基于單位出水量計算含水層滲透系數經驗公式的適宜性分析

尚許雯

（山西省交通規劃勘察設計院有限公司，山西 太原 030032）

0 引言

含水層滲透系數是水文地質計算中最重要的參數之一，且在各種計算水井涌水量公式中，其與涌水量均成正比關系，因此滲透系數確定的正確與否，直接影響到涌水量的預測精度。目前利用抽水試驗資料確定滲透系數仍是廣泛采用的方法，而使用這一方法確定滲透系數的精度，不僅取決于抽水試驗的質量，更與計算公式的選用是否合理有很大的關系。單位涌水量常常用于水文地質特征分析及涌水量預測[1-2]，但它并不等于導水系數[3-5]。Theis（1963）論證了可用單位涌水量計算含水層導水系數的方法[6]，Razack和Huntly（1991）在摩洛哥平原用不同的方法研究T和q的關系[7]；《鐵路工程水文地質勘察規范》[8]（以下簡稱《規范》）利用單位出水量計算含水層滲透系數，雖然有一定的理論基礎和相應的抽水試驗資料驗證，但依然缺乏在《規范》中推薦利用的合理性。

1 《規范》公式來源

該方法來源于《根據抽水的單位比涌水量計算巖石導水性和滲透系數的簡化方法》[9]（以下簡稱《方法》）。其建立步驟如下。

1.1 根據穩定流理論裘布依公式 推求比涌水量

a）承壓含水層完整井計算如下：

式中：Q 為涌水量，m3/d；k為滲透系數，m/d；s為水位降深，m；M為承壓含水層厚度，m；R為影響半徑，m；γ為井半徑，m；q為比涌水量，m2/d。

b）潛水含水層完整井計算如下：

式中：H為自然情況下潛水含水層厚度，m；其他符號意義同上。

1.2 導入比例系數D

式中：q'為單位比涌水量，m2/d；其他符號意義同上。

1.3 D值的取得

在Q-s曲線中，當s=1 m時，直接從圖中確定單位比涌水量。在多種不同的水文地質條件下進行抽水試驗，并對所得資料的統計整理表明：D滿足于下列不等式：1.15≤D≤1.45，單位比涌水量與kM（或kH）之間的相關曲線圖證明了這一點。進一步的計算分析表明：D平均=1.3時，根據單位比涌水量計算的導水性和滲透系數，與取作實際值的數據間的平均相對誤差，根據20個鉆孔為±7.02%，而最大誤差為－15.4%和＋14.4%.

2 適宜性分析

2.1 建立經驗公式的理論基礎——裘布依理論、層流二維流公式適宜性分析

地下水在向水井流動過程中，在降落漏斗范圍內的水流主要為緩變流。因此，可以忽略地下水滲透速度的微小垂直分量，而僅考慮水平分量，將空間流動近似作為平面流動來研究。但是在井壁附近，由于過水斷面的迅速減小，滲流速度和水力坡度的增大并超過臨界值時，地下水流即由層流轉化為紊流，這種轉化與井半徑[10]（圖1）、水位降深等有明顯的關系。此時采用裘布依二維流公式計算結果偏差很大，考慮抽水井周圍存在的紊流或三維流對井中降深的影響，應按式（9）進行計算。

圖1 流速與井半徑的關系曲線

式中：g為重力加速度，m/s2；f為濾水管的摩阻系數；b為紊流系數；l為濾水管長度，m。

顯然三維流或紊流狀態下，井半徑發揮著級數級的影響，因此，最大限度地避免三維流的發生，簡便而有效的方法是確定過濾器的合理井半徑，或者利用帶觀測孔的抽水試驗觀測資料求參等。

《方法》全文雖未明確井半徑，但根據支撐性抽水試驗資料進行相應的反算可以得知其基本介于0.128～0.217 m，對照圖1，這種井半徑條件下流速及其變化范圍較小，實質上已大幅度地降低了紊流或三維流的影響，故利用二維流公式才具有一定的合理性。而《規范》中的半徑要求0.063 5 m、0.100 m及條文說明工程實例中0.063 5 m，在圖1中顯示出流速及其變化范圍都較大，因此紊流或三維流的影響不能忽略，需利用式（9）進行計算，這意味著達不到適宜井半徑要求，經驗公式失去了存在的理論基礎，或者說在《規范》相應條文要求下，該經驗公式缺乏合理性。

2.2 以土的客觀性質為原則 選擇小降深進行計算的適宜性分析

現行諸多規范對抽水試驗降深要求如下：穩定流抽水試驗不宜少于3次下降，可以獲得孔的抽水試驗特性曲線，以便正確選擇計算水文地質參數的公式；有可能推算孔的出水量；有可能驗證水文地質參數的計算是否正確，例如采用3次不同下降值計算所得滲透系數應基本一致[11-12]。以《規范》為例，對于穩定流抽水試驗，水位降深選擇如下：其最大值，潛水含水層宜接近含水層厚度（完整井）或過濾器長度（非完整井）的1/2深度處，承壓含水層最大降深值不宜低于含水層頂板；其余兩次水位降深值，宜分別為最大降深值的1/3和2/3。應進行帶觀測孔的非穩定流抽水試驗，無合適觀測孔的水文地質鉆孔或機井，可進行穩定流抽水試驗；非穩定流抽水試驗宜大流量、大降深[13]。而隨著水位降深值的增大，鉆孔的單位涌水量常常有明顯的減小，與其相應的是滲透系數計算值也明顯減小。因此，以s=1 m進行相應的計算，不符合現行相關規范要求。

雖然k值反映的是土的客觀性質，但因水文地質條件的差異性，水流狀態、井損的影響，及含水層本身、井結構特點、及抽水試驗方法等因素影響，實際抽水中的流量與降深關系，并非完全像理論公式那樣，顯示為一過原點的直線（承壓水井）、二次拋物線（潛水井），而常常表現為各種各樣的曲線，這些涌水量曲線復雜，不是理論公式所能完全合理地覆蓋，大量的抽水實例資料證明，常見的Q-s曲線類型有直線型、拋物線型、指數型及對數型。當Q-s（承壓水）、Q-Δh2（潛水）關系曲線呈直線時，才可利用式（1）、式（3）進行相應的水文地質計算，并進行經驗公式的推導。顯然，當這一關系成曲線時，經驗公式就失去合理性的理論基礎。以s=1 m進行相應的計算，實際淡化了涌水量曲線方程的影響。

周密地考慮對抽水試驗影響的各種因素，選擇一個符合于具體水文地質條件的計算公式，對于正確評價含水層的滲透性能，進行供水水源水資源評價、預測隧道涌水量都是十分重要的。含水層特性、取排水構筑物結構、水文地質試驗方案及水文地質參數計算方法等都影響到k值計算是否合理。當含水層的厚度、補給能力、滲透性、濾水管長度、井結構和抽水量等各種因素配合得當，或采用小降深抽水，雖然可以在滲流場中找到不受井壁邊界條件、也不隨含水層補給條件影響的一個區域，并以此區域測得的降深值代入裘布依公式計算出相對真實的k值。但由于小降深（s=1 m）確定的k值不符合工程實際對大降深條件的要求——設計降深下的供水水源評價、大降深條件下的隧道涌水量預測評價，從而常常失去對工程實際的指導意義。

2.3 規范條文及條文說明中工程實例的適宜性分析

《規范》（TB 10049—2014）中單位出水量計算方法如下：

式中：q為單位出水量（即《方法》中的單位比涌水量），m2/d。

舊《規程》（TB 10049—2004）[14]q=aQ+bQ2明顯是不正確的，《規范》對其進行了修改，但依然沒有修改到位，也還是錯誤的。由于q指當s=1 m時的出水量，因此其表達式應為：

此外，式（10）其實與《方法》的本意不完全相符。《方法》雖然利用了Q-s曲線，但并未強調建立曲線方程，更未指明是拋物線方程。其步驟是繪制Q-s曲線，取s=1 m時的涌水量為單位比涌水量。《方法》利用作圖法確定q的方法，巧妙地避開了利用涌水量曲線方程不同而確定q值的不利條件，以防止利用曲線相關與確定單位出水量的直線相關之間的矛盾更為直接地暴露與對立起來。《規范》直接給出拋物線方程，不僅突顯了Q與s之間直線相關（由式（1）、式（3）所反映）與曲線相關（式（10）所反映）的矛盾性，而且也不完整——應根據曲度值判斷出曲線類型后，再進行相關的單位涌水量計算。

當據曲度值進行判斷，確定出曲線類型，進而計算q值時，《規范》4.2.7條文說明中，兩孔的計算結果都存在著或多或少的錯誤。

以LDS-7號孔抽水試驗結果為例，s1=13.80 m，Q1=363.744 m3/d；s2=8.55 m，Q2=270.086 m3/d，利用曲度值分析，n=1.6，涌水量曲線方程為指數型，因此建立涌水量曲線方程如下：

當 s=1 m 時，q=97.912 m2/d，k=97.912×1.3/46.23=2.753 m/d。而《規范》在將涌水量曲線方程改為拋物線情況下，計算結果為：當s=1 m時，q=95.758 m2/d，k=95.758×1.3/46.23=2.693 m/d，R=205 m。雖差別些許，但如此修改已不能看出由指數型曲線所反映出的水文地質條件。

以LDS-5號孔抽水試驗結果為例，s1=3.43 m，Q1=421.891 m3/d；s2=2.20 m，Q2=336.442 m3/d，利用曲度值分析，n=2.0，涌水量曲線方程為拋物線型，因此建立涌水量曲線方程如下：

當 s=1 m 時，q=224.492 m2/d，k=6.125 m/d。

而《規范》的計算結果為：

當 s=1 m時，q=227.350 m2/d，k=6.203 m/d，R=204 m。

此外，兩個抽水試驗孔的井半徑相同、水力性質相同、含水層分布規律及厚度基本相同，巖性同為細砂，但s、q、k值明顯不同，而影響半徑又幾乎相等，其原因顯然需要進一步探究。

2.4 不同降深、相同R的適宜性分析

《方法》工程實例中各井、不同降深的R（稱為影響半徑）皆為350 m；《規范》4.2.7條文說明工程實例中，各孔、不同降深R（稱為影響半徑）基本相同為204 m。以裘布依理論為基礎，以單位出水量（或單位比涌水量）求解滲透系數，再利用計算出的滲透系數值代入裘布依公式求出的R應該代表什么？裘布依理論下，R反映了含水層的形狀和大小，并將含水層限制為一個圓柱體，R體現著地下水的補給來源和補給量，抽水井的出水量只是從圓柱體的面補給，而無其他來源。抽水的影響范圍是由含水層的半徑來表示，因而不論井分布、不論降深不同，都有相同的R。這時它的含義應該是補給半徑，某種意義上它是一個極值，缺乏工程實用意義或實用性不強。如《規范》4.2.7條文說明中LDS-7、LDS-5號孔，兩孔s、k變化較大，但所謂的影響半徑幾乎相同；LDS-7號孔，s1=13.80 m、s2=8.55 m，降深變化如此之大，而R值也基本相同。

當我們認為R值隨降深而變化，以形式相同的式（1）、式（3）及庫薩金經驗公式等聯立求解時，R應該代表什么？蒂姆理論下，R反映了從抽水井中心到相對觀測不出地下水位下降處的水平距離，這個距離之外，地下水基本不受抽水的影響。抽水井抽出的水量首先來源于儲存量，因而不同井分布、不同降深有不同的R值[15]。這時它的含義應該是影響半徑，它收斂于補給半徑，有較強的工程適用意義。在這樣的理念下，上述水源地會計算出真正含義、且數值不同的影響半徑。

小降深下的k值，主要用以反映含水層本身特征——土的客觀性質，再返回用以計算大降深下的R值，這些參數不僅包括了含水層本身的影響，更包括了抽水條件、井結構及降深、水力性質等因素影響，早已越出土的客觀性質之外，因而小降深下的k值再返回代入裘布依公式用以計算大降深下的R值的理論基礎似乎并不存在，且毫無意義（對于每一水源地，各井影響半徑都相等）。此外，既然按涌水量曲線方程進行相應求解分析，但Q-s曲線方程為拋物線型、指數型，都說明裘布依公式與實際涌水量方程之間有明顯的區別，也說明《規范》經驗公式是不夠合理的。

2.5 《方法》中支撐性試驗適宜性分析

以《方法》表1部分資料（潛水群孔抽水，試驗孔編號554～629）為例，將第2次降深與1 m降深求解的滲透系數對比如表1。

表1 不同降深滲透系數計算值對比

表1中，D值在s=1 m、s2情況下都取1.3，前者相對誤差介于+14.4%～-11.3%，而后者介于0.00%～-45.9%，明顯有所增大。盡管s2/M介于0.10～0.32，仍明顯小于《規范》中對降深最大值的取值要求。對于554、586、608、617 等鉆孔，s2/M 介于 0.10～0.18，甚至滿足《方法》中關于較小降深的要求——s2/M≤0.2，但相對誤差仍達-9.5%～-31.4%，說明了所謂的小降深條件下，利用式（8）計算，明顯仍有不合理的情況出現。原因在于，即便小降深情況下，單位比水量Q/s已出現了明顯的下降，亦即式（8）直線相關關系已不再合理。此外，經反演計算該部分鉆孔的井半徑0.128～0.217 mm，是避免三維流發生的相對適宜半徑。支撐性試驗的小降深（s=1 m）、適宜的井半徑等試驗、求參條件，避開了紊流、三維流的影響，忽略了抽水時非穩定動態要素的影響，利于以單位出水量計算k值。

2.6 利用單位涌水量計算含水層滲透系數的有關理論及經驗公式

泰斯（1963）以他的方程式為基礎，提出了在S為常數、t為變數、不考慮井的效率的條件下，依據單位涌水量估算T的方法[6]。對于承壓含水層完整井：

式中：S為儲水系數；t為抽水時間，d；其他符號意義同上。

Razack和Huntly（1991）在摩洛哥平原用不同的方法研究T和q的關系[7]，建立了如下經驗公式：

說明滲透系數與單位涌水量之間是指數相關關系。

3 結語

a）隨著適合水文地質條件并符合工程實際特點的水文地質試驗方法越來越合理，降深設計、降深次數和抽水試驗延續時間等視水文地質條件、試驗目的和水文地質參數計算方法而確定，利用經驗公式求取水文地質參數失去了曾有的合理性。

b）經驗公式建立的前提——適宜的井半徑、小降深要求不存在時，經驗公式已與工程實際脫節，從而失去了其應有的適宜性。

c）利用經驗方法求出的k，再代入裘布依方程求解出的R，是不隨降深變化而變化、不隨井位不同而不同的補給半徑，它是一個極值；隨降深變化而變化的影響半徑，更具工程實際指導意義。