基于GeoGebra軟件的有界磁場臨界問題的可視化教學

元瑤 高麗宇 樂露露 谷程鵬 廖湘萍

(湖南工業大學理學院 湖南 株洲 412007)

王詩龍

(株洲市第八中學 湖南 株洲 412000)

1 引言

在物理學習過程中，常常會遇到一個物理現象向另一個物理現象轉變時，存在一個分界現象，通常將物體這時所處的狀態稱為臨界狀態[1].帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題是高中物理教學的重點和難點.

從思維邏輯的角度分析，帶電粒子的運動較為復雜，運動軌跡隨著磁場大小、粒子的入射速度、入射方向的改變而改變，再加上有界磁場下粒子運動的臨界條件的限制，學生需要有較強的邏輯思維能力和較好的空間想象力才能得出帶電粒子運動的變化規律，并繪制出滿足臨界條件的運動軌跡.

從數學方法的運用角度分析，此考點的難點在于，帶電粒子進入設定的有界磁場后只運動一段圓弧就飛出磁場邊界，其軌跡不是完整的圓[2].學生除了需要掌握如何求得洛倫茲力的大小，還需要能根據幾何關系結合三角函數找到軌跡圓的圓心，求得軌跡圓的半徑，對學生的數學水平有一定的要求.

利用GeoGebra對帶電粒子進行軌跡追蹤，使其運動狀態宛然如目，大大降低學生理解帶電粒子在勻強磁場中運動規律的難度，幫助學生發現滿足臨界條件的粒子運動軌跡.同時能夠加強學生對物理模型的理解與運用，提高學生對基礎問題的理解能力，培養其由簡入難掌握此類問題的要領和處理此類問題的能力[3].

筆者以“帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題”習題教學為例，將抽象帶電粒子的運動過程以動態的形式呈現在學生面前，高效地幫助學生理解物理過程、構建物理模型，提升學生將抽象問題形象化的能力.

2 習題可視化教學設計思路

有界磁場臨界問題的臨界條件通常以限定詞的方式給出.如“恰好射出”“運動時間最長”“垂直某邊界射出”“平行某邊界射出”“與水平方向呈某角度射出”等.教師需要幫助學生完成物理情景的再現，感受粒子軌跡動態變化的過程，并根據臨界條件，找到符合要求的軌跡，最后結合數學幾何關系和相關物理知識解題.習題教學的設計思路如圖1所示.

圖1 教學設計思路圖

3 雙直線邊界磁場臨界問題

【例1】兩塊長為L，相距L的板間存在垂直紙面向里的勻強磁場，一電荷量為-q，質量為m的帶電粒子以速度v0從兩板中間R點處平行于板射入，若使粒子最終可飛出磁場，求磁感應強度B的取值范圍.

讀題:學生讀題可得到磁場為垂直紙面向里的雙邊界磁場，帶負電的粒子在R點處平行于板以速度v0射入.問粒子能射出磁場時B的取值范圍.

軌跡動態模擬:學生根據“左手定則”判斷出粒子的偏轉方向，并且推測當B值發生改變時，粒子軌跡會呈現怎樣的變化.之后，教師運用GeoGebra展示帶電粒子在磁場中的軌跡隨磁場大小變化而變化的動態過程,如圖2所示.

圖2 軌跡動態變化圖

確定臨界軌跡:學生通過對粒子軌跡動態變化過程的觀察可發現，當B值增大時射出點向下移動，當B值減小時射出點向上移動.當軌跡與磁場下邊界最右端B點相交時便是臨界狀態.

圖3 臨界狀態軌跡圖

提取數學模型:如圖4所示，線段RB是完整軌跡圓的弦.根據幾何關系，圓心應是RB的中垂線與速度方向垂線的交點.

圖4 臨界軌跡數學模型圖

數理結合求解:根據幾何關系可知

(1)

由洛倫茲力提供向心力可知

(2)

4 矩形磁場臨界問題

【例2】如圖5所示，長寬分別為d和2d的矩形ABCD區域內，存在大小為B的垂直矩形面向里的勻強磁場.若在AB邊中點處，可發射如圖5所示沿AB方向和垂直于AB方向不同速率的粒子.粒子質量為m，電荷量為+q，不計粒子的重力及粒子間的相互作用力.分別求出從CD，BC，AD，AB邊射出時粒子的速率取值范圍.

圖5 矩形磁場示意圖

讀題：學生讀題可得到的信息為:已知長和寬的垂直向里的矩形磁場，帶電荷量為+q的粒子在AB中點可沿垂直AB和平行AB兩個方向射入磁場.求從各邊界射出時粒子速率的取值范圍.

軌跡動態模擬：學生根據“左手定則”判斷由兩個方向射入的粒子的軌跡偏轉方向，并推測粒子運動軌跡隨速度大小變化而變化的動態過程.之后，教師用GeoGebra展示速度變化時粒子軌跡的動態變化過程.

(a)平行AB射入

(b)垂直AB射入

確定臨界軌跡：如圖6所示，學生在觀察軌跡動態變化的過程中可發現，兩個方向射出的粒子，其射出點都隨速度的增大朝順時針方向運動.只有沿AB射入的粒子才可能打到BC邊界上，臨界狀態是恰好打到C點.只有垂直AB射入的粒子才可能打到AD邊界上，臨界狀態是粒子恰好打到A點和恰好打到D點.只有垂直AB射入的粒子才能打到AB邊界上，臨界狀態是粒子恰好打到A點.兩方向射入的粒子都可能從CD邊界射出，若粒子沿AB方向射入，臨界狀態是粒子恰好打到C點和軌跡圓剛好與CD相切.若粒子垂直于AB方向射入，臨界狀態是粒子恰好打在D點.不同臨界狀態軌跡如圖7所示.

(a)粒子恰好打到C點

(b)粒子恰好與DC邊相切

(c)粒子恰好打到D點

提取數學模型：確定粒子恰好打到C，D，A點和軌跡與DC相切時的情況，利用GeoGebra提取臨界軌跡和邊界組合成的數學圖形,如圖8所示.

(a)粒子恰好打到C點

(b)粒子恰好與DC邊相切

(c)粒子恰好打到D點

(d)粒子恰好打到A點

由洛倫茲力提供向心力

(3)

解得

結合射出點隨速度大小變化的規律可得：當粒子垂直于AB射入，若

3.2.3 長期炎癥 創面大、組織損傷重、局部血液循環差是導致慢性骨髓炎的重要原因。長期炎癥刺激可引起局部皮膚惡變、貧血、低蛋白血癥。長期臥床導致肌肉萎縮、關節僵硬、功能喪失，最終在治療上陷于困境、心理上失去信心，導致截肢。

則粒子從AB邊射出；若

則粒子從AD射出；若

則粒子從CD射出；當粒子沿AB方向射入，若

則粒子可從BC射出；若

則粒子從CD射出.

5 三角形邊界磁場臨界問題

【例3】在等腰直角三角形ACB中有垂直紙面向外的勻強磁場.若質量為m、帶電荷量為+q的粒子垂直AC方向以速度v射入磁場，且垂直CB射出時的粒子在磁場中運動的時間最長.不計粒子重力和粒子間的相互作用，求AC的邊長、粒子運動的最長時間.

讀題:學生通過讀題可得到的信息為等腰直角三角形且垂直向外的磁場、帶電荷量+q的粒子垂直AC射入、垂直CB射出的粒子運動時間最長.求AC長度、粒子運動最長時間.

軌跡動態模擬:學生根據“左手定則”判斷出粒子軌跡的偏轉方向，推測粒子射點在AC上變化時其軌跡的變化.之后，教師利用GeoGebra向學生展示入射點改變時軌跡的動態變化過程，如圖9所示.

圖9 不同入射點的粒子軌跡圖

圖10 臨界狀態的粒子軌跡圖

提取數學模型:臨界軌跡與AB相切，連接圓心O與切點P，則有OP⊥AB，如圖11所示.

圖11 臨界軌跡數學模型圖

數理結合求解:由幾何關系可知

ACsin45°=r

(4)

由洛倫茲力提供向心力

(5)

聯立式(4)、(5)可得

由

(6)

因為圓心角為90°，所以

6 圓型邊界磁場臨界問題

【例4】有一個半徑為R的圓形勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里.AC為圓的直徑，O為圓心.當帶正電的粒子以速度v與AC呈45°從C點射入時，恰好從A點沿水平方向射出.不計重力，求該粒子的比荷、軌跡圓的半徑、粒子在磁場中運動的時間.

讀題:學生讀題可知,半徑已知的垂直向里的圓形磁場,帶正電粒子以速度v與AC呈45°射入，水平方向射出，求比荷、軌跡圓半徑和在磁場中的運動時間.

軌跡動態模擬:學生根據“左手定則”判斷粒子的軌跡偏轉方向，并推測改變粒子的入射速度，粒子軌跡將如何變化.之后，教師用GeoGebra模擬軌跡隨速度變化的動態變化過程,如圖12所示.

圖12 不同速度下粒子的動態軌跡圖

確定臨界軌跡:在動態變化的軌跡中發現以45°角入射時射出點隨v增大沿順時針方向運動，但在A點水平射出的軌跡只有一條,如圖13所示.

圖13 臨界狀態軌跡圖

抽離數學模型:作出粒子射入方向和射出方向的垂線，交點G為軌跡圓圓心,如圖14所示.

圖14 臨界軌跡數學模型圖

數理結合求解:由幾何關系可知圓心角為90°.軌跡半徑r與磁場半徑R的關系為

(7)

由洛倫茲力提供向心力

(8)

聯立式(7)、(8)可得

由

(9)

因為圓心角為90°，所以

7 結束語

利用GeoGebra軟件強大的動態畫板功能，將帶電粒子在雙直線邊界磁場、矩形磁場、三角形邊界磁場和圓型邊界磁場中運動的軌跡可視化，幫助學生完成物理情景的再現，感受粒子軌跡動態變化的過程，降低習題教學中學生的理解難度.同時，運用GeoGebra的幾何功能，將數學與物理緊密結合，培養學生數理思維使其能靈活運用數學工具解決物理問題.