概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中案例教學(xué)法的探討

董 琳

（周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口 466001）

引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的一門學(xué)科，廣泛應(yīng)用于社會、經(jīng)濟等領(lǐng)域，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和統(tǒng)計分析能力的重要課程。該課程在大部分理工科專業(yè)中都有開設(shè)，比如化工、機電、計算機等專業(yè)。同時，作為理論性和專業(yè)性比較強的課程，學(xué)生學(xué)習(xí)起來難度相對較大，部分學(xué)生還可能存在著畏難情況。在教學(xué)反饋中，經(jīng)常有學(xué)生表示課程內(nèi)容已經(jīng)學(xué)會了，但是做題卻沒有思路。針對教學(xué)中存在的問題，將案例教學(xué)法應(yīng)用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中，以期提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率并且提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

一、當(dāng)前教學(xué)中存在的問題

（一）重視概率忽略統(tǒng)計

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)中，概率論是前期的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是后期的應(yīng)用。概率論部分主要介紹隨機變量的基礎(chǔ)概念，常用的離散分布、連續(xù)分布，隨機變量的數(shù)字特征，以及奠定概率論理論基礎(chǔ)的中心極限定理。數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容主要是應(yīng)用，比如在實際生活中經(jīng)常用到的參數(shù)估計和假設(shè)檢驗。

大部分理工科專業(yè)分配給該課程的課時量都較為緊張，為了打好概率論的基礎(chǔ)，多數(shù)教師放到前期的課時量較多，導(dǎo)致留給后期數(shù)理統(tǒng)計的時間較少，存在著虎頭蛇尾的現(xiàn)象。數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求不高，在學(xué)習(xí)期間難點不多，從而學(xué)生也不夠重視。但是在課程結(jié)束之后，如果學(xué)生在未來的課程或?qū)嶋H中用到，由于對統(tǒng)計的印象不夠深刻，需要調(diào)用該部分知識時，會感覺像是重新學(xué)習(xí)了一門新課程[1]。

（二）強調(diào)理論缺少興趣

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是來源于實踐的一門課程，在實際生活中有廣泛的應(yīng)用。在發(fā)展過程中，該學(xué)科經(jīng)歷了公理化的嚴格定義，建立了嚴密的數(shù)學(xué)框架，進而提升了理論的高度。比如在概率的定義中，最早出現(xiàn)的是統(tǒng)計定義，然后出現(xiàn)的是古典定義、幾何定義，直到柯爾莫哥洛夫提出了概率的公理化定義，才將之前的定義統(tǒng)一起來。

在實踐教學(xué)中，多數(shù)教師著重從數(shù)學(xué)定義上進行講解，同時輔以例題分析，即使例題可能來自現(xiàn)實生活，但是仍然脫離了實際使用情況。同時，受限于部分專業(yè)學(xué)生基礎(chǔ)的限制，在授課過程中，教師可能過于強調(diào)公式的計算，具體的求解步驟。學(xué)生學(xué)習(xí)到的僅僅是一道道題目，并不能理解這些題目背后的思想和真正訓(xùn)練的目標。

二、案例教學(xué)法的探討

針對課程教學(xué)中存在的問題，為了促進學(xué)生的理解吸收，需要不斷探索新的教學(xué)方法并進行分析應(yīng)用，引入案例教學(xué)法是一種有效的補充和嘗試。案例教學(xué)法是以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，區(qū)別于滿堂灌的老師主講方式，而是通過提出問題引導(dǎo)學(xué)生參與討論，老師進行鼓勵和幫助。案例教學(xué)法自1980年引入教師培訓(xùn)中，而后在1990年受到國內(nèi)教學(xué)界的重視，目前已經(jīng)應(yīng)用到多門學(xué)科的教學(xué)體系中[2]。案例教學(xué)法能夠架起理論和實踐的橋梁，在課堂教學(xué)中，通過挑選合適的案例，可以消除理論模型和公式的陌生性，將學(xué)生引入到熟悉的場景中，解除學(xué)生的畏難情緒，并且通過案例的學(xué)習(xí)，學(xué)生對知識的應(yīng)用也有了進一步的理解。

經(jīng)過長期實踐與改進，案例教學(xué)法的步驟已經(jīng)逐步完善。首先，需要教師精心挑選教學(xué)案例，針對課堂教學(xué)的重點和難點，針對性的選擇典型案例，以恰當(dāng)?shù)姆绞秸故窘o學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生產(chǎn)生好奇心。其次，結(jié)合展示的案例，鼓勵學(xué)生參與討論，讓學(xué)生帶著問題去思索，化被動為主動，將問題與所學(xué)知識進行聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進行探索。最后，教師對學(xué)生的討論進行點評，肯定學(xué)生在探索過程中的思考，并對教學(xué)內(nèi)容進行提煉總結(jié)，幫助學(xué)生進行梳理，使學(xué)生學(xué)會運用所學(xué)知識來解決問題[3]。下面結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的具體教學(xué)案例進行分析探討。

（一）條件概率的應(yīng)用

教學(xué)分析：

條件概率是概率論里較為重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，與高中數(shù)學(xué)的概率知識相比，難度有了明顯的提升，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到的一道難關(guān)。條件概率中包含三個重要的基本公式，即乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式。其中難度較高的是貝葉斯公式，涉及到先驗概率和后驗概率，這部分歷來作為一個難點，一般會投入較多的精力。

教學(xué)案例：

敏感性問題調(diào)查

生活中通常需要對一些問題進行調(diào)查問卷，統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)。當(dāng)某些問題比較敏感時，比如學(xué)生是否作弊，職員對領(lǐng)導(dǎo)是否滿意，孩子是否對家長撒謊等，如果直接進行調(diào)查，被調(diào)查者出于種種考量，很可能給出的不是真實的回答，從而會影響數(shù)據(jù)的真實性。

為減輕被調(diào)查者的心理負擔(dān)，設(shè)計一種復(fù)合式調(diào)查問卷。先準備一個箱子，箱子里放置等數(shù)量的白球和紅球，被調(diào)查者從箱子里摸出一只球，看了顏色后放回去。如果取出白色的球，回答第一個問題；如果取出紅色的球，回答第二個問題。第一個問題為：你的生日是否在7月1日之前？第二個問題則是調(diào)查者真正關(guān)心的問題。調(diào)查問卷上只有：“是”或者“否”兩個選項，而球的顏色只有被調(diào)查者本人知道，因此可以真實作答，得到的數(shù)據(jù)較為準確。

問題提出：

1.統(tǒng)計調(diào)查問卷中得到的“是”的比例代表什么含義？

2.第一個問題為什么設(shè)置為“7月1日”？

3.這種復(fù)合式調(diào)查問卷背后的數(shù)學(xué)模型是什么？

4.調(diào)查者真正關(guān)心的問題的“是”的比例如何求解？

問題解析：

該模型可以看作一個復(fù)雜事件的問題，統(tǒng)計調(diào)查問卷中得到的“是”的比例可以作為一個復(fù)雜事件的概率，記為。記摸出白球為事件B1，摸出紅球為事件B2。第一個問題回答“是”的比例是條件概率，第二個問題回答“是”的比例是條件概率，即真正關(guān)心的概率是。

箱子里面設(shè)置等數(shù)量的白球和紅球，是為了給出事件B1和事件B2的概率。第一個問題設(shè)置為“7月1日”是為了確定條件概率，類似的也可以設(shè)置為“4月1日”或“10月1”日等。作為一個復(fù)雜事件概率的問題，這里需要用到的是全概率公式，但是與常見的應(yīng)用不同的是，這里是從右向左倒著應(yīng)用公式，即統(tǒng)計調(diào)查問卷得到概率，白球和紅球數(shù)量得到概率和，設(shè)置為7月1日得到條件概率，最終應(yīng)用公式可以計算得到真正關(guān)心的第二個問題的概率。

這個案例看似要用到貝葉斯公式，其實抽絲剝繭是一個復(fù)雜事件的分解問題，并沒有涉及到先驗概率到后驗概率的轉(zhuǎn)化。通過這個案例讓學(xué)生認識到并不是所有的問題都是一個套路，而是需要結(jié)合具體背景進行分析。

教師總結(jié)：

首先從知識層面上進行總結(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生回顧條件概率及三個公式，梳理三個公式的異同點和前后關(guān)系。然后結(jié)合學(xué)生回答問題的情況進行總結(jié)，肯定學(xué)生正確的方向，糾正學(xué)生的細節(jié)問題，引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié)，理清整個教學(xué)案例的思路。最后從探索方式上進行總結(jié)，將實際問題與背后的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來，讓學(xué)生意識到這些知識并不是冷冰冰的公式，而是現(xiàn)實生活中提煉出來的智慧結(jié)晶[4]。

（二）泊松分布的來源

教學(xué)分析：

不同于前期學(xué)習(xí)的古典概型和幾何概型，也不同于二項分布等具體試驗的分布，泊松分布是學(xué)生遇到的第一個相對抽象的分布。大多數(shù)教材的處理方式是直接給出泊松分布的分布列等性質(zhì)，個別教材會補充“馬踏死人”的例子，但是都沒有說明泊松分布的來源，即為什么會給出這樣一個概率。在高等數(shù)學(xué)前期課程的學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生已經(jīng)養(yǎng)成了不問來源全盤接受的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這樣重視戰(zhàn)術(shù)輕視戰(zhàn)略的習(xí)慣對長期的學(xué)習(xí)積累是沒有益處的。

教學(xué)案例：

某工廠生產(chǎn)一種玻璃，由于技術(shù)水平的限制，生產(chǎn)出的玻璃可能會出現(xiàn)氣泡，為了便于改進生產(chǎn)技術(shù)，需要對玻璃單位面積上的氣泡個數(shù)進行統(tǒng)計分析。假定氣泡出現(xiàn)的規(guī)律滿足以下三個條件：

（1）氣泡出現(xiàn)的概率比較穩(wěn)定；

（2）每塊玻璃出現(xiàn)的氣泡個數(shù)是相互獨立的；

（3）出現(xiàn)氣泡的概率比較小。

問題提出：

1.該問題用到了前面學(xué)習(xí)過的哪種分布類型？

3.在計算極限過程中，前面提到的三個假定條件分別有什么作用？

問題解析：

這個案例是從知識層面解釋了泊松分布中概率公式的來源，讓學(xué)生清楚了這個概率并不是憑空得來的，而是通過極限求來的，并且具有實際意義。

教師總結(jié)：

首先說明，這個問題的難度較大，學(xué)生不能完全探索出來甚至只能分析到一半都是很正常的，這個案例的引入主要是為了給出泊松分布的來源，其中用到的數(shù)學(xué)技巧較深。其次，在關(guān)鍵點引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的兩類重要極限，啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思索。最后，梳理整個案例的求解脈絡(luò)，帶領(lǐng)學(xué)生體會泊松分布的分布列的求解過程，并且留給學(xué)生繼續(xù)思考的問題，比如泊松分布在實際生活中有哪些應(yīng)用等。

這個案例本身趣味性不強，理論推導(dǎo)公式較多。盡管很多學(xué)生在一段時間后會遺忘具體的推導(dǎo)，這并不代表這個案例是沒有意義的。很多時候，學(xué)生時代學(xué)到的具體理論，具體公式在時隔多年后都會記憶不清，即使如此，學(xué)習(xí)過的痕跡還會在，和完全沒有學(xué)過是不同的，學(xué)過的思想和方法也許才是教育的實質(zhì)。

（三）假設(shè)檢驗與置信區(qū)間的關(guān)系

教學(xué)分析：

在數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中，先學(xué)習(xí)的是置信區(qū)間，后學(xué)習(xí)的是假設(shè)檢驗，兩者是存在著內(nèi)在聯(lián)系。置信區(qū)間研究的是，當(dāng)參數(shù)未知時，給出參數(shù)的一個估計范圍，即一個區(qū)間，保證未知參數(shù)以大概率落在區(qū)間內(nèi)。假設(shè)檢驗研究的是，當(dāng)參數(shù)已知，根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)對參數(shù)的真實性進行檢驗，將整個區(qū)域劃分為拒絕域和接受域，檢驗依據(jù)的是小概率事件原理。很多學(xué)生學(xué)習(xí)到假設(shè)檢驗的接受域時，會朦朦朧朧覺得比較熟悉，這時需要適度引導(dǎo)，讓學(xué)生進一步將感覺轉(zhuǎn)化為實質(zhì)的理解。

教學(xué)案例：

某工廠生產(chǎn)一種化學(xué)藥品，產(chǎn)品的濃度服從正態(tài)分布，長期以來其濃度的標準差維持在=0.25。

（2）根據(jù)長期觀測，在工廠生產(chǎn)正常的狀況下，產(chǎn)品的濃度服從正態(tài)分布N（1.25,0.25），在（1）的條件下，以0.05 的顯著性水平，請判斷這批產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況是否正常。

問題提出：

1.在（1）的條件中，=μ1.25是否落在置信區(qū)間內(nèi)？

3（.1）中的置信區(qū)間與（2）中的接受域有什么聯(lián)系？

4.上述問題之間的關(guān)系能否推廣到一般情況？

問題解析：

在（1）中，圍繞著樣本均值，根據(jù)中心極限定理，結(jié)合樣本標準差，構(gòu)造出的置信區(qū)間為，這是由于樣本均值漸近服從以μ 為均值的正態(tài)分布，因此置信區(qū)間是以樣本均值為中心的對稱的區(qū)間。

在（2）中，判斷產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況是否正常，即判斷樣本均值是否落在接受域內(nèi)，此處是以真正的均值μ為中心的對稱區(qū)間，區(qū)間半徑和（1）中是一致的。

比較（1）和（2），可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造置信區(qū)間和接受域的本質(zhì)方法都是一致的，都是以中心極限定理為依據(jù)，在0.95 的置信水平和0.05 的顯著性水平下，構(gòu)造出的區(qū)間半徑都是以標準正態(tài)分布的0.975 分位數(shù)進行界定的。不同的地方是，構(gòu)造置信區(qū)間時，是以樣本均值為區(qū)間中心；構(gòu)造接受域時，是以真值為區(qū)間中心。在一般情況下，假設(shè)檢驗的接受域和置信區(qū)間是一一對應(yīng)的。

教師總結(jié)：

首先從知識層面總結(jié)，對比第一問和第二問的求解過程，得出置信區(qū)間和接受域本質(zhì)是一致的。其次，引導(dǎo)學(xué)生比較兩者的不同點，如應(yīng)用條件、應(yīng)用范圍，過程中補充學(xué)生總結(jié)不到位的地方。最后，留給學(xué)生課后思考題，將本例從特殊情況推廣到一般情況，充分給與學(xué)生自由度，課后學(xué)生可以自由組合，采取小組合作的方式解決問題，充分發(fā)揮學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

通過這個案例，將數(shù)理統(tǒng)計中的兩個模塊參數(shù)估計和假設(shè)檢驗聯(lián)系起來，有心的學(xué)生在察覺到這種聯(lián)系后能夠進一步求證，這種學(xué)習(xí)體驗對學(xué)生是非常有益的，可以幫助學(xué)生訓(xùn)練學(xué)習(xí)遷移能力和自主探索能力。

結(jié)語

根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的學(xué)科特點，結(jié)合當(dāng)前教學(xué)過程中存在的問題，引入案例教學(xué)法作為提高教學(xué)效率的方式。分別挑選了條件概率的應(yīng)用、泊松分布的來源、假設(shè)檢驗與置信區(qū)間的關(guān)系作為教學(xué)案例，從教學(xué)分析、案例選擇、問題提出、問題解析和教師總結(jié)五個方面展開。案例教學(xué)法能夠充分調(diào)動學(xué)生的積極主動性，提高學(xué)生解決問題的能力，是將理論與實踐相結(jié)合的有效教學(xué)模式。