泛函分析課程思政的教學改革探索①

方 莉，孫宜民，崔苗苗

（西北大學 數學學院，陜西 西安 710127）

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：“要用好課堂教學這個主渠道，思想政治理論課要堅持在改進中加強，提升思想政治教育的親和力和針對性，滿足學生成長發展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應?！睂τ趯I課程而言，不存在自身思政體系，教師要通過充分挖掘專業知識中蘊含的德育元素，自主設計課程教學，圍繞“知識傳授與價值引領相結合”的課程目標將思政要素融入課堂教學的各環節，做嚴謹又溫暖的數學課堂，讓學生潛移默化地形成正確的價值觀和學習觀，做到敬畏課程、敬畏學習，將教學過程育人與課程思政育人目標相統一。本文結合西北大學數學學院專業基礎課泛函分析的思政教學改革，充分發揮教師和課程本身的內在功能，探索新時代下地方綜合院校數學專業拔尖創新型人才培養體系。

一、泛函分析課程思政建設的必要性

泛函分析課程是數學專業重要的課程之一，開設對象為數學專業本科三年級的學生。泛函分析課程綜合了分析、代數和拓撲的觀點、方法，學習需要有數學分析、線性代數、解析幾何以及點集拓撲的基礎，同時該課程的知識在數學物理方程、概率論、計算數學等學科中有著廣泛的應用。

泛函分析旨在引導學生掌握基本概念、領會基本知識的同時，提高學生的邏輯思維能力與推理論證能力。泛函分析的課程特點以及學生的畢業去向，使得教師、學生感到該課程難教難學，尤其是在地方綜合院校，這個問題尤為突出。通過調查，我們發現：85%的學生表示泛函分析知識與大學生思想政治教育之間聯系甚微；65%的學生表示該課程的德育功能無法確定；55%的學生表示不確定將來是否把現在所學的專業作為終生職業；70%的學生表示上課不預習新課；35%的學生表示上課“只記不理解”；很多學生也表示“實變函數學十遍，泛函分析心犯寒”。此外，對于數學專業學生而言，泛函分析是考研復試必考科目。針對這種情況，充分挖掘思政元素與泛函分析教學的合理切入點，將思政要素融入課堂教學各環節，推動學生全方面成長，是非常必要的。

二、泛函分析課程思政建設的可行性

（一）融入學科發展歷史，增強學生的愛國情懷

泛函分析是從變分問題、積分方程和理論物理的研究中發展起來的，綜合運用函數論、幾何學、現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的泛函、運算元和極限理論。國內外數學家、物理學家對泛函分析的發展和廣泛應用都有重要貢獻。授課過程中，融入數學史及中國數學家簡介，打造嚴謹又溫暖的數學課堂。

例如，關肇直是我國著名的數學家，是中國現代控制理論的開拓者與傳播人。國內第一本泛函分析教程是他于1958年在北大開課時寫出來的。為響應國家關于理論聯系實際、科學技術為國民經濟建設服務的號召，我國著名數學家田方增及時結合數學物理、國防科技數學開展泛函分析的工作，與關肇直合作共同開辟了中國原子能科學技術領域中“粒子遷移理論的數學問題”之研究，填補了中國在尖端科學技術領域中數學研究工作的一個空白，在中國成功地探索出應用泛函分析的一個重要科研領域。

用新時代的話語，潤物無聲地把數學家的故事適時融入相關知識的教學中，讓學生感受到數學知識的更迭和數學家對知識的孜孜追求，增強學生的愛國情懷，激發學生民族自豪感和文化自信意識的共鳴。

（二）構建課程之間的橋梁，培養學生的分析思維

泛函分析課程涉及大量的數學分析、實變函數、復變函數、拓撲學知識，與高等代數、常微分方程、偏微分方程等課程的知識緊密相連。如泛函分析課程中的算子理論和算子譜理論主要介紹了Banach空間中有界線性算子的基本定理及其應用、有界線性算子的基本性質、有界自共軛算子和緊算子譜的性質，這些內容是泛函分析應用于數學物理方程、概率論、計算數學等學科的核心。

新時代下，如何在教學過程中將前期所學知識有效地應用到泛函分析的授課中，加強課程之間的聯系？如何由淺入深、由易到難地進行知識講解，培養學生的抽象思維能力和分析、解決問題的能力？這些問題的有效解決，都是泛函分析的教學過程中培養學生分析思維的關鍵。

例如，距離空間中壓縮映射定理及其應用，將“方程的求解”問題轉化為“求映射的不動點”問題，用逐次迭代法求不動點（見圖1）。此方法是計算數學、分析和代數中常用的一種重要方法。

圖1 “方程的求解”問題轉化為“求映射的不動點”問題流程圖

例如，（Riesz引理）設X為一賦范線性空間，M為其閉線性真子空間。對任意ε∈（0，1）存在x0∈X-M使得且d（x0，M）|＞ε。在講解Riesz引理時引導學生探索有限維賦范線性空間中Riesz引理的實質。學生分組討論了歐氏空間R3和R2中的Riesz引理，進一步分析比較了Hilbert空間中的Riesz引理。以R3中Riesz引理的分析為例，在R3中選取過原點的平面3y-4x+0z=0，即點集M={（x，y，z）|3y-4x+0z=0，（x，y，z）∈R3}。記R3中元素為β≡（x，y，z），討論ε的取值對于滿足d（β，M）>ε的β的影響。事實上，Riesz引理結論中‖β‖2=x2+y2+z2=1且的點β在與平面3y-4x+0z=0垂直的直線族4y+3x=C（C∈R）上。特別地，當ε=1時，C=0；當ε=0.5時，先得到滿足d?？梢钥吹?，當ε=1時，僅有兩個點滿足引理要求；當ε=0.5時，滿足引理要的點有無數多個且分布在兩段對稱的球冠上。

圖2 R3中Riesz引理的分析

圖3 R2中Riesz引理的分析

（三）增加實踐教學環節，提高學生的操作能力

信息時代下，通過粉筆將課本上的知識搬到黑板上這一傳統的教學方式，已經不適用當代大學生了。傳統的教學方式，側重解題過程而忽略與學生的互動，較少關注學生的個性化需求，學生往往處于盲目被動學習過程。此外，泛函分析知識的抽象性極度限制了學生學習泛函分析過程中與實踐相結合的積極性。面對這種實際問題，教師帶領學生還原數學知識的生活背景，引導學生使用Matlab等數學軟件實現與知識點有關的數學模型，通過具體例子使學生深切體會到泛函分析中所謂的抽象，降低學生學習這門課的抽象感，培養學生運用計算機解決實際問題的能力。

例如，針對距離空間中ε-網知識點，引導學生采用ε-網回顧了1999年全國大學生數學建模競賽B題第一問，啟發學生在二維歐氏空間中考慮不同距離定義解答該問題，并進一步使用Matlab軟件實現。部分學生將12個舊井點集合記為A={pi：i=1，2，…，12}，新井點集合為B={qi：i=1，2，…，100}（以新建坐標系的單位網格總結點數為新井點數），記以新井點qi為中心，以ε為邊長的一個方形鄰域為S（qi，ε），即A?qi∈∪BS（qi，ε）。本題選定ε=0.05，即A具有一個0.05-網，該題旨在解決在確定A的一個0.05-網時滿足方形鄰域S（pi，ε）內包含舊井點pi個數最多的方案問題。圖4中，*表示集合A中的所有元素，△表示集合B中的所有元素，繪制的圓即為集合B生成的ε-網，由圖4可以明顯看出該ε-網完美覆蓋了A中的所有元素。

圖4 ε-網繪制結果示意圖

三、結語

思政要素融入數學專業課程教學是一種新的教學模式，更是必然趨勢。數學課堂中的課程思政，從加減乘除、方程公式和定理論證到課程育人，表于知識點、深于思維、貴在內化、成于育人，強調的是“潤物細無聲”，將德育內化于課堂教學中，培養學生的創新精神和創新能力，讓學生在學習具體科學知識的同時得到價值觀的熏陶，最終實現“知識傳授、能力提升、價值引領”的育人效果。