具有反應擴散項的時滯Cohen-Grossberg神經網絡的同步

徐紫莉, 龍志文, 陳欣冉, 馬中翠

(1.安徽理工大學數學與大數據學院，中國 淮南 232001；2. 湖南人文科技學院數學與金融學院，中國 婁底 417000)

1983年，Cohen和Grossberg在文獻[1]中提出了Cohen-Grossberg 神經網絡，它是一種更為廣義的神經網絡模型，在形式上描述了來自神經生物學、人口生態和進化理論等領域的一大類模型，被廣泛應用于模式識別、信號和圖像處理、聯想記憶等領域。近些年來，關于Cohen-Grossberg神經網絡的穩定性和同步問題引起了廣大科研工作者的關注，例如自適應同步[2]、牽引同步[3]、指數穩定[4]及魯棒穩定[5]等。然而正如文獻[6]中所述，由于神經元之間信號傳遞的速度是有限的，因而在神經網絡中不可避免地會出現時滯現象，它可能會導致系統不穩定，甚至會產生震蕩和混沌現象。因此，在Cohen-Grossberg神經網絡模型中引入時滯是有必要且有意義的。目前，已有許多關于時滯Cohen-Grossberg 神經網絡動力學的研究成果，例如，文獻[7]中研究了一類具有混合時滯的Cohen-Grossberg 型BAM脈沖神經網絡周期解的存在性和全局指數穩定性，文獻[8]研究了具有時變時滯的隨機Cohen-Grossberg 神經網絡的全局魯棒穩定性，文獻[9]研究了具有混合時滯的Cohen-Grossberg 神經網絡周期解的指數穩定性。

另一方面，神經網絡通過電子電路實現，電磁場的密度一般來說并不均勻，當電子在不均勻的電磁場中運行時，會產生擴散現象，這使得通過電路實現的神經網絡模型的結構和動力會發生重大改變。因此，在神經網絡模型中引入反應擴散項，具有更好的實際指導意義。目前關于具有反應擴散項的神經網絡同步問題受到了大量學者的關注，比如，文獻[10]研究了具有混合時滯隨機反應擴散神經網絡的脈沖同步問題，文獻[11]研究了具有反應擴散項的時滯神經網絡的牽引同步，其它相關研究內容參考文獻[12-14]及其引用文獻。

值得指出的是，已有文獻中所研究的神經網絡同步問題都是漸近同步和指數同步，即驅動-響應系統趨于同步的時間是無限的，但在實際工程應用中，這種控制方案會增大控制成本，降低工作效率。因此，我們往往要求同步在有限時間內完成，例如安全通信、人工智能[15]等。然而，有限時間同步的穩定時間依賴于系統的初值，但在實際操作中，系統的初始條件難以調整甚至無法估計，這導致穩定時間最終難以確定。因而，Polyako首次提出了固定時間穩定性的概念[16]。固定時間同步克服了有限時間同步的不足，其穩定時間獨立于系統的初始條件并且是有界的，這促進了交通信號系統和電力系統等相關領域的發展。目前已有許多關于神經網絡系統固定時間同步的文獻[17-19]，但關于具有反應擴散項的時滯Cohen-Grossberg 神經網絡的有限/固定同步控制的研究成果較少。

基于上述討論，本文將對文獻[20]中的同步結果進行推廣改進，研究具有反應擴散項的時滯Cohen-Grossberg 神經網絡的有限/固定時間的同步問題。通過設計一種新穎的負指數狀態反饋控制器，基于不等式技術和Lyapunov穩定性理論，建立具有反應擴散影響的時滯Cohen-Grossberg 神經網絡的驅動-響應有限/固定時間同步的全新判據。

1 模型描述和預備知識

考慮如下具有反應擴散項的時滯Cohen-Grossberg神經網絡:

(1)

式中,y=(y1(t,x),y2(t,x),…,yn(t,x))T，yi(t,x) 表示第i個神經元在時間t和空間x處的狀態，x=(x1,x2,…,xm)T∈Ω 表示神經元的空間變量，Ω?Rm是一個具有光滑邊界的有界緊集且mes Ω>0，Dik>0為擴散系數，αi(·)表示第i個神經元的放大函數用以保證所研究系統解的存在性，βi(·)表示第i個神經元在t時刻的行為函數，aij和bij分別表示無時滯的連接權系數和有時滯的連接權系數，fj(·)表示第j個神經元的激勵函數，Ii代表第i個神經元的外在輸入，τ(t)(0≤τ(t)≤τ)是時變時滯。

賦予系統(1)的Dilichlet邊值和初值如下：

yi(t,x)=0, (t,x)∈[-τ,∞)×?Ω,

(2)

yi(s,x)=φi(s,x), (s,x)∈[-τ,0]×Ω,

(3)

將系統(1)作為驅動系統，其相應的響應系統如下：

(4)

式中：ui(t,x)是待設計的控制器，系統(4)中的參數意義與系統(1)的相同。

響應系統(4)的Dilichlet邊值和初值如下：

zi(t,x)=0, (t,x)∈[-τ,∞)×?Ω,

(5)

zi(s,x)=φi(s,x), (s,x)∈[-τ,0]×Ω,

(6)

定義誤差函數為ei(t,x)=zi(t,x)-yi(t,x)，則誤差系統為

(αi(zi(t,x))-αi(yi(t,x)))Ii+ui(t,x)。

(7)

為建立驅動系統(1)和響應系統(4)的有限/固定時間同步的動力學結果，我們作出如下假設。

(H2)：存在常數ξi>0,使得對任意的ui,vi∈R,ui≠vi，有

αi(ui)βi(ui)-αi(vi)βi(vi)≥ξi(ui-vi),i=1,2,…,n.

(H3)：對于任意的s1,s2,s∈R，存在常數lj>0,Fj>0，使得

|fj(s1)-fj(s2)|≤lj|s1-s2|, |fj(s)|≤Fj,i=1, 2, …,n.

下面給出本文所需的幾個定義和引理。

定義1[21]如果存在一個依賴于初始誤差函數e0的常數T(e0)>0，使得

成立，則稱驅動系統(1)和響應系統(4)達到有限時間同步，并稱T(e0)為穩定時間，‖·‖表示某種意義下的范數。

定義2[22]如果同步誤差系統(7)全局一致有限時間穩定，且穩定時間T全局有界，則稱同步誤差系統(7)全局固定時間穩定，即對任意的e0∈Rn，存在Tmax∈R+，有T(e0)≤Tmax。

引理1[22]設函數V(x(t)):Rn→R是正則的，并且函數x(t): [0 ，∞)→Rn在[0, +∞)中的任何子區間內絕對連續。如果存在連續函數K(t): [0, +∞)→R，且對任意的σ∈(0, +∞)，K(σ)>0，使得

V(x(t))≤K(V(t)),

并且

則對任意的t≥T，有V(x(t))=0。特別地，如果K(σ)=γση,γ>0, 0<η<1，則固定時間T為

引理2[16]假設一個連續徑向無界函數V:Rn→R+∪0，滿足

V(e)=0當且僅當e=0，

那么誤差系統(7)是固定時間穩定的，當t≥T(e0),V(e(t))=0，同步時間T(e0)具有如下估計，

2 主要結果

為實現驅動-響應系統(1)-(4)有限/固定時間同步，設計如下負指數狀態反饋控制器ui(t,x):

ui(t,x)=-p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖2θ-2)ei(t,x)-

(8)

其中

p1i,p2i和θ均為正常數，i=1,2,…,n。

定理1假定(H1)-(H3)成立，如果控制參數滿足

其中

則

(1)當0<θ<1時，驅動系統(1)和響應系統(4)會實現有限時間同步，

(2)當θ>1時，驅動系統(1)和響應系統(4)會實現固定時間同步。

證明構造如下的Lyapunov函數

(9)

對V(t)沿誤差系統(7)軌跡求導可得

p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖2θ-2)ei(t,x)-

(10)

首先，根據假設(H1)-(H3)，我們有

(11)

根據格林公式和引理3，得到

(12)

(13)

(14)

最后，將式(12)-(14)代入到式(11)得到

(15)

情形一當0<θ<1時，由引理1可得，在所設計的控制器(8)下，驅動-響應系統(1)和(4)可實現有限時間同步，其穩定時間為

情形二當θ>1時，由引理2可得，在所設計的控制器(8)下，驅動-響應系統(1)和(4)可實現固定時間同步，其穩定時間為

證畢。

注:文獻[20]中，作者利用Lyapunov穩定性理論以及不等式技巧，研究了文獻[20]中模型(1)的指數和固定時間同步問題，其中式(21)的計算結果難以驗證。因此，本文在其基礎上，設計了一種新穎的負指數態反饋控制器，進一步研究了文獻[20]中模型(1)的有限/固定時間同步問題，相比于文獻[20]所分析的同步過程來看，本文結果更易于計算。

3 數值仿真

例1考慮如下二維的具有反應擴散項的時滯Cohen-Grossberg神經網絡模型。

驅動系統為：

(16)

對應的響應系統為：

(17)

情形一有限時間同步：

對于驅動系統(4.1)，選取如下參數：

取θ=0.5，設計的控制器為

ui=-p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖-1)ei(t,x)-

(18)

容易驗證

因此假設(H1)-(H3)成立。此外，通過簡單計算，易得

2h1(|a11|+b11)F1+2h1(|a12|+b12)F2+2h1|I1|≈0.283,

2h2(|a21|+b21)F1+2h2(|a22|+b22)F2+2h2|I2|≈0.268 。

所以定理1中的條件全部滿足，根據定理1中的情形(1)可得，驅動系統(16)與響應系統(17)在控制器(18)下，可實現有限時間同步。為方便數值仿真，給出如下邊值條件

yi(t,-10)=yi(t,10)=zi(t,-10)=zi(t,10)=0,i=1, 2。

初值條件為：

y1(t,x)=1+xsin(-2πx),y2(t,x)=0.4+xsin(2πx),

z1(t,x)=0.8+xsin(πx),z2(t,x)=-0.4+xsin(-πx)。

因此，如圖1所示，驅動系統(1)和響應系統(2)是有限時間同步的。

圖1 例1中情形一下的驅動-響應系統的同步誤差

情形二固定時間同步：

對于驅動系統(1)，考慮如下參數

激勵函數為fi(u)=tanh(u),i=1, 2。

取θ=2，設計的控制器為

ui=-p1iei(t,x)-p2i(‖e(t,·)‖-1+‖e(t,·)‖2)ei(t,x)-

(19)

容易驗證

因此假設H(1)-H(3)成立。此外，通過簡單計算，易得

2h1(|a11|+b11)F1+2h1(|a12|+b12)F2+2h1|I1|≈0.832,

2h2(|a21|+b21)F1+2h2(|a22|+b22)F2+2h2|I2|≈0.268 。

所以定理1中的條件全部滿足，根據定理1中的情形(2)可得，驅動系統(16)與響應系統(17)在控制器(19)下可實現固定時間同步。為數值仿真，我們給出邊值條件為：

yi(t,-10)=yi(t,10)=zi(t,-10)=zi(t,10)=0 。

初值條件為：

y1(t,x)=-2sin(πx),y2(t,x)=-2sin(πx),z1(t,x)=4sin(πx),z2(t,x)=3sin(πx),

因此，如圖2所示，驅動系統(16)和響應系統(17)是固定時間同步的。

圖2 例1中情形二下的驅動-響應系統的同步誤差

4 結論

本文研究了具有反應擴散效應影響的時滯Cohen-Grossberg神經網絡的有限/固定時間同步問題。通過設計一種新穎的負指數狀態反饋控制器，結合Lyapunov穩定性理論和不等式技巧，實現所研究模型有限/固定時間同步的條件。并且系統的有限時間同步和固定時間同步可通過對同一控制器參數范圍的設定來實現，當0<θ<1時，驅動-響應系統會實現有限時間同步，當θ>1時，驅動-響應系統會實現固定時間同步，最后得出穩定時間的上界。