重視幾何定理教學，提升數學推理能力

◎李 毅

(江蘇省揚州市揚州大學附屬中學東部分校,江蘇 揚州 225001)

2022年版義務教育數學課程標準提出了數學核心素養，其構成包含“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”.而推理能力是初中階段數學核心素養的重要組成部分，故引導學生尋求證明方法、探究規律，培養學生推理證明的意識與能力是我們初中數學教師的重要任務.在課堂教學中該怎樣落實學生推理能力的提升？本文以蘇科版數學八年級上冊“1.3探索三角形全等的條件”的課堂教學設計為例，談談筆者的一些具體做法和思考.

一、課前思考

(一)教材分析

八年級上冊第一章是關于全等三角形的性質與判定，學生在七年級下學期已學習了構成三角形的基本元素及其內部的邊角關系，對三角形的特征已有初步認識，能完成較簡單的幾何問題的推理證明，在本章又學習了全等圖形的概念和一般三角形全等的判定方法(邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊)，了解了全等判定中邊與角的幾種能夠確定三角形形狀和大小的基本關系，以及根據已知條件運用尺規作三角形的方法，具備了“提出問題—作三角形—判斷是否全等—得出結論”的探究三角形全等的方法，為學生自主探究直角三角形全等打下了基礎.但學生的認知水平和推理能力有限，而“斜邊、直角邊”定理作為“邊邊角”的一個特例是教學的一個難點，并且理解“斜邊、直角邊”和“邊邊角”的區別和聯系，可以幫助學生更深入地理解本章知識.

(二)教學目標

知識與技能：能夠證明“斜邊、直角邊”定理，進一步理解證明的必要性，能熟練運用“斜邊、直角邊”定理判定兩個直角三角形是否全等，并能解決一些簡單的問題.

過程與方法:經歷探索、證明“斜邊、直角邊”定理的過程，發展合情推理和演繹推理的能力,滲透類比思想、化歸思想、模型思想、特殊與一般思想.

情感、態度和價值觀：通過定理證明、例題分析過程的教學，使學生在數學學習中體驗數學推理證明的樂趣，獲得成功的喜悅.

(三)教學重難點分析

重點： “斜邊、直角邊(HL)”定理的證明和應用.

難點： “斜邊、直角邊(HL)”定理的發現與證明.

二、教學設計

(一)情境設置

問題1：同學們，判定三角形全等，前面幾節課我們已經學習了哪些方法？

學生1：邊角邊(SAS)、角邊角(ASA)、角角邊(AAS)、邊邊邊(SSS)四種方法.

問題2：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊是，直角邊是和.

問題3：如果給你兩個直角三角形，除直角相等以外，那么得到兩個三角形全等，還要滿足哪幾個條件？(要求學生先獨立思考1分鐘，大膽猜測，然后將結論寫在學案上.)

學生回答，教師補充并梳理，師生共同得出以下四個判定方法.

兩個直角三角形滿足的條件全等依據方法1兩條直角邊分別相等SAS方法2一個銳角和一條直角邊分別相等“ASA”或“AAS”方法3一個銳角和斜邊分別相等“AAS”方法4斜邊和兩條直角邊分別相等“SSS”

問題4：除了這四種判定方法，還有沒有其他判定方法可得到兩個直角三角形全等呢？

學生思考：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形是否全等？

【設計意圖】問題1通過對四個全等三角形判定方法的復習回顧，為判定直角三角形全等方法的探究做了準備.這樣設計可使學生進行類比學習，在對比已學判定方法的過程中進行新知識的學習.一節課學下來，學生能感悟到知識與方法之間的內在聯系，新內容沒有增加多少，記憶的負擔也減輕了很多.類比是數學推理方法的一種重要形式，合理運用“類比”進行學習有助于學生從整體上理解所學的數學知識，從而構建數學知識體系.問題2是復習直角三角形的相關概念.問題3有一定的開放性，為引出“HL”定理留下伏筆，給學生一定的思考時間是盡可能讓每個學生在課堂上都能有發現和展示的機會.

(二)探究過程

探究1已知:如圖2，已知Rt△ABC，其中∠C=90°.

求作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,C′A′=CA，A′B′=AB.

作法:

(1)作∠PC′Q=∠C=90°;

(2)在C′Q上截取C′A′=CA;

(3)以A′為圓心、AB長為半徑畫弧,交C′P于點B′;

(4) 連接A′B′， 則Rt△A′B′C′(如圖3)即為所求作的三角形.

教師：將畫好的Rt△A′B′C′與Rt△ABC疊加在一起,看看它們能否完全重合?

(直接給出畫法，讓學生根據畫法進行作圖，是考慮到學生在尺規作圖上有一定的困難.)

問題5：兩個直角三角形為什么全等？

學生2：作圖中，以頂點A′為圓心、線段AB長為半徑畫圓弧，它與另一直角邊只能產生一個交點，因此這樣的三角形是唯一的.

學生3：通過測量看B′C′=BC(或∠A′B′C′=∠ABC，∠B′A′C′=∠BAC)是否成立，若成立，就可以結合已知條件A′C′=AC，A′B′=AB判定這兩個直角三角形全等.

問題6：從剛才的作圖中，大家有什么發現？能否用數學命題的形式歸納一下你的猜想？

學生4：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形全等.

【設計意圖】尺規作圖能提升學生的動手能力，讓其觀察、思考、操作、猜想、驗證，從而培養學生讀題、識圖的能力，提升學生觀察與分析的能力.讓學生自己思考怎樣運用前面的四種判定方法，而不是由教師提出，這樣不僅對學生已學判定的掌握情況進行了考察，而且讓學生在應用中進行了鞏固和靈活運用.而教師通過追問“兩個直角三角形為什么全等”，讓學生經歷了發現問題、分析問題、解決問題、總結規律的過程，有助于學生知識體系的自主建構，理性思維能力的提升.這樣的類比學習不僅得到了結論，而且揭示了規律，同時減輕了學生的負擔，提升了學生學習數學的興趣.

探究2如何證明猜想：“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”.

已知：如圖4，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求證：△ABC≌△A′B′C′.

(學生獨立思考2～3分鐘，如有困難，可進行小組合作交流.)

問題7：能否直接用已學過的四個全等判定方法來證明？你遇到了什么困難？

學生：不能直接用，還缺一條直角邊或一個銳角對應相等.

問題8：能否運用現有圖形構造出兩個新的三角形滿足之前的全等判定方法？

學生積極思考、畫圖，交流思考結果，得出了可行的方案，形成了證明過程.

定理內容：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡記為“HL”或“斜邊、直角邊”.

隨后，教師和學生一起總結“HL”定理及其注意點，強調“HL”定理的使用前提必須是在直角三角形中，即除了滿足斜邊和直角邊對應相等，還有隱含條件“Rt△”，同樣需要三個條件，由此規范學生的數學語言表達.

【設計意圖】對于“HL”定理的證明，學生當然不能通過勾股定理或直角三角形斜邊上的中線的性質、等腰三角形的等邊對等角來驗證，這些知識點在蘇科版教材中都是在全等之后學習的，所以“HL”定理的證明需要構造新三角形，運用已學過的四個全等的判定方法來證明.但是在之前幾何證明的過程中，學生很少接觸構造法，所以教學中的難點也就是如何引導學生想到根據現有條件構造出新的全等三角形.學生獨立思考后再進行小組合作探究，就會想到構造等腰三角形.學生通過“HL”定理的推導可體驗從特殊到一般的思維方式，接觸轉化的思想，發展合情推理與演繹推理的能力，并在數學學習中體驗數學推理證明的樂趣，培養嚴謹的治學態度和創造性解決問題的能力.

(三)定理應用

例1如圖6，已知AD=BC，∠ACB=∠BDA=90°，求證：AC=BD.

證明在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°.

∴AC=BD.

師生活動：學生先獨立思考，口述證明思路，之后寫出證明過程，教師規范證明步驟.

證明線段相等，可轉化為用“HL”定理證明直角三角形全等來解決，只需挖掘到隱含條件有公共斜邊即可，此題較為基礎，目的是加強學生對定理的熟悉程度，鞏固使用定理的書寫格式.

變式訓練：

(1)若AC=BD,∠C=∠D=90°，則Rt△ABC≌Rt△BAD是否成立？試說明理由.

(2)若AD=BC,∠DAB=∠CBA，則△ABC≌△BAD是否成立？試說明理由.

(3)若AD=BC,BD=AC，則△ABC≌△BAD是否成立？試說明理由.

(4)若∠DAB=∠CBA，∠C=∠D=90°，則Rt△ABC≌Rt△BAD是否成立？試說明理由.

(5)若圖中AC,BD相交于點E，圖中還有其他的全等三角形嗎?你是怎樣證明的?

【設計意圖】通過例題讓學生熟悉用“HL”定理證明兩個直角三角形全等的基本思路，同時感悟到除了“HL”定理，前面所學習的四種判定方法也可適用于證明直角三角形全等.變式訓練中的5個小問題，目的在于讓學生靈活運用知識解決問題，培養其邏輯推理能力和發散思維能力.

例2如圖7，有兩個滑梯，它們的長度相等，左邊滑梯水平方向的長度AB與右邊滑梯的高度DE相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？

解∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：

由題意，可得△ABC與△DEF均是直角三角形，且BC=EF，AB=DE.

∴Rt△ABC?Rt△DEF(HL)，∴∠ABC=∠DEF.

∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°.

【設計意圖】例2是運用“HL”定理解決實際問題，在問題解決中，筆者注重培養學生學會抽象出幾何圖形，建立模型，讓學生體會到數學與現實的聯系，數學在實際生活中的應用價值，以及處理此類問題的一般方法.

(四)當堂反饋

1.如圖8，在△ABC與△DCB中，已知∠BAC=∠BDC=90°，請你添加一個條件(不添加字母和輔助線)，使AB=CD，你添加的條件是________.

2.如圖9，△ABC中，BD⊥AC于D，若根據“HL”定理判定△ABD≌△CBD，還需要加條件________.

3.如圖10，GH∥MN，AC⊥GH，點A,B,C,D分別在直線GH與MN上，點E在AC上，AB+CD=10，AE=CD，BE=ED，則AC=________.

4.如圖11，AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，請你根據這些條件自編一個結論，并寫出證明過程.

【設計意圖】第1，2題均為讓學生去增加條件判定全等，不同之處是，第1題沒有限定判定方法，是開放式答案，目的是讓學生總結判定直角三角形全等的方法，第2題限定了本課學習的“HL”定理，目的是讓學生提煉“HL”定理需要哪些條件，鞏固本節課的知識.第3題考查學生對“HL”定理的證明及應用，訓練學生對“HL”定理的靈活運用及幾何語言書寫.第4題也是一道開放性問題，考查學生綜合運用的能力，培養學生的發散性思維.

(五)課堂小結

(1)判定兩個直角三角形全等的條件有哪些？

(2)“HL”定理的使用需要幾個條件？

(3)本節課，同學們在“HL”定理的探究過程中有什么體會？

【設計意圖】及時小結，進行反思，優化認知結構，通過學生自主回顧表達知識建構過程，培養其歸納能力.

三、反思

關于數學素養，義務教育數學課程標準在初中階段提出了九個核心概念，在教學中我們應當給予充分的關注.本節課筆者以問題探究為課堂主線，在推理證明中合理滲透數學思想方法，解決并突破難點，在學生已有的一般三角形全等的四個判定方法的基礎上，讓其進一步探究直角三角形全等的特殊判定方法，從而充分認識特殊與一般的關系.在定理的探究過程中，筆者引導學生進行動手操作，通過作圖、剪紙、疊合、思考、合作探究等方式，體驗定理的驗證過程，化解本節課的難點.例1以及鞏固訓練既進一步強化了學生對定理的認識，又激發了學生的探究意識，提高了學生的數學學習興趣，將核心素養落到實處.例2是“HL”定理的實際應用，問題解決中注重培養學生抽象出幾何圖形的能力，建立模型研究具體問題，學生也體會到數學的實際應用價值，以及解決實際問題的一般性方法.本課教學中，數學邏輯推理主要體現在類比、化歸、歸納等數學思想方法的使用上，這些數學思想方法的滲透有助于學生數學素養的提升.本課還有效地運用了合情推理與演繹推理，學生由合情推理產生猜想，教師在此基礎上進行課堂教學，引導學生對猜想進行反思、抽象、概括，進而通過演繹推理完成猜想的證明，從而完成從合情推理到演繹推理的過渡.