秋分，則圓半徑趨向無窮大。

關于軌跡圖像的正確性，可選擇特定緯度、特定日期加以驗證，如北回歸線夏至日正午無桿影，在圖5軌跡中則表現為過原點，兩者相符。再如，45°N在春分時正午桿影長度與桿高相同，圖6所表示的情況符合。又如，秋分日軌跡為直線，與崔亞飛的校園實測［4］相符。驗證表明本軌跡方程所繪制的軌跡圖像是正確且科學的。

通過對不同緯度的桿影軌跡繪制與分析，筆者發現以下規律：①桿影軌跡共有雙曲線、直線、拋物線、橢圓和圓5種線條類型。直線是春秋分日的特有形態，全球（除兩極）皆為直線。拋物線是剛出現極晝地區（如太陽直射10°N那天，80°N地區）的特有形態。橢圓是高緯地區在極晝時期的特有形態。圓是北極點和南極點的特有形態。雙曲線是全球各地的普遍形態，太陽直射點在北半球時則雙曲線開口朝南，反之則朝北。②桿影軌跡總是關于當地子午線對稱，因為太陽方位和高度關于正午對稱。③雙曲線的曲率在趨近春秋分時最小，在趨近兩至日時最大。④若兩日期關于夏至（或冬至）對稱，則桿影軌跡相同。⑤若兩日期關于秋分（或秋分）對稱，則兩條開口相反的雙曲線相互軸對稱。⑥非極晝區，相同緯度而不同半球的兩地，每天的桿影軌跡形態相同，區別在于軌跡的坐標位置不同。⑦桿影的移動方向為自西向東，北半球極晝區為順時針，南半球極晝區為逆時針。

四、桿影軌跡糾錯

1.M形軌跡

例1中的圖1存在明顯的桿影軌跡錯誤，錯在“M形的軌跡形狀”，根據前述方程繪制曲線可知，全球任意緯度在任意日期內的桿影軌跡均不可能為M形曲線，即正午前后無影長的極值（圖像上表現為兩個凸起的小高峰），只有在正午才出現影長的最小值。類似的軌跡錯誤還有“W形曲線”。這兩種錯誤軌跡在當前廣泛使用的各類地圖冊中也常出現，應修正為正午附近軌跡無凹陷的雙曲線軌跡。

2.雙曲線開口朝向

例2.圖10為某地二分二至日旗桿頂端日影軌跡變化圖，請讀圖完成問題。

（3）該地緯度位置可能為

A.20°N B.40°N

C.40°S D.60°S

（4）若在同一天中，該地與杭州（30°N）的正午太陽高度的差值為ΔH（取絕對值），則太陽直射點由節氣①向節氣③移動的過程中，ΔH的變化為

A.先增大后減小 B.先增大后不變

C.先不變后增大 D.持續不斷增大

參考答案：（3）A（4）B

例2的圖10中存在兩個錯誤，其一為③曲線開口朝南，此曲線表示冬至日桿影軌跡，應為開口朝北的雙曲線（與圖4類似），此類錯誤在多處高考模擬題、專題練習題中存在。其二為②曲線形態錯誤，應改為直線。

3.春秋分桿影軌跡

例3.我國某中學組織學生對直立物日影變化進行觀測，具體做法是：先在一塊平坦的地面上直立一根標桿，再以此桿直立點（甲）為圓心，以桿長為半徑繪一個半圓。圖11為某日桿影變化圖，圖中陰影部分為標桿影子范圍。請據此完成問題。

（5）甲地位于

A.東北平原 B.華北平原

C.四川盆地 D.珠江三角洲

參考答案：（5）A

上題通過影子的范圍得到太陽正東升、正西落的信息，即該日為春分日或秋分日，太陽直射赤道。再通過正午桿影長與桿高相等，得到正午太陽高度角為45°，又位于我國境內，則當地緯度為45°N，答案為A（東北平原）。從答題邏輯方面看，此題問題不大。但作為高考題，應盡可能保證科學性和嚴謹性。此題圖（圖11）的瑕疵在于桿影軌跡為弧線，如上述所言，春秋分全球（除兩極）的桿影應為一條東西方向的直線。此結論不僅有數學理論［3］與SketchUp軟件（圖12）、3D Sun-Path網頁［5］等高精準度模擬結果支撐，還有實踐測量活動［4］的強力支撐。

用SketchUp軟件對圖11進行三維建模，模擬2022年春分日6個不同時刻的桿影，進行圖像疊加后得到圖12，該圖顯示45°N春秋分桿影已超出圖11所繪制的桿影范圍，且桿影末端恰好位于平行于x軸、與半圓相切的直線上，支持本文結論。筆者曾于2021年9月23日（秋分）在校園進行桿影觀測活動，在拍照記錄中，能明顯觀察并測量出秋分日桿影軌跡呈一條直線分布（圖13）。

4.其他易錯點

①桿影軌跡是太陽光對桿頂的地面投影集合，應與太陽視運動軌跡的地面投影相區分，兩者有一定聯系，但形態上有很大區別。②日出日落的瞬間，桿影無限長，在圖中無法表達，因此只能繪制日出后、日落前的桿影。③每日桿影覆蓋范圍應為從桿腳到桿影軌跡之間，而非桿影軌跡之外。④桿影移動角速度并非15°/小時，因為太陽方位角的變化速度是不均勻的，日出日落時方位角變化慢，正午附近變化快，速度差異大。

五、總結與建議

地球運動是近年來各省高考卷的熱門考點，2021年高考卷中，涉及地球運動的試題有河北卷、山東卷和浙江卷，這三份高考卷均以桿影作為考點信息材料。桿影的方位、長短及其日變化是太陽視運動的表現，普通高中地理教材對桿影軌跡形態、位置并無相關論述，但各種模擬題、教輔資料、地圖冊乃至高考題中都常有涉及。因缺少標準，諸多試題和資料書籍對桿影軌跡繪制時存在主觀隨意性，導致不少錯誤繪圖，與科學事實相悖，不利于地理教學。因此，厘清全球各緯度桿影軌跡的形態與變化顯得尤為必要。

本文通過科學的數學方程，用軟件模擬了精確的桿影軌跡，并加以分緯度分析，總結了桿影及其軌跡的分布變化規律，指出了常見桿影軌跡錯誤并糾正，可作為日常教學參考。

“紙上得來終覺淺，覺知此事要躬行”，建議地理教師在教學過程中積極設計桿影觀察與測量活動，培養學生從實踐中發現和解決問題，尋求工具，尋找規律，最后形成屬于自己的經驗性知識，教師參與過程引導，并給予結果評價。建議命題人在命制桿影類試題時盡量保證科學性與嚴謹性，可參考相關網頁［6］輔助命題。