《數學模型》課程思政的教學實踐探索*

謝建強 ，何亮田，李誠舉

(1.安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230601; 2.菏澤學院數學與統計學院，山東 菏澤 274000)

引言

2016年，在全國高校思想政治工作會議上，習近平總書記強調高等學校要加強“課程思政”建設，實現全員、全程、全方位育人[1].高等學校為加強和推進課程思政建設，要實現教書育人和立德樹人，形成專業核心課和專業選修課教學與思政課教學有機結合，同向同行的育人格局[2].因此在現階段大環境下，研究公共基礎課、專業課和專業選修課的思政建設顯得尤為必要和重要. 目前已有一些專家和學者在課程思政的理論和實踐方面展開研究，取得了很好的研究成果[3-5].最近，中國高等教育學會副會長張大良指出新時期立德樹人的根本遵循是課程思政.課程思政建設的基礎在課程，根本在思政，重點在課堂，關鍵在教師，成效在學生[6].孔翔和吳棟從課程目標和評價體系優化等方面，初步探究了以混合式教學改革服務課程思政建設的途徑[7].

1 數學模型課程思政的研究現狀

《數學模型》[8-9]是一門應用性很強的專業課程，以數學建模的基本思想和方法為主線，以科學計算方法為輔助，貫穿整個教學中.通常采用問題驅動的教學方法，圍繞生活中的實際問題進行深入探究[10].通過數學建模案例分析和數學建模競賽指導，使學生掌握如何在適當的假設下借助數學理論、數學手段和數學工具，構建準確刻畫實際問題的數學模型，進而進行因果關系分析、科學計算、定量、定性分析，以便更好地揭示所研究的對象的內部規律和現象.在數學模型的案例教學中，通過明確實際問題、合理假設、建立數學模型、模型求解和模型檢驗等過程[8]引導學生參與、學習、思考和探究，以便發揮學生的主觀能動性和激發學生的創造力.在潤物細無聲中將思政元素與數學模型的教學緊密結合，對于大學生正確、積極的人生觀、價值觀和世界觀的塑造是極為重要和必要的.

近些年來，高等學校對數學類課程推進教學改革和課程思政建設已逐漸引起重視[2,10-11].最近許少欣和楊昔陽[12]通過一些案例分析，對如何在數學模型教學中加強課程思政建設給出了一些建議.朱婧等人[13]以傳染病模型為例，通過對SARS疫情建立SIR模型并數值求解來預測SARS.為培養學生的理性思考，勇于探索以及應用數學解決實際問題的能力提供了很好的鍛煉機會.然而該模型存在不足之處，應進一步改進SIR模型，構建更合適的傳染病模型來進行預測和預警疫情，以此培養學生精益求精的科學精神和創新意識.馬智慧[10]以常微分方程模型在生物數學中的應用為例，即通過講授捕食者-食餌模型，探討了數學模型課程的研究性教學模式.高崢和黃晉[14]借助案例分析，論述了數學建模中的課程思政，并指出高校數學教師應發揮學科文化素養的培育功能，充分挖掘課程的思政元素，實現立德樹人.據了解，對《數學模型》開展課程思政建設的教學實踐和探索[15]并不是很多，仍值得進一步深入探究.

本課程的教學通過運用傳統教學方法和現代教育技術手段，優化教學內容，來構建全方位多角度的專業知識體系，將課程目標、課程思政元素和科研訓練貫穿于整個課程教學中，來推進《數學模型》課程思政建設.具體分為以下兩方面：

1)掌握數學建模的思想和方法，會用所學知識建立各種數學模型，培養學生綜合運用數學理論、方法和計算機軟件來分析和解決實際問題的能力.

2)傳授各類不同數學模型的理論和方法，使學生具備對不同數學模型的性能、價值、優劣進行評價和優化的能力，培養學生的創新意識、創造性思維和辯證思維能力，引導學生樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀.

2 《數學模型》課程思政元素的挖掘

在《數學模型》的教學過程中，任課教師結合學生的身心發展規律、認知水平知識結構體系，遵循因材施教規律和立德樹人的原則，以培養學生勇于探索的創新意識，激發學生報效祖國的志向和社會責任意識為目標，基于以下課程思政設計思路(如圖1所示)，挖掘和創造部分思政元素.

圖1 課程思政設計思路

課程教學內容1：數學建模的重要性

課程思政目標：培養學生的批判性思維能力、社會責任感和擔當意識，激發學生的愛國情懷，傳承中華文化.

課程思政設計：通過向學生介紹應用數學的特點和幾個典型的應用案例，如數值天氣預報、數值油藏模擬、劉家峽大壩的應力分析問題、飛機制造與數值風洞、醫學成像、導航地圖與路徑優化以及華為的5G，來闡釋應用數學的重要性和實用性.向學生介紹由馮康先生在1965年前后獨立于西方發明的有限元方法，提升學生的科研認識水平.結合習近平總書記在科學家座談會上的講話精神[16]，指出科技創新的必要性和重要性，鼓勵學生努力學習學科專業知識、深化科技創新，樹立科技報國的志向.

課程教學內容2：馬爾可夫預測模型

課程思政目標：培養辯證思維觀和歷史唯物主義觀，培養學生的綜合研究能力.

課程思政設計：以馬爾可夫鏈模型的提出、研究和發展歷史引入，來介紹馬爾可夫預測模型的構建、求解和案例分析，使學生領悟到事物的普遍聯系和辯證統一，培養學生的唯物辯證觀和歷史唯物主義觀以及理論聯系實際的能力.

課程教學內容3：常微分方程組模型

課程思政目標：培養學生嚴謹務實、精益求精、敢于探索的創新意識.

課程思政設計：以2019-nCoV疫情引入，來強調建立合適的微分方程模型來預測和預警疫情的重要性.通過向學生介紹刻畫傳染病傳播的數學模型SIR模型[8-9,17]、SIRP模型[8]、SEIR模型[17]、SEIJR模型[18]，使學生認識一個好的數學模型的構建，需要不斷地修正和完善[19].引導學生研究和思考這些經典的數學模型，培養學生的科學意識和養成理性思考的習慣.

課程教學內容4：微分方程的求解

課程思政目標：培養學生嚴謹求實，勇于探索和刻苦鉆研的精神，培養學生的創造性思維和應用數學解決實際問題的能力.

課程思政設計：通過案例教學法和小組討論，講述如何用Matlab庫函數dsolve、ode45等求解簡單的微分方程，引導學生領悟已有經驗的重要性，學習已有的算法，設法找到現存算法的不足之處，并加以不斷改進和提高算法的性能.培養學生不怕出錯，不斷矯正的可貴精神和綜合研究能力，使學生樹立積極的人生觀、世界觀和價值觀.在微分方程的數值解法教學中，通過數值算法的構造模式教學、案例教學、實踐探究和參與式自主學習，引導學生感悟生活，培養學生精益求精、勇于探索的精神.

課程教學內容5：數學規劃

課程思政目標：培養學生的辯證思維觀，戒驕戒躁，樹立不忘初心，牢記使命的信念.

課程思政設計：通過課堂講授、案例教學和自主學習，使學生明白事物之間是普遍聯系和辯證統一的，體會到學習、生活、工作類似于優化問題最優解的搜索過程，要有正確的方向，要腳踏實地，杜絕短平快.引導學生看問題不僅要從全局出發，更要著眼于局部，要善于透過現象看本質，發現真理.

課程教學內容6：無約束最優化問題

課程思政目標：培養學生精益求精、勇于探索的科學精神，培養辯證思維觀.

課程思政設計：通過示例教學法介紹無約束最優化問題的各類求解算法及其優劣，培養學生不懼艱難，刻苦鉆研、精益求精的科學態度.

課程教學內容7：多目標規劃

課程思政目標：培養學生的辯證思維觀、對立、統一的辯證觀.

課程思政設計：通過案例教學法和小組討論，講授證券組合投資中的多目標規劃模型[8]，使學生認識到收益與風險共存的道理.以實際生活中的案例類推，引導學生樹立合理分散風險獲取收益最大化的觀念.

課程教學內容8：圖論模型

課程思政目標：培養學生精益求精、勇于探索的科學精神和綜合研究能力，樹立文化自信，傳承中華文化.

課程思政設計：通過幾個圖論模型的學習和案例分析，如最短路模型、最大流問題，培養學生樹立效益最大化意識，并學會追求最高收益；拓展了解什么是一帶一路，提升民族危機意識和歷史使命感，踐行社會主義核心價值觀.

3 《數學模型》課程的教學實踐

以食餌-捕食者模型為例，基于圖1中的課程思政實施思路，來展示數學模型課程思政的教學實踐.

3.1 以實際問題為切入點，引入教學內容

意大利生物學家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關系的研究[8-9]，從第一次世界大戰期間,地中海各港口幾種魚類捕獲量百分比的資料中，他發現鯊魚等的比例有明顯增加，而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降．顯然戰爭使捕魚量下降，從而食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？為了解決這個問題，Volterra建立了經典的食餌-捕食者模型如下：

(1)

其中x(t)為食餌在t時刻的數量；y(t)為捕食者在t時刻的數量；r1是食餌獨立生存時的增長率；r2是捕食者獨自存在時的死亡率；N1,N2分別為食餌和捕食者在系統中的最大生存量；λ1表示單位數量的捕食者(相對于N1)捕食單位數量食餌(相對于N2)的能力；λ2是單位數量的食餌(相對于N2)供養單位數量捕食者(相對于N1)的能力.Volterra用此模型來解釋意大利生物學家提出的問題.在教學中，引導學生認識到用數學模型來刻畫食餌-捕食者系統的動態發展過程和穩定狀態，對種群動力學和生態學的研究具有重要的研究意義和應用價值.

3.2 建立合理的數學模型并求解，培養學生的科學意識

注意到食餌-捕食者模型(1)是在自然環境中食餌與捕食者之間的相互依存和制約關系，也沒有考慮種群自身的阻滯增長效應，為保證模型的合理性，可在方程(1)中對食餌增加自身阻滯作用的Logistic項，建立相應的模型如下：

(2)

圖2 群關系圖和兩種群相軌線

在模型的建立和求解過程中，使學生明白一個好的數學模型需要經過不斷地修正和完善，以此培養學生精益求精的綜合研究能力和辯證思維觀.正如我們所知，盡管該模型可以很好地解釋一些實際現象，但該模型作為現實對象的一個抽象，也會存在一些局限性.比如，在食餌-捕食者模型中均考慮自身阻滯作用的Logistic項，選取x(t)=27.5,y(t)=10,可以觀察到數值解的周期震蕩性(如圖3所示).

圖3 x(t),y(t)及y(x)

3.3 食餌-捕食者模型的延拓，提高學生的科研創新能力

在學習食餌-捕食者模型的過程中，使學生逐步認識到該模型的重要性和廣泛的應用性，注重將科學研究的思路和方法論有機融合于教學中，以此開闊學生的視野，激發學生的求知欲和上進心，進一步提高學生的創造性思維能力.如能否通過增加空間的相互作用，考慮偏微分方程框架下的食餌-捕食者模型來解釋種群動力學行為，并對相應的模型進行高效的求解.再如，能否在傳統的食餌-捕食者模型中引入非局部項來刻畫食餌-捕食者之間的相互依存和制約關系，對種群間的動力學行為現象給出更合理的解釋？通過引導學生思考這些問題，并嘗試解決它們，培養學生的科研思維、創新能力和創造性思維，養成勤提問、勤思考和研究問題的好習慣，以期不斷提高學生的綜合素質和能力.

4 《數學模型》教學中課程思政探索的幾點思考

4.1 注重研究性教學模式，培養學生敢于創新的科研意識

在傳染病模型和種群增長模型的教學過程中，通過案例分析教學，講述傳染病模型和種群增長模型的建立、求解和應用，以及可能推廣的一些研究，如基于分數階微積分時滯動力學系統傳染病模型的建立，高效數值求解和應用.在模型的建立和數值求解方面，采取參與式和示例式教學，以期提高學生的科學計算能力.推薦學生閱讀與授課內容相關的新文獻，并有針對性的進行講解，拓寬學生的視野和知識面，使學生理解和體會科學研究創新的訓練過程和思維模式.結合自己的研究方向和科研體會，與同學們進行交流，培養學生不怕吃苦、勇于探索的科研精神以及綜合研究能力.

4.2 采用問題驅動的教學方法，加深學生的探究意識

在層次分析法的講授過程中，關于成對比較矩陣的構造，由于人們認知的差異，采取Saaty教授引入的1-9標度構造的成對比較矩陣，有時候很難通過矩陣的一致性檢驗.一個自然的問題是如何改進成對比較矩陣，使其通過一致性檢驗.通過給學生提供相關思路，如利用加罰的思想修正成對比較矩陣或提出新的方法構造判斷矩陣，來引導學生積極參與討論和思考，培養學生自學和主動學習的能力.

4.3 運用探究式教學方法，提高學生的創造性思辨能力

在無約束最優化問題的教學過程中，采取探究式教學方法和案例教學，詳細講述最速下降法、牛頓法和擬牛頓法的求解思想和算法步驟.運用示例法比較這三種算法的優缺點，并引導學生思考為什么要這樣設計算法，重視基本求解算法背后設計思想和原理的教學，以此來加深學生對相關數值算法的理解和認識，掌握科研訓練的過程，以便提高學生的創造性思辨能力.

5 結論

課程思政通過遵循三位一體的育人理念，在教學過程中挖掘和創造課程的思政元素，實現立德樹人.本文在《數學模型》課程的教學實踐中，借助研究性教學模式和探究性、示例型教學方法創造和挖掘了該課程的思政元素，培養了學生的辯證思維觀、精益求精、不怕困難、勇于探索的科學精神以及應用數學解決實際問題的能力.