泊松截?cái)唳臎_擊模型沖擊參數(shù)的Bayes估計(jì)*

彭博，馬明，拉毛措，冶建華

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

引言

截?cái)唳臎_擊模型是以沖擊時(shí)間間隔為失效機(jī)制的可靠性模型. 該模型是指在一個(gè)遭受間歇性沖擊的系統(tǒng)中，如果經(jīng)過(guò)某次沖擊之后，超過(guò)δ長(zhǎng)的時(shí)間還沒(méi)有沖擊到達(dá)，則系統(tǒng)失效[1].

目前關(guān)于截?cái)唳臎_擊模型的文章有很多. 文獻(xiàn)[2]～[6]分別得到了泊松截?cái)唳臎_擊模型相關(guān)參數(shù)的極大似然估計(jì)、(0,b)均勻截?cái)唳臎_擊模型、(a,b)均勻截?cái)唳臎_擊模型相關(guān)參數(shù)的極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì). 文獻(xiàn)[7]與文獻(xiàn)[8]分別研究了時(shí)間點(diǎn)服從0-1分布的截?cái)唳臎_擊模型、離散弱更新下冪級(jí)數(shù)開(kāi)型截?cái)唳臎_擊模型的壽命分布、平均壽命這兩類(lèi)可靠性指標(biāo). 文獻(xiàn)[9]與文獻(xiàn)[10]分別得到了格點(diǎn)更新截?cái)唳臎_擊模型、非負(fù)幾何離散開(kāi)型截?cái)唳臎_擊模型的壽命分布、平均壽命、失效率、可靠度等可靠性指標(biāo). 文獻(xiàn)[11]討論了截?cái)唳臎_擊模型的標(biāo)值過(guò)程，得到了截?cái)唳臎_擊模型的標(biāo)值過(guò)程的二階矩，并將結(jié)果應(yīng)用于客戶壽命價(jià)值的二階矩中. 文獻(xiàn)[12]將泊松截?cái)唳臎_擊模型應(yīng)用到不完全維修更換策略，建立了N型不完全維修更換策略模型.

本文討論了泊松截?cái)唳臎_擊模型沖擊參數(shù)的(多層)Bayes估計(jì). 首先給出了模型和兩類(lèi)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù). 其次討論了基于兩類(lèi)樣本數(shù)據(jù)，沖擊參數(shù)λ的先驗(yàn)分布分別是伽馬先驗(yàn)、伽馬均勻多重先驗(yàn)和Jeffreys先驗(yàn)情形下的Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì).

1 模型及樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)

考慮一個(gè)遭受外部沖擊的單元件系統(tǒng)，該系統(tǒng)的壽命遵循沖擊參數(shù)為λ，失效參數(shù)為δ的泊松截?cái)唳臎_擊模型[1]，對(duì)該系統(tǒng)的沖擊情況進(jìn)行觀測(cè)，假設(shè)分別觀測(cè)到以下兩類(lèi)樣本數(shù)據(jù)[2],分別記為A1與A2.

A1：觀測(cè)到該系統(tǒng)在失效時(shí)總共沖擊次數(shù)為m，m≥0.

A2：不僅觀測(cè)到該系統(tǒng)失效時(shí)總共的沖擊次數(shù)m，若m≠0，則還觀測(cè)到?jīng)_擊到達(dá)時(shí)間t1,t2,…,tm,m=1,2,…，其中ti,i=1,2,…,m是觀測(cè)到的第i次沖擊到達(dá)時(shí)刻，且tm是系統(tǒng)失效前最后一次沖擊時(shí)刻.

2 主要結(jié)果

2.1 基于樣本數(shù)據(jù)A1的λ的參數(shù)估計(jì)

由文獻(xiàn)[2]可知泊松截?cái)唳臎_擊模型基于樣本數(shù)據(jù)A1的似然函數(shù)為

(1)

基于樣本數(shù)據(jù)A1可得當(dāng)δ已知時(shí)λ的Bayes估計(jì).

定理1設(shè)λ的先驗(yàn)分布是形狀參數(shù)為α，尺度參數(shù)為β的伽馬分布，且α,β,δ均已知，則基于樣本數(shù)據(jù)A1，在最小均方誤差原則下，λ的Bayes估計(jì)為

(2)

證明因?yàn)棣说南闰?yàn)分布是形狀參數(shù)為α，尺度參數(shù)為β的伽馬分布，所以λ的先驗(yàn)密度函數(shù)為

(3)

由(3)式與(1)式可得λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

(4)

因此在最小均方誤差原則下λ的Bayes估計(jì)為

(5)

下面需要判斷(5)式的斂散性.

根據(jù)定理1可以推出當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)沒(méi)有沖擊到達(dá)情形下λ的估計(jì).

證明 若觀測(cè)到系統(tǒng)失效時(shí)沒(méi)有沖擊到達(dá)，則由(2)式得λ的Bayes估計(jì)為

(6)

(7)

同理可得

(8)

下面定理得到了當(dāng)δ已知時(shí)，基于樣本數(shù)據(jù)A1，在最小均方誤差原則下，λ的先驗(yàn)分布是Jeffreys先驗(yàn)時(shí)沖擊參數(shù)λ的Bayes估計(jì). Jeffreys先驗(yàn)是在未知參數(shù)的先驗(yàn)分布是未知的情形下，利用似然函數(shù)的Fisher信息量獲得先驗(yàn)分布的一種先驗(yàn)確定方法.

定理2設(shè)λ的先驗(yàn)分布是Jeffreys先驗(yàn)，且δ已知，則基于樣本數(shù)據(jù)A1，在最小均方誤差原則下，λ的Bayes估計(jì)為

證明樣本數(shù)據(jù)A1的似然函數(shù)為(1)式，對(duì)數(shù)化(1)式得lnL(m|λ)=mln(1-e-λδ)-λδ，

所以似然函數(shù)L(m|λ)的Fisher信息量為

其中M是系統(tǒng)失效時(shí)可能遭受的總沖擊次數(shù)，樣本數(shù)據(jù)A1中的m是M的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，且易知M的概率分布列是(1)式中的似然函數(shù).

易得

(9)

(10)

由(10)式與(1)式得λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

則在最小均方誤差原則下，λ的Bayes估計(jì)為

(11)

定理得證.

定理3設(shè)λ服從參數(shù)是c1,c2的伽馬均勻多重先驗(yàn)，則基于樣本數(shù)據(jù)A1，在最小均方誤差原則下，λ的多層Bayes估計(jì)為

證明因?yàn)棣朔男螤顓?shù)為α，尺度參數(shù)為β的伽馬分布，所以可得λ的第一層先驗(yàn)密度函數(shù)為

又因?yàn)棣?β分別服從(0,c1),(0,c2)上的均勻分布，且α與β相互獨(dú)立，則可得超參數(shù)(α,β)的超先驗(yàn)密度為

因此λ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)fλ(s)為

(12)

(13)

由(13)式與(1)式得λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

因此在最小均方誤差原則下λ的多層Bayes估計(jì)為

定理得證.

由定理3可得當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)沒(méi)有沖擊到達(dá)情形下λ的多層Bayes估計(jì).

推論2 設(shè)λ服從參數(shù)是c1,c2的伽馬均勻多重先驗(yàn)，若觀測(cè)到系統(tǒng)失效時(shí)沒(méi)有沖擊到達(dá)，則在最小均方誤差原則下，λ的多層Bayes估計(jì)為

證明 由定理3可知,當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)沒(méi)有沖擊到達(dá)時(shí)λ的多層Bayes估計(jì)為

由(7)式及(8)式可知

因此

(14)

所以

推論得證.

2.2 基于樣本數(shù)據(jù)A2的λ的參數(shù)估計(jì)

由文獻(xiàn)[2]可知泊松截?cái)唳臎_擊模型樣本數(shù)據(jù)A2的似然函數(shù)為

(15)

其中m=0,1,2,…，對(duì)?m≥1，有0

定理4設(shè)λ的先驗(yàn)分布是形狀參數(shù)為α，尺度參數(shù)為β的伽馬分布，且α,β,δ均已知，則基于樣本數(shù)據(jù)A2，在最小均方誤差原則下，λ的Bayes估計(jì)為

證明由λ的先驗(yàn)密度(3)式與樣本數(shù)據(jù)A2的似然函數(shù)(15)式可得λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

則在最小均方誤差原則下λ的Bayes估計(jì)為

當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)沒(méi)有沖擊到達(dá)情形下，由定理4也可直接得到推論1. 下面定理5給出在樣本數(shù)據(jù)A2下λ的一個(gè)多重Bayes估計(jì).

定理5設(shè)λ服從參數(shù)是c1,c2的伽馬均勻多重先驗(yàn)，則基于樣本數(shù)據(jù)A2，在最小均方誤差原則下，λ的多層Bayes估計(jì)為

(16)

證明易知λ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)仍如(12)式所述，則由(12)式與(15)式可得λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

由此可以得到最小均方誤差原則下λ的多層Bayes估計(jì)

注意到

因此

定理得證.

作為定理5的一個(gè)驗(yàn)證，下面討論推導(dǎo)當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)沒(méi)有沖擊到達(dá)情形下λ的多層Bayes估計(jì).

由(16)式可知，當(dāng)系統(tǒng)失效沒(méi)有沖擊到達(dá)時(shí)λ的多層Bayes估計(jì)為

(17)

注意到(17)式與(14)式形式相同，因此推論2也是定理5的一個(gè)推論.

下面定理得到了當(dāng)δ已知時(shí)，基于樣本數(shù)據(jù)A2，在最小均方誤差原則下，先驗(yàn)分布是Jeffreys先驗(yàn)時(shí)λ的Bayes估計(jì).

定理6設(shè)λ的先驗(yàn)分布是Jeffreys先驗(yàn)，且δ已知，則基于樣本數(shù)據(jù)A2，在最小均方誤差原則下，λ的Bayes估計(jì)為

證明樣本數(shù)據(jù)A2的似然函數(shù)為(15)式，對(duì)數(shù)化(15)式得

lnL(t0,t1,…,tm;m|λ)=mlnλ-λtm-λδ，

因此似然函數(shù)的Fisher信息量為

(18)

可以得到λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

則在最小均方誤差原則下λ的Bayes估計(jì)為

(19)

下面需要判斷(19)式的斂散性.

由于

所以由迫斂性可得

(20)

因此(19)式的分子部分收斂.

則由(20)式得

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了泊松截?cái)唳臎_擊模型沖擊參數(shù)的Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)，基于樣本數(shù)據(jù)A1,A2和最小均方誤差原則，分別在形狀參數(shù)為α，尺度參數(shù)為β的Gamma分布、參數(shù)為c1,c2的伽馬均勻多重先驗(yàn)和Jeffreys先驗(yàn)三種先驗(yàn)下，得到了沖擊參數(shù)λ的Bayes估計(jì)量.

本文考慮的是單元件系統(tǒng)，未來(lái)可以討論多元件系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì). 同時(shí)，A1、A2這兩類(lèi)樣本數(shù)據(jù)是完全壽命數(shù)據(jù)，在可靠性試驗(yàn)中一般得到的是不完全數(shù)據(jù)，在今后可以研究本模型在不完全壽命數(shù)據(jù)下的參數(shù)估計(jì).