智能汽車軌跡跟蹤與橫擺穩定性協同控制

劉紅鑠，陶 剛，李德潤，張 曦，龔建偉，

（1.北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081；2.北京理工大學重慶創新中心，重慶 401120）

現有的智能汽車駕駛系統包括環境感知和定位、決策規劃以及車輛控制［1］。智能汽車駕駛系統的目的是使車輛能夠安全穩定地行駛。車輛行駛道路可以分為直線道路和曲線道路，當車輛在曲線道路下行駛時車輪會承受更復雜的橫縱向耦合作用力，李煒等［2］研究發現，智能汽車在曲線道路下難以在保證穩定性的同時進行高精度的運動控制。當前對于智能汽車控制的研究主要分為路徑跟蹤和軌跡跟蹤兩個方面。

路徑跟蹤中的參考軌跡點為不包含速度信息的路徑點［3］，通常假設車輛的行駛工況為勻速工況，通過主動轉向實現對車輛的橫向控制。現有的研究通常采用模糊邏輯控制、PID控制、模型預測控制、線性二次調節控制等方法及其結合的方式設計路徑跟蹤控制器［4-7］。雖然在路徑跟蹤的研究中忽略了車輛的參考速度，但是將車輛的實際速度作為不確定信息添加到了路徑跟蹤控制器中，可以提高控制器的魯棒性［8］。軌跡跟蹤同時考慮車輛的橫向運動和縱向運動，更滿足車輛的實際行駛需求，其設計的控制器分為解耦式和耦合式兩種。在解耦式軌跡跟蹤控制器的研究中，鄭戍華等［9］采用粒子群PID控制算法分別設計了橫向控制器和縱向控制器，在橫向控制器中忽略了縱向速度的變化。在耦合式軌跡跟蹤控制器的研究中，SONG Xiaohua等［10］提出了一種時變模型的軌跡跟蹤方法，實現了低速復雜駕駛條件下的軌跡跟蹤，但是未對高速場景進行驗證。陳龍等［11］建立了橫縱向耦合的動力學模型，通過非線性模型預測控制器實現了對期望路徑和期望縱向速度的跟蹤控制，但其設置的跟蹤速度為勻速，未對變速情況下控制器的跟蹤能力進行驗證。

為提高智能汽車穩定地通過變曲率彎道的能力，以四輪獨立驅動智能電動汽車為研究對象，設計了模型預測控制與直接橫擺力矩控制協同控制規則。本文的主要貢獻在于：

（1）建立了橫縱向耦合的車輛動力學模型，并利用2階龍格庫塔離散法保證了模型的離散精度，保證控制器具有對變速工況精確跟蹤的能力。

（2）基于簡化的2自由度動力學模型推導了車輛橫擺穩定性約束，利用模型預測控制器顯示處理約束的能力提高了智能汽車的橫擺穩定性。

（3）設計了直接橫擺力矩控制與模型預測控制的協同控制規則，利用直接橫擺力矩控制能夠改變車輛橫擺角速度與航向角的特點，補償了模型預測控器作為非線性規劃問題存在的無法求得可行解的問題，以及添加約束后導致最優性降低的問題，在保證控制精度的條件下提高了車輛行駛的穩定性。

1 車輛動力學模型

為了滿足模型預測控制算法對狀態預測的要求，預測模型應能夠準確描述車輛的運動學約束和動力學約束，從而預測車輛未來時刻的狀態。忽略道路垂向變化，對車輛進行受力分析，車輛受力如圖1所示。

圖1 車輛受力圖

假設車輛前輪轉向角相等，汽車的縱向動力學、橫向動力學和橫擺動力學方程分別為：

式中：Vx、Vy、、分別為縱、橫向速度和加速度；ψ?為車輛橫擺角加速度；ψ?為車輛橫擺角速度；δ為前輪轉向角；M為汽車總質量；Iz為車輛繞z軸的轉動慣量；Lf、Lr為質心到前后軸的距離；Lb為輪距的一半；Fxij為輪胎縱向力，Fyij為輪胎側向力，ij=lf，rf，lr，rr分別表示車輛的左前輪、右前輪、左后輪、右后輪。

輪胎所受縱向力由各個輪胎受到的牽引力矩決定，車輛總牽引力矩可表示為：

式中：TW為車輛總牽引力矩；TDmax和TBmax為車輛最大驅動力矩和最大制動力矩；T為驅動指令，其值在-1和1之間。

對輪胎縱向力進行分配：

式中：Txr為前輪總縱向力矩；Txf為后輪總縱向力矩；ζ為前后輪縱向力矩分配系數，本文按平均分配原則，取ζ為0.5；Re為輪胎有效半徑；Fxi為軸上輪胎縱向力之和，i=f，r分別表示前輪和后輪，軸上左右輪胎縱向力分配原則見2.2節。

考慮在變曲率道路下輪胎受力的非線性，采用魔術公式［12］對輪胎側向力進行計算：

式中：B，C，D，E為特性參數，通過輪胎試驗數據擬合得到；αij為輪胎側偏角，ij=lf，rf，lr，rr分別表示車輛的左前輪、右前輪、左后輪、右后輪。

2 軌跡跟蹤控制器

2.1 非線性模型預測控制器

采用模型預測控制算法作為軌跡跟蹤的基本控制策略。模型預測控制算法的目標是在預測時域內計算得到一系列的控制序列，當將此控制序列輸入預測模型時，由參考軌跡和車輛狀態之間的差值設計的損失函數在滿足約束條件下最小。將控制序列中的第一個控制量作為實際控制量，實現車輛控制，完成軌跡跟蹤。

為計算參考軌跡與車輛狀態之間的差值，需要對車輛位置進行描述。車輛慣性坐標系與全局坐標系的關系轉換解析式為：

式中：X，Y為全局坐標系下的車輛坐標；ψ為車輛航向角。

結合式（1）～（3）、式（13）～（14），建立模型預測控制器的非線性動力學狀態方程為：

式中：ξ為狀態變量，u為控制變量，u=[δT]T；Fxf為前輪總縱向力；Fxr為后輪總縱向力；Fyf為前輪總橫向力；Fyr為后輪總橫向力；ψ?的具體解析式如式（3）所示。

式（15）為連續時間狀態方程，為在模型預測控制器中實現狀態預測，需要對其進行離散化。推導適用于車輛非線性動力學狀態方程的2階龍格庫塔離散法，由此得到預測車輛狀態為：

式中：H為模型預測控制器的采樣時間；ξk為車輛當前時刻狀態量；uk為當前時刻控制量；ξk+1為預測車輛下一時刻狀態量。

通過離散化模型得到的車輛預測狀態信息與參考軌跡信息，可以構造模型預測控制器的損失函數。選取縱向位置誤差el、橫向位置誤差ec、航向角誤差eo和速度誤差ev設計誤差函數，以實現對參考路徑和參考速度的綜合跟蹤，誤差示意圖如圖2所示。

圖2 誤差示意圖

對于跟蹤過程中還需要要求控制量的穩定性，因此設計控制量約束函數與誤差函數相協同，得到損失函數為：

考慮到變曲率道路下控制指令的時變性和非線性，當輪胎受到的橫縱向耦合力接近飽和時，繼續增大前輪轉向角會使輪胎側偏力急劇增大，使智能汽車喪失橫擺穩定性導致危險的發生。因此，對于變曲率道路下行駛的智能汽車必須進行橫擺穩定性控制。

式（1）～（3）橫縱向耦合的動力學模型可以滿足四輪縱向獨立驅動的需求。在建模過程中對車輛橫向動力學進行了簡化，假設左右前輪轉向角一致；并且當不介入直接橫擺力矩控制時，左右車輪的縱向力相同，因此縱向力不影響橫擺穩定性的分析，可將式（1）和式（3）簡化為單軌動力學模型，對前輪轉向角δ作小角度假設，得到：

式中：Fyf為前輪總橫向力，Fyr為后輪總橫向力，由式（8）~（12）可得：

式中：Cαi為輪胎名義側偏剛度，αi為輪胎名義側偏角，其中i=f，r分別表示前輪和后輪。

車輛的側向力大小受路面摩擦因數的制約，根據式（22）可知，車輛的側向加速度由兩部分組成，由向心力產生的側向加速度通常占85%，因此，車輛橫擺角速度的閾值為：

為防止車輛在轉彎過程中發生側滑喪失穩定性，車輛都被設計為具有不足轉向特性，質心位置在中性轉向點之前，前輪側偏角和側偏力均大于后輪，所以根據式（22）～（26）和地面附著力限制，對車輛前輪進行橫擺穩定性約束，如式（27）所示。

式中：αf，lim為保證車輛安全的前輪極限側偏角。

構建非線性規劃問題得到模型預測控制器為：

式中：N為模型預測控制器的時域長度，控制時域與預測時域長度相同。

2.2 直接橫擺力矩協同控制

模型預測控制器本質上是求解一個帶有不等式約束的非線性規劃問題。通過非線性動力學方程構建目標函數，考慮車輛橫擺穩定性添加不等式約束，使非線性規劃問題的最優解在約束范圍內，從而保證車輛的橫擺穩定性。但是包含不等式約束的非線性規劃問題可能不存在可行解，求得的最優解超出可行域范圍，當智能汽車將該最優解作為控制量執行時，會使車輛的橫擺角速度超出約束范圍，增加車輛失穩的風險。

直接橫擺力矩控制通過獨立控制各個車輪的驅動力或制動力，使車輛左側車輪和右側車輪之間或是前側車輪與后側車輪之間受力不同產生主動橫擺力矩，直接控制車輛的橫擺角速度。利用模型預測控制器輸出的最優控制量和車輛預測狀態，使用直接橫擺力矩控制器對期望橫擺角速度進行跟蹤，保證車輛執行模型預測控制器輸出的最優控制量時橫擺角速度始終在約束范圍之內。

假設前輪轉向角δ在控制周期內保持穩定，根據式（17）模型預測控制器預測得到的車輛未來時刻狀態量，以及式（27）和式（29）得到符合橫擺穩定性約束的期望橫擺角速度為：

直接橫擺力矩控制器通過對期望橫擺角速度的跟蹤，使智能汽車的橫擺角速度保持在穩態橫擺角速度附近，保證車輛的橫擺穩定性。由于車輛設計為轉向不足特性，車輛前輪受力更容易接近飽和，根據式（27）通過模型預測控制器對前輪的橫擺穩定性進行約束，所以直接橫擺力矩控制器利用后輪的富余附著力產生主動橫擺力矩，與模型預測控制器輸出的最優控制量協同作用，跟蹤期望橫擺角速度。根據式（5）～（7），式（17）和式（30）得到智能汽車輪胎縱向力的分配為：

通過式（32）的等式約束，保證車輛的縱向總力在直接橫擺力矩協同控制執行前后不變，從而保證智能汽車的縱向跟蹤性能不受影響；通過式（33）的不等式約束，保證車輪上的附著力不會因為直接橫擺力矩協同控制超過其附著極限，從而保證車輛的行駛安全。

式中：Fzir為輪胎的垂向力，其中i=l，r分別表示左輪和右輪；μ為附著系數。

如圖2所示，直接橫擺力矩控制器在調整車輛橫擺角速度的同時也改變了車輛的航向角，影響了智能汽車的軌跡跟蹤精度。當參考軌跡在車輛逆時針方向時，逆時針的主動橫擺力矩會使智能汽車航向偏向于參考軌跡，使其趨向于減小橫向誤差；順時針的主動橫擺力矩會使車輛航向遠離參考軌跡，使其趨向于擴大橫向誤差。

綜合考慮跟蹤誤差和橫擺穩定性，設計主動橫擺力矩控制與模型預測控制協同控制規則，當預測橫擺角速度超出期望橫擺角速度時，在不影響橫向跟蹤誤差的前提下維持車輛的橫擺穩定性；當預測橫擺角速度未超出期望橫擺角速度時，利用富余的橫擺穩定性減小橫向跟蹤誤差。轉向控制指令為逆時針時，δ為正；參考軌跡在車輛逆時針方向時，ec為正。協同控制規則如圖3所示。

圖3 協同控制規則

當模型預測控制器中存在不可行解時，通過與直接橫擺力矩控制器的協同控制減小車輛的橫擺角速度，保證車輛的橫擺穩定性，進一步提高了控制器的魯棒性。協同控制對橫向跟蹤誤差的優化也彌補了模型預測控制器中存在的約束條件與最優性相矛盾的問題，同時保證了智能汽車的跟蹤精度和穩定性。

3 仿真試驗研究

為驗證本文控制方法的有效性，基于CarSim/Simulink軟件對MPC-DYC協同控制器進行軌跡跟蹤仿真。選擇變曲率U型彎作為參考路徑，驗證本文控制方法通過變曲率彎道的跟蹤精度和穩定性；參考路徑的最大速度為70 km/h，根據參考路徑曲率信息和加速度限制設計參考速度，驗證本文控制方法對變速軌跡的跟蹤能力。參考路徑曲率信息如圖4所示，最大曲率為0.02 m-1。參考速度信息如圖5所示，道路允許最大速度為70 km/h，進入彎道時減速，駛出彎道時加速，最小速度為56 km/h。

圖4 軌跡曲率

圖5 軌跡參考速度

分別用經典MPC控制器、考慮橫擺穩定性約束的MPC控制器、DYC-MPC協同控制器對變曲率U形彎進行跟蹤。軌跡跟蹤效果如圖6所示，3種控制器都能較好地跟蹤參考軌跡，在軌跡曲率最大處，DYC-MPC協同控制器的行駛軌跡距離參考軌跡最近，進行橫擺穩定性約束的MPC控制器的行駛軌跡距離參考軌跡最遠。

圖6 跟蹤軌跡對比

對軌跡跟蹤精度進行觀察。橫向跟蹤誤差如圖7所示，3種控制器的最大橫向跟蹤誤差均發生在曲率最大處，考慮橫擺穩定性約束的MPC控制器誤差最大，DYC-MPC協同控制器誤差最小；整體趨勢看DYC-MPC協同控制器橫向誤差曲線距離0參考線最近，考慮橫擺穩定性約束的MPC控制器橫向誤差曲線距離0參考線最遠，與圖6所示的跟蹤軌跡效果一致。航向跟蹤誤差如圖8所示，在進入彎道路段，經典MPC控制器與考慮橫擺穩定性約束的MPC控制器的航向跟蹤誤差曲線基本一致，駛出彎道路段，考慮橫擺穩定性約束的MPC控制器的航向跟蹤誤差曲線與經典MPC控制器相比更接近0參考線，而DYC-MPC協同控制器在全路段均最接近0參考線。速度跟蹤誤差如圖9所示，3種控制器速度跟蹤誤差曲線基本一致，MPC控制器速度跟蹤的均方根誤差為0.015 9 m/s，考慮橫擺穩定性約束的MPC控制器速度跟蹤的均方根誤差為0.017 2 m/s，DYC-MPC控制器速度跟蹤的均方根誤差為0.015 7 m/s，說明3種控制器均具有較好的速度跟蹤能力，且DYC-MPC控制器提升了MPC控制器的縱向軌跡跟蹤能力。

圖7 橫向跟蹤誤差對比

圖8 航向跟蹤誤差對比

圖9 速度跟蹤誤差對比

從橫擺穩定性角度考慮，如圖10所示，進行橫擺角速度約束后MPC控制器產生的橫擺角速度降低，但在某些工況下仍然超出橫擺角速度閾值，說明此時MPC控制器沒有可行解；DYC-MPC協同控制器產生的橫擺角速度始終保持在閾值內，保證了車輛的橫擺穩定性。整體來看，DYC-MPC協同控制器產生的橫擺角速度最低，經典MPC控制器產生的橫擺角速度最高。

產生直接橫擺力矩的后輪驅動轉矩如圖11所示，結合圖4和圖10可知，在54 m處、76 m處和104 m處，道路曲率發生變化導致車輛產生較大的橫擺角速度，通過左后輪和右后輪之間的轉矩差產生橫擺力矩，使橫擺角速度值減小至閾值之下。

圖10 橫擺角速度對比

圖11 后輪轉矩分配

4 結論

（1）建立了橫縱向耦合的車輛動力學模型，采用2階龍格庫塔離散法保證了離散模型的精度。試驗結果表明，基于此模型設計的軌跡跟蹤控制器能夠精確地跟蹤變速變曲率軌跡，具有較好的路徑跟蹤能力和速度跟蹤能力。

（2）考慮變曲率道路下橫縱向耦合力的突變性和不穩定性，根據簡化的車輛單軌動力學模型設計了橫擺穩定性約束條件，基于非線性模型控制理論建立了上層控制器。試驗結果表明，進行橫擺穩定性約束的MPC控制器與經典MPC控制器相比降低了車輛行駛的橫擺角速度，增強了智能汽車的橫擺穩定性；控制器的航向跟蹤誤差有所降低，但是橫向跟蹤誤差增大，損失了跟蹤精度。在曲率發生變化的工況下，進行橫擺穩定性約束的MPC控制器存在無可行解的情況，在車輛實際行駛中表現為橫擺角速度超出閾值。

（3）利用直接橫擺力矩控制能夠改變車輛橫擺角速度和航向角的特點，考慮模型預測控制器的預測狀態、控制量以及跟蹤誤差，設計了協同控制規則，建立了DYC-MPC協同控制器。仿真結果表明，DYC-MPC協同控制器與進行橫擺穩定性約束的MPC控制器相比進一步降低了橫擺角速度和航向跟蹤誤差以及速度跟蹤誤差，保證了橫擺角速度始終在閾值內并且補償了模型預測控制器中的約束條件造成的橫向跟蹤誤差，使控制器的跟蹤精度和橫擺穩定性均得到提高，實現了多目標綜合控制。