對《六西格瑪管理》部分因子試驗實例分析的探討

俞鐘行

部分因子（注：以下因子、因素通用）試驗可能是應用最為廣泛的試驗設計，因為許多正交試驗就是部分因子試驗。本文應用基于excel的“因素趨勢法”，可以大幅度削減用Minitab分析的圖表，更敏捷地得出更精確的結果。

一、2水平部分因子試驗

1.原例7-6“降低硫代硫酸鈉產品的雜質率問題”

在硫代硫酸鈉生產中發現，影響雜質率的原因有很多，至少有4個因子：成分A含量、成分B含量、反應罐內溫度C及反應時間D，而且成分A與成分B在反應中根本不相遇，因而可以認為AB間無交互作用。由于試驗成本很高，受限于研究經費只能夠安排11次試驗。各因子水平分別為：A（低水平12%、高水平16%）；B（低水平2.4%、高水平2.8%）；C(低水平200度、高水平220度）；D（低水平40分鐘、高水平50分鐘）。

原例采用24-1+3設計，試驗方案與結果如表1所示。

表1 例7-6試驗方案與結果

應用“ 五步分析法”，最后得到回歸方程：Y= 4 2 4.0 5 2+2.6 1 8 7 5 A-1.9 3 2 C-10.7900D+0.0487500CD；方程的S=1.37155，R-Sq=97.13。

得到最優解為：Y=16.9773、A=12、C=200、D=50。

2.“因素趨勢法”求解

（1）仍按原例做11次試驗

用excel，畫出“因素趨勢圖”（圖1）。

在圖1中，因素A力度最強且在趨勢上與因素B有強烈的交叉，應當考慮AB有交互作用（這也符合“效應遺傳原則”）。但原例中明確強調A與B“在反應中根本不相遇，因而可以認為AB間無交互作用”，這種情況值得認真分析一下。

圖1 例7-6的“因素趨勢圖”

下面給出幾個文獻對交互作用的論述。

《質量專業理論與實務（中級）》（2014年）第100頁寫道：“在多因子試驗中，除了單個因子對指標有影響外，有時兩個因子不同水平的搭配對指標也會產生影響。這種影響如果存在，就稱為因子A與B的交互作用。”從這可以看出，反應中“相遇”不是交互作用的必要條件，方案中屬于不同“搭配”就可以了。

《試驗的設計與分析》（劉朝榮，1990）第三章第1節也明確寫道：“因素間的交互作用是指因素之間的一種搭配作用。”該書還以22試驗為例，記交互作用AB=（A2B2-A1B2- A2B1+A1B1）/2。于是，交互作用就是個數，算出來等于0，無交互作用；不等于0，有交互作用。

最權威的GB/T 3358.3-2009“統計學詞匯及符號第3部分：實驗設計”中1.17“交互效應”，其定義為“一個因子對響應變量的影響依賴于其他一個或多個因子的效應”。這里講的“依賴”，并不是一定要在三維立體空間里“相遇”或“碰到”。

幾乎大部分文獻，都將兩個因子的交互作用用圖形直觀地表示：因素趨勢圖平行，無交互作用；因素趨勢圖不平行，有交互作用；因素趨勢圖交叉越厲害，交互作用也越厲害。

兩個有交互作用的因子在何處“相遇”的“懸案”即使未破，也不妨礙試驗設計數據分析的進行。因此，對表1的excel電子表格界面插入AB“交互作用”項后，用excel的“回歸”模塊分析，實際上得到很好的擬合效果。無論是圖2里“回歸統計”的各項相關系數、標準誤差，還是“方差分析”里的Significance F（就是p值）、殘差占比（不到2.5%），及最下表的所有因子的p值均小于0.01。

圖2 例7-6用“因素趨勢法”的回歸結果

從圖2最下表的Coef f icient s欄，得到回歸方程為：y=190.8648-13.225A-87.5B+0.26125C-0.552 5D+6.0 9375AB，方程的S=1.39 6 82 3、R-Sq=0.975235。用excel的“規劃求解”模塊，得到最優解為：y=16.53977、A=12、B=2.8、C=200、D=50。

與原例的最優方案相比，“因素趨勢法”的指標值更優（望小），并包含原例認為是不顯著的因子B。在因素趨勢法的回歸方程里，因子B的p值=0.004065，屬高度顯著。之所以有這種差別，與數據分析的思路有關。

這里用一個比喻加以解釋。把因子或因子的交互作用比作扔在水中的大小不同的石頭，若露出水面算因子或因子交互作用顯著，否則算不顯著。那么可能發生這樣的情況：當把所有石頭都扔進水中時，水面隨之升高，有的石頭露不出來；當把最小的幾塊石頭移出水面后，由于水面也相應降低，有的石頭就可能露出水面，變成顯著的因子了。

（2）只做原例前8次試驗

因為用正交表L8（27）成功解決4個2水平因子的試驗問題也比較常見，試對原例只做前8次試驗。先畫出因素趨勢圖，如圖3所示。

圖3 例7-6（只做前8次）的“因素趨勢圖”

如（1）所作，仍然插入AB交互作用項，并用excel的“回歸”模塊分析，擬合優度同樣出色，如圖4。

圖4 例7-6（只做前8次）用“因素趨勢法”的回歸結果

最后用“規劃求解”得出最優解為y=16.53977、A=12、B=2.8、C=200、D=50。

二、3水平部分因子試驗

1.原例7-7“煙灰磚試驗”

為了環保，將粉煤灰及煤矸石碾壓制成煙灰磚。為了考察如何能使其強度達到最大，要進行試驗：把煙灰磚制成邊長為15cm的立方體后，將其壓碎，以其承載力（kg）為指標y，希望選定最優工藝條件，使y達到最大。共有3個因子選擇，其水平如表2。

表2 例7-7因素水平表

原例采用的試驗方案與結果如表3所示。

表3 例7-7試驗方案與結果

得到回歸方程為y=194-5.67A+6.00B-1.33C-18.7A2+5.33B2-9.67C2；方程的標準誤差S=2.028、R-Sq=99.4%、R-Sq（調整）=97.6%。

最后因C的p值=0.249，從方程中刪去，得到最優解y=205.222、A=0水平（即A=10）、B=1水平(即B=12)、C=0水平（即C=360）。

2.“因素趨勢法”求解

在excel的電子表格中，直接以試驗數據進入試驗方案（表4），并畫出因素趨勢圖（圖5）。

表4 例7-7試驗方案與結果（非代碼）

圖5 例7-7因素趨勢圖

根據經驗，因子A和C呈角狀，是二次項；因子B對照文獻[2]的附頁，像自然數e的指數狀，因此在表中插入A2、C2和eB再進行回歸。因為插項后回歸的結果中，因子B的p值頗大，為0.674011，故刪去。把插項、刪項統稱為“變項”，最后的電子表格界面與回歸結果如表5、圖6。

表5 例7-7用“因素趨勢法”變項后的excel界面

圖6 例7-7用“因素趨勢法”的回歸結果

這里R-Sq=99.3%、R-Sq（調整）=98.2%，與原例的回歸方程的對應值相較，十分接近且各有優劣。但這里的標準誤差S=1.751179是原來的86.4%，有較大改善。從各項指標看，回歸的擬合優度很好，現在得到的回歸方程是：y=-2993.38+7.688889C-18.6667AA+7.71E-05e^B-0.01074CC+367.6667A。

最后用excel的“規劃求解”模塊對方程選優，得到的最優解是y=205.6474、A=9.848215、B=12、C=357.9309。

此例用“因素趨勢法”解，從最終結果看，雖有改進但不突出。但此例解法印證了用因素趨勢圖“導航”來作“精準回歸”的方法，是可行的。