兩量子比特與單模光場耦合系統的精確解

叢紅璐, 王林杰， 趙玉娜, 王健瑩， 任學藻

(1.滄州交通學院 通識教育學院， 黃驊 061199；2. 西南科技大學 理學院， 綿陽 621010)

1 引 言

Rabi模型描述的是一個二能級原子與單模腔場的相互作用[1]，是物質與光場相互作用的最簡單模型，該模型在物理學中應用廣泛，例如，微波和腔量子電動力學(QED)[2]，量子點和電路QED[3]. 在理論和實驗中，通常將Rabi模型進行擴展，例如N個二能級原子與單模光場相耦合的Dicke模型[4]和雙光子躍遷的Rabi模型[5,6]等.

在理論上，研究Rabi模型的關鍵問題是能對系統能譜[5-10]和動力學問題精確求解[11]. 定態能譜問題的研究中，兩組描述奇偶函數的G方程經常被用來求解Rabi系統的能譜[7-9]，從而研究能量本征值與G方程的關系，Judd等人提出了Juddian求解方法用來解決復雜情況下Rabi模型的能譜[10].

在量子信息處理中，需要使系統產生量子糾纏[12]. 但量子系統不是絕對孤立的，系統都不可避免地會與環境相互作用[13]，這將可能導致退相干從而降低糾纏[14]，盡管系統的相干損失是漸近的，但糾纏可以在有限時間內突然衰減到零，這種現象被稱為Entanglement Sudden Death(ESD)[14,15]. Rabi模型演化問題對制備穩定高效的糾纏十分重要[16]，因此量子Rabi模型的理論研究已經非常廣泛.但是在非旋波近似下，考慮偶極—偶極相互作用時的兩量子比特Rabi模型的精確求解問題，尤其系統耦合強度處于強耦合區間糾纏的演化問題還較少研究.

本文第一部分在非旋波近似下建立兩量子比特Rabi模型，對算符做Bogoliubov變換[17,18]，將波函數在相干態下展開[18, 19]，利用定態薛定諤方程求解能譜和波函數，并給出了能譜中能級為常數對應的解析解. 第二部分，在動力學問題中計算Wootters提出的糾纏度量方案Concurrence的演化[20]，分析了耦合強度和偶極作用等參數對量子糾纏的影響.

2 能譜和波函數求解

考慮兩個能級間隔為Ω的二能級原子與頻率為ω0的單模光場相耦合，為得到精確解，系統哈密頓量在非旋波近似下展開[7]：

(1)

(2)

式中|Ei〉和|Gi〉(i=1,2)是原子激發態和基態能級.

為使(1)式中算符轉換到主對角線上，對原子能級做旋轉變換，令：

(3)

式中|ei〉和|gi〉(i=1,2)是原子旋轉變換后的激發態和基態，將(2)-(3)帶入(1)得：

(4)

A=a+α,A+=a++α,

(5)

B=a-α,B+=a+-α,

(6)

式中α=g/ω0.將定態波函數按下式展開：

|ψ〉=|e1〉|e2〉|φ1〉+|e1〉|g2〉|φ2〉+

|g1〉|e2〉|φ3〉+|g1〉|g2〉|φ4〉,

(7)

式中：

(8)

(9)

(10)

(11)

cn、dn、en、fn是展開系數，N為展開項數，|n〉是數態，|n〉A和|n〉B是對應Bogoliubov算符A和B的數態，因此：A+A|n〉A=n|n〉A，B+B|n〉B=n|n〉B. 將(4)和(7)式利用薛定諤方程展開：

(12)

(13)

(14)

(15)

將(12)-(15)式分別左乘A〈m|，〈m|，〈m|和B〈m|，根據波函數的正交歸一性得：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中A〈m|，〈m|和B〈m|為|n〉，|n〉A和|n〉B的復共軛，cm、dm、em、fm是正交歸一化后的系數，m是常數，內積表達式為，

A〈m|n〉=〈m|n〉B=(-1)nDmn, 〈m|n〉A=

B〈m|n〉=(-1)mDmn,

(20)

其中

(21)

通過求解(16)-(19)式可得系統能譜E以及系數cn、dn、en、fn.

圖1 系統能譜E的精確解.

(22)

[ω0(B+B-α2)]|φ2〉+

(23)

(24)

(25)

(25)式中的|φ4〉可用數態進行展開，即|φ4〉=|n〉.因此η=0時，圖1所示能譜中總有一條能級曲線與耦合強度無關，能量本正值恒為E=n(n=0,1,2,3…).

在Dicke模型中，若考慮原子個數N=2，η=0，則Dicke模型轉變成非旋波近似下的T-C模型. 在文獻[8]中，將Dicke模型系統波函數利用平移對稱性分別進行展開，通過兩組基矢得到兩組獨立的能級，進而得到系統能譜. 若不考慮圖1中E=n能量本正值對應的能級水平線，其余能級可由(22)-(24)式得到，通過本文方法得到的能級曲線與文獻[8]進行對比，其結果完全相同.

3 含時問題

3.1 含時波函數求解：

設初始定態波函數為

|ψ(0)〉=(cosθ|E1〉|E2〉+

sinθ|G1〉|G2〉)|0〉,

(26)

式中θ為原子Bell態的角參數，下面將定態波函數向含時波函數轉換，對定態波函數進行展開

dn|n〉|e1〉|g2〉+en|n〉|g1〉|e2〉+

fn|n〉B|g1〉|e2〉)],

(27)

式中ki是疊加系數. 聯立(26)和(27)，與前文中定態問題求解過程類似，考慮(3)式原子能級旋轉關系，對比各原子態|e1〉|e2〉、|e1〉|g2〉、|g1〉|e2〉和|g1〉|e2〉系數，并分別左乘A〈m|，〈m|，〈m|和B〈m|后整理得

(28)

(29)

(30)

(31)

通過求解(28)-(31)式可得到系數ki，進而得到含時波函數：

en|n〉|g1〉|e2〉+fn|n〉B|g1〉|e2〉)],

(32)

3.2 原子糾纏演化的精確解

兩量子比特間的糾纏可寫為[20]

(33)

圖2為Ω/ω0=1，η=0.01，耦合強度不同的情況下糾纏C(t)的演化情況. 圖中C(t)的數值表現出周期變化的規律，隨g的增大C(t)曲線周期減小，計算可得C(t)演化周期T≈1/2g2. 在圖2的等高圖中可以看到，可無論g取值如何，糾纏均會出現ESD，隨著g的增大，首次出現ESD的時間明顯變短. 當g較大時，如圖2(b)-(c)所示，糾纏最大值(C(t)=1)附近曲線出現微小不規則振蕩，而且出現兩個最大值區域，這是由非旋波項躍遷產生的復雜動力學特點所導致的[7]. 在不同時刻，但無論g取何值，C(t)的數值與參數θ的變化有周期性改變，并且也出現了ESD.

圖2 g值不同時糾纏C(t)的演化. (a)g=0.1, (b)g=0.25, (c)g=0.5.

圖3為Ω/ω0=1，g=0.02，θ=π/4，偶極作用參數η對兩原子糾纏動力學特性的影響. 圖中所示糾纏的數值C(t)同樣呈現周期性，并且η增大，C(t)周期隨之增加，通過計算可得C(t)演化周期T≈100η/g. 當η的數值較小時，如圖3(a)-(b)所示，C(t)在峰值附近并不穩定，表現為演化曲線呈現微弱振蕩，隨著η的增大，如圖3(c)-(d)所示，C(t)在峰值附近的微小振蕩消失.η無論取何值，C(t)的最大值和初始值均為最大值1，糾纏沒有出現ESD，并且C(t)最小值隨著η的增大有所增加.

圖3 η取值不同時C(t)的演化. (a)η=0.2, (b)η=0.5, (c)η=0.8, (d)η=1.

4 結 論

本文求解了兩量子比特與單模光場耦合系統的量子特性. 在定態問題中得到系統能譜的精確解，通過研究發現能譜中一條能級與耦合強度無關，并且對波函數進行變換得到了該能級的解析解. 利用concurrence計算兩量子比特的糾纏，分別討論了耦合強度g、參數θ和η對C(t)的影響. 通過數值求解可知，C(t)演化具有周期性，文中分別給出C(t)的周期T(g)以及T(η,g)的關系.C(t)隨g和參數θ的演化中出現ESD，當g較大時，非旋波項對系統顯現，C(t)演化呈現出不規則振蕩. 當η較小時，C(t)在峰值附近呈現微弱振蕩，隨著η的增大現象消失.η無論取何值，C(t)的最大值和初始值均為最大值1，沒有出現ESD.