Hilbert空間中關于有限時滯隨機發展方程的Trotter-Kato逼近體系*

劉 明，戴凌飛，張 霞

（天津工業大學數學科學學院，天津 300387）

0 引 言

近年來，隨機發展方程的逼近理論研究已引起了國內外許多相關領域著名學者的關注，如：Ichika‐wa［1］研究了半線性隨機發展方程的Yosida逼近體系，并給出了該體系下適定解的指數穩定性，在此基礎上，Govindan 和 Ahmed［2］進一步證明了此類方程適定解的魯棒穩定性；Ahmed和 Ding［3］研究了半線性隨機發展方程中的非線性漂移項同時依賴于解過程在給定時刻的狀態和概率分布，且常數可加擴散項為正對稱有界算子時適定解的性質，并建立了方程關于適定解的Yosida逼近體系，從而給出解的指數穩定性；Govindan 和 Ahmed［4］研究了當方程中的非線性漂移項如文獻［3］中定義，但常數可加擴散項為算子值函數時的情況，接著通過方程適定解建立了 Yosida逼近體系；Govindan［5-7］研究了上述3類隨機發展方程適定解的Trotter-Kato逼近體系，并給出了其在該逼近體系下適定解誘導概率測度的弱收斂性，以及關于方程參數依賴性的經典極限定理.而且Trotter-Kato逼近理論研究在自然科學、工程學以及金融數學等眾多學科所誘導的隨機動力系統的模擬計算中起著越來越重要的作用.本文擬介紹隨機發展方程的Trotter-Kato逼近理論的研究進展，并將在此基礎上研究有限時滯隨機發展方程關于適定解的Trotter-Kato逼近體系.

首先，回顧半線性隨機發展方程

式中：A是Hilbert空間X上有界線性算子強連續半群{S(t)，?t≥ 0}的無窮小生成元；f是定義在 R+×X上的X值函數；g是定義在R+×X上的L(Y，X)值函數；ω(t)是Y值維納過程；初值x0是F0可測X值隨機變量 .1982年，Ichikawa［1］證明了方程（1）適定解的存在唯一性；2015年，Govindan［6］通過適定解將Trotter-Kato逼近體系引入到該方程并得到了一些重要的結論；2015 年，Govindan 和 Ahmed［4］對方程（1）中的非線性漂移項f進行了推廣，使其同時依賴于隨機過程x(t)在t時刻的狀態和概率分布μ(t)，改進后的方程為

1995 年，Ahmed 和 Ding［3］考慮了當常數可加擴散項的情形.此時上述方程變為：

式中Q是X上的正對稱有界算子.2006年，Govin‐dan［5］研究了方程（3）上的 Trotter-Kato 逼近體系 .2018 年，Govindan［7］根據方程的適定解引入了 Trot‐ter-Kato逼近體系，并給出在該體系下適定解誘導概率測度的弱收斂性.

基于此，本文將致力于研究有限時滯隨機發展方程的Trotter-Kato逼近體系，進而得到一些有意義的結果.方程的具體形式為

1 預備知識

2 Trotter-Kato逼近體系

隨機發展方程（4）適定解的存在唯一性可由命題2.1得到，本文在主要結論定理2.1中證明了當p≥2時Trotter-Kato逼近體系下的適定解收斂于方程（4）的適定解；在此基礎上，定理2.2給出關于零階逼近的結論用以估計逼近的誤差.

2.1 適定解的收斂性

現考慮如下隨機發展方程

2.2 零階逼近

為得到關于零階逼近的結果，先給出如下假設：

3 經典極限定理

4 應 用

這證明了 f：R+× X → X.類似地，也可證明 g：R+×X → L(Y，X).因此方程（19）中的 A、f和 g均符合方程（4）中所給出的定義，即方程（19）可以看作是方程（4）的抽象形式.

這表明在一定的假設條件下，本文前面所給出的在Trotter-Kato逼近體系下適定解的收斂性，零階逼近以及經典極限定理等結論對方程（19）都是同樣成立.