一類有理差分方程的解的漸近穩定性*

王麗，全衛貞，黃日娣，周敬人

(1.湛江幼兒師范專科學校數學系,廣東 湛江 524037; 2.嶺南師范學院基礎教育學院，廣東 湛江 524037)

差分方程是用來刻畫自然和社會系統按照離散時間演化規律的重要數學工具，是微分方程的離散化，它在理論上深入的、獨立的研究開始于20世紀90年代初期.有理差分方程的解的單調性、有界性、周期性、漸近穩定性等是近年來各國研究差分方程的熱點，到目前為止，線性差分方程的解的理論發展比較成熟，但是對于高階有理差分方程的精確解情況卻還處于研究階段，尤其是當分子或分母含有二次項時，方程看似簡單，但解的性質卻十分復雜，不少研究成果就此產生[1-13]：

Kurbanli,Cinar和Yalcinkaya在文獻[4]中研究了差分系統

的正解序列的有界性、穩定性、周期性等，其中參數和初值均為正數.

成文凱在文獻[5]中研究了三階有理差分系統

的解的有界性、平衡點的存在性穩定性和解收斂到平衡點的速率等問題.

駱元媛在文獻[6]中研究有理差分方程

的奇點集和解的精確表達式，并進一步討論了各種不同情況下的解的全局性態等.

陳云在文獻[7]中研究下列有理差分方程

的解的漸近性、有界性、周期性、振動性等，并給出了平衡解是匯點、排斥點(也稱為源點)、鞍點、非雙曲點等的充要條件等.

基于上述研究，本文將進一步研究分子含有二次項的三階有理差分方程

的漸進穩定性及平衡點成為匯點、雙曲點和非雙曲點的條件，其中a,b,c,d∈R+，初始值x-2,x-1,x0∈R+.

1 基本概念和定理

對于有理差分方程

(1)

式中a,b,c,d∈R+，初始值x-2,x-1,x0∈R+.

定義2 由三階有理差分方程

xn+1=f(xn,xn-1,xn-2)

(2)

λ3-a1λ2-a2λ-a3=0

(3)

為(2)的特征方程，其根稱為特征根.

定理2[3](線性穩定性)

2 主要結果

現在只研究(1-a)(b+c)≠1的情況.

fw(u,v,w)=a.

定理5對于有理差分方程(1)，

證明1)因為

于是由定理1[2]知，當

2) 由于

于是由定理1[2]知，當

證明

從而FJ(0,0,0)的特征多項式為

證法3 由證法1知，方程(1)的特征方程為λ3-a=0，即p(λ)=λ3-a=0，于是

整理得關于z的方程為

(1-a)z3+3(1+a)z2+3(1-a)z+1+a=0，

此時取a0=1-a,a1=3(1+a),a2=3(1-a),a3=1+a，構造三階矩陣

它的三個主子式分別為

Δ1=a1=3(1+a)，

Δ2=a1a2-a0a3=9(1+a)(1-a)-(1-a)(1+a)=8(1-a2)，

Δ3=a3·Δ2=(1+a)·8(1-a2).

于是其特征方程為

λ3+b(a-1)2λ2-(a-1)(c-ac-2)λ-a=0，

令P(λ)=λ3+b(a-1)2λ2-(a-1)(c-ac-2)λ-a=0，于是

化簡得關于z的方程為

[(b+c)(1-a)2-(1-a)]z3+[(b-c)(1-a)2+a+5]z2+

[-(b+c)(1-a)2+5(1-a)]z+[-(b+c)(1-a)2+3a-1]=0，

取

a0=(b+c)(1-a)2-(1-a)，

a1=(b-c)(1-a)2+a+5，

a2=-(b+c)(1-a)2+5(1-a)，

a3=-(b+c)(1-a)2+3a-1，

構造三階矩陣

它的三個主子式分別為Δ1=a1，Δ2=a1a2-a0a3，Δ3=(a1a2-a0a3)a3，根據Routh-Hurwitz判別法和Schur-Cohn判別法，當a0>0且Δ1>0,Δ2>0,Δ3>0時，有理差分方程(1)的平衡解

是局部漸近穩定的，因此得如下定理：

Δ2>0,Δ3>0,且a0>0.

3 結語