鴨式布局雙旋彈彈道特性和運動穩定性研究

張蛟龍 ，馬廣甫，王詩宇，欽 波，張德平

(四川航天系統工程研究所，成都 610100)

0 引言

為適應現代戰場環境，世界各國對炮彈精度的要求越來越高。現武器庫中存放大量的無控旋轉彈，對其進行低成本制導化改造意義重大。普通旋轉彈具有極高的轉速，這使得安裝在彈上的制導控制組件失效，無法完成精確打擊目的。而一種雙旋結構、鴨舵控制的旋轉穩定方案能在一定程度上解決這一矛盾。四面舵片呈十字形布局，一對用于減旋，另一對實施控制。所謂雙旋，是指全彈分為前體和后體，兩部分以不同轉速相對旋轉。飛行過程中，后體高速旋轉來保證全彈的陀螺穩定性。在某一時刻，鴨舵展開對前體進行快速減旋，使制導控制機構得以進行有效控制。

基于該布局改造方案巨大的應用價值，國內外學者對其進行了深入而廣泛的研究。在動力學建模方面，早期Smith等[1]對該型彈丸的動力學特性進行了初步研究。Costello等[2]建立了雙旋彈運動學模型，并針對雙旋結構提出了改進的線性理論，為后續雙旋彈的理論研究奠定基礎。Gagnon等[3]以155 mm雙旋彈為模型，構建了滿足控制要求的6自由度線性化方程。此后，Wernert等[4]建立相對彈體不旋轉坐標系下的6自由度動力學模型，對俯仰和偏航的耦合效應進行了研究。常思江等[6]主要對鴨式布局雙旋彈進行了動力學建模及仿真。馮斌等[7]利用CFD,通過Levenberg-Marquardt算法對雙旋彈鴨舵導引組件修正模型進行了改進及參數辨識。

在氣動特性方面，Sangeon等[8]對PGK彈(加裝精確制導組件的一類旋轉穩定彈)的氣動特性進行了數值研究。Wernert等[9]分別對鴨舵收攏和展開兩種狀態進行了風洞實驗，分析了鴨舵展開對雙旋彈的氣動影響。錢龍，徐輝雯等[10-11]對雙旋彈進動時的氣動特性進行了數值分析。汪亞利等[12]利用數值方法研究了雙旋彈鴨舵的高度和舵偏角對全彈氣動力的影響。

在彈道特性方面，Wernert[9]對155 mm雙旋制導炮彈進行了開環彈道仿真，發現鴨舵的偏轉能獲得較大的側向修正。Bradley等[13]分析了預測誤差隨線性模型校正時間間隔的變化規律，發現校正間隔越長，產生的誤差越大。許諾等[14]提出了一種基于周期平均的彈道修正方法。常思江等[15]通過調整后體和前體極轉動慣量之比，達到前體快速減旋，后體仍能保持高速旋轉的目的。管軍[16]利用牛頓-歐拉法建立了雙旋彈七自由度運動模型，并對其彈道特性進行了分析，證明了所提出的方法能夠準確預測雙旋彈空中運動特性。

在飛行穩定性方面，Costello[17]發現陀螺因子受前后體轉速及極轉動慣量影響較大，但沒有考慮鴨舵控制力的影響。Wernert等[5]通過在Murphy角運動方程中引入鴨舵控制力，從系統特征根的角度分析了雙旋彈的穩定性。Cooper等[18]研究了鴨舵置后所引起的氣動不對稱，根據快慢模態特征值，分析這兩種特征值隨轉速的變化規律。常思江等[19-20]研究了雙旋彈鴨舵控制和重力耦合作用的動力學響應，并對雙旋彈在鴨舵周期性干擾作用下的強迫運動進行了研究，分析了鴨舵位置、舵面偏轉角和前后體極轉動慣量之比對彈體共振振幅的影響。朱大林[21]基于赫維茨穩定性準則推導了改進的穩定性判據，并給出了穩定性邊界的解析解，對于頭部安裝鴨舵所引起的不穩定性具有較好的預測作用。許諾等[22-23]研究了固定翼雙旋彈的動力學特性，應用分岔理論分析了固定翼雙旋彈的非線性動力學系統。趙新新等[24]對固定鴨舵控制下的角運動特性和控制穩定性進行了研究。李佳訊等[25]對該彈非線性角運動特性進行了研究，分析了振幅平面上可能存在的平衡狀態，給出了在氣動非線性條件下產生穩定圓錐運動的必要條件。

目前在鴨式布局雙旋彈彈道特性和運動穩定性方面理論仍不充分，特別是對影響彈丸修正能力的研究還存在不足，缺乏攻角解析解和飛行穩定性判據的理論分析與研究。文中以鴨式布局雙旋彈剛體運動模型為基礎，研究彈道末段啟控時刻與最大舵偏角對修正結果的影響。同時，對攻角的響應特性進行分析，推導攻角運動的解析形式，進而得到鴨式布局雙旋彈的穩定性判據，并用模型算例對判據的可靠性進行校驗。

1 鴨式布局雙旋彈彈道特性分析

1.1 剛體運動模型

為研究方便，對彈體做如下簡化：前后體質心和全彈質心共線，并與彈體軸線重合；全彈質量均勻分布，幾何外形關于軸線對稱。圖1為鴨式布局雙旋彈外形結構圖,考慮前體、后體的相對旋轉，建立七自由度運動模型。

圖1 鴨式布局雙旋彈外形結構圖

在彈道坐標系中建立雙旋彈的質心動力學方程：

(1)

式中：Fx2,Fy2,Fz2為氣動力在彈道坐標系x2,y2,z2方向的分量;FC,x2,FC,y2,FC,z2為控制力在彈道坐標系x2,y2,z2方向的分量;θa為速度高低角;ψ2為速度方位角。

鴨式布局雙旋彈的運動學方程為：

(2)

鴨式布局雙旋彈前后體的繞心動力學方程為：

(3)

鴨式布局雙旋彈前后體的繞心運動學方程為：

(4)

式中：ωF,ξ,ωA,ξ分別為前體和后體旋轉角速度在彈軸坐標系ξ方向的分量；ωη,ωζ分別為彈體旋轉角速度在彈軸坐標系η和ζ方向的分量；MV為前后體之間的滾轉阻尼力矩；MF,ξ,MA,ξ分別是前體和后體所受氣動力矩在彈軸坐標系ξ方向的分量；AF,AA是前后體的赤道阻尼力矩系數;rF,rA是前后體質心到全彈質心的距離；φ1,φ2分別是彈軸高低角與方位角。

(5)

(6)

在彈體坐標系中，鴨舵的控制力方程可以表示為：

(7)

式中：δr是相對攻角;β為側滑角;δc為舵偏角。

將彈體坐標系中的控制力轉換到彈道坐標系中：

(8)

式中:LVB是彈道坐標系OX2Y2Z2與彈體坐標系OX1Y1Z1之間的轉換關系矩陣；A,B,C分別表示控制力在彈道坐標系下的3個分量，其表達式為：

(9)

綜上所述，式(1)～式(4)與式(8)即為鴨式布局雙旋彈7自由度剛體運動模型。

1.2 彈道末段修正能力仿真分析

彈道末段修正能力是檢驗制導炮彈性能的一項重要指標。其中，啟動控制的時刻直接關系到控制力介入時間的長短，對縱向和側向會產生較大影響；啟動控制后，鴨舵做周期性的往復運動，最大舵偏角顯著影響彈體的縱向和側向平均控制力。因此，選取鴨舵啟控時刻和最大舵偏角為對象，研究其對縱向和側向修正能力的影響。

根據建立的剛體運動模型，所選主要仿真條件為：彈長0.365 m，彈徑0.076 m，彈丸前體質量1.9 kg，后體質量4 kg，膛線纏度30.6，彈丸初速980 m/s，射角45°，氣動力系數由風洞實驗和工程算法[26]給出。根據彈道計算結果可知，彈丸在28 s左右達到彈道頂點。因此，選取了40 s，45 s，50 s，55 s和60 s五個啟控時刻。表1和表2分別給出俯仰通道最大舵偏角δz,max=5°，控制相位角γ為270°和180°時不同啟控時刻的修正量計算結果。其中，ΔX表示彈體的縱向修正量，ΔZ表示側向修正量。比較發現，當控制相位角γ為270°時，40 s啟控對側向修正最大，但同時射程減小得也最多。60 s啟控產生的側向修正最小，引起的射程損失最少?？刂葡辔唤菫?80°，在對縱向進行修正時，隨著啟控時刻的推遲，引起彈道的側向偏差逐漸減小。

表1 γ=270°時不同啟控時刻彈道末端修正能力仿真結果

表2 γ=180°時不同啟控時刻彈道末端修正能力仿真結果

表1和表2的計算結果表明，相同控制相位角條件下，鴨舵啟控時刻越早，彈體在該通道修正量越大，但會引起另一個通道更大的附帶偏差。當γ=270°時，鴨舵主要提供側向修正。其產生的平均側向控制力大于后體高速旋轉所產生的馬格努斯力。啟控時刻越早，側向控制力產生的沖量就越大，引起的側向位移就越大。同時，鴨舵的側向控制在特定飛行環境中會引起與縱向通道的氣動交聯耦合，產生縱向附加作用力；且啟控時刻越早，兩通道之間的耦合程度越大，故會引起更大的射程損失。當γ=180°時，對縱向通道的修正規律與側向基本一致，但引起的側向偏差相對較小。綜上，在利用啟控時刻進行修正時，可以優先考慮縱向修正，滿足要求后再調整引起的側向偏差。

表3和表4分別給出了啟控時刻t=60 s，控制相位角為270°和180°時，不同舵偏角的修正量仿真結果。可以發現，當γ=270°時，隨著最大舵偏角的增加，側向修正量逐漸增大。這主要由于控制力的法向分量與舵偏角近似成正比，其軸向分量與舵偏角平方近似成正比，故舵偏角較小時可以認為舵面只提供法向力[27]。在滿足彈體飛行穩定的前提下，最大舵偏角越大，在γ=270°方向上產生的法向力就越大，在該通道的修正能力越強。但受氣動交聯耦合影響，射程將逐漸減小。當γ=180°時，隨著最大舵偏角的增加，縱向修正量明顯增加，但會引起側向附帶偏差。與改變啟控時刻相似，改變最大舵偏角所進行的縱向修正比側向修正引起的附帶命中偏差更小。

表3 γ=270°時不同舵偏角彈道末端修正能力仿真結果

表4 γ=180°時不同舵偏角彈道末端修正能力仿真結果

綜上可知，改變啟控時刻或最大舵偏角進行縱向修正效果顯著，同時會產生更小的側向偏差。因此，有必要對γ=180°條件下鴨式布局雙旋彈的穩定性進行進一步分析。圖2給出了控制相位角為180°，啟控時刻為60 s時，最大舵偏角δc,max分別為5°，10°，12°，15°的攻角變化曲線。由圖2可知，隨著最大舵偏角的增大，攻角的震蕩幅值也在不斷增大。當δc,max=12°時，攻角的峰值已經達到了15°左右；當δc,max=15°時，攻角出現發散。這是由于最大舵偏角過大時，平均控制力矩與翻轉力矩的共同作用克服了陀螺力矩的影響，引起彈體不斷抬頭，攻角持續增大，最終發散。故為了保證彈丸的飛行穩定性，在保證足夠修正能力的前提下盡可能使用較小的舵偏角。

圖2 不同最大舵偏角時攻角變化曲線

2 鴨式布局雙旋彈飛行穩定性分析

2.1 鴨式布局雙旋彈攻角運動方程

攻角的解析表達式能夠用來求解各種因素影響下彈丸的運動規律和穩定性，為穩定性判據的推導奠定基礎。根據擾動彈道和理想彈道的運動關系，引入雙旋彈的結構參數和氣動參數，建立鴨式布局雙旋彈的復偏角運動方程：

(10)

式中：Ψ=ψ1+iψ2，稱為復偏角；V為彈體飛行速度;k為控制系數;δr為相對攻角;γA為后體滾轉角;φ為δ1與δ2的函數。

(11)

(12)

同理得到了彈丸的復擺動角運動方程：

(13)

由式(12)和式(13)得到鴨式布局雙旋彈的攻角運動微分方程為：

(14)

2.2 攻角運動數值仿真分析

基于式(1)～式(4)與式(8)所建立的鴨式布局雙旋彈7自由度運動模型，利用1.2節給出的仿真條件，對攻角運動特性進行數值仿真。分別研究了無控、有控條件下雙旋彈攻角的變化情況，用以檢驗鴨舵展開無控和啟動控制對彈體本身的干擾作用。圖3和圖4分別給出了無控條件下高低攻角與方位攻角隨時間變化曲線和兩者之間關系曲線。由圖3可知，方位攻角δ2遠大于高低攻角δ1，全彈道δ1在小范圍波動，這與普通旋轉彈類似。表明在啟動控制之前，鴨式布局雙旋彈可以像普通旋轉彈一樣飛行。

圖3 無控彈道攻角隨時間變化曲線

圖4 無控狀態下δ1和δ2變化關系曲線

圖5和圖6分別給出有控條件下高低攻角和方位攻角隨時間變化曲線?？梢园l現，啟動控制后，由于受到強烈的干擾作用，高低攻角和方位攻角發生劇烈震蕩，但幅值逐漸減弱。與無控狀態相比，方位攻角圍繞-3°波動，主要是由于控制舵產生的平均控制力指向彈道左側，使彈軸向左發生偏斜。

圖5 有控狀態下δ1隨時間變化曲線

圖6 有控狀態下δ2隨時間變化曲線

圖7給出有控條件下高低攻角和方位攻角變化關系曲線，由圖可知，快圓運動和慢圓運動均表現為收縮的裸線，表明啟控之后彈丸能夠漸近穩定。圖8給出有控條件下55～60 s時間段攻角的變化情況。分析發現，彈體在啟控時刻由于受到強烈的外部擾動，攻角由0.5°左右猛增到6.5°左右，隨后做振幅逐漸減小的震蕩。這是由于后體高速旋轉給全彈提供了很強的陀螺效應，抑制了由于鴨舵偏轉對彈體的強干擾作用。

圖7 有控狀態下δ1隨δ2變化曲線

圖8 有控狀態下攻角隨時間變化曲線

由以上分析可知，在合理設計結構參數、氣動參數的前提下，鴨舵展開對前體進行減旋并不會對彈體的穩定性產生不可逆的破壞。啟動鴨舵控制后，得益于后體高速轉動所提供的陀螺效應，攻角劇烈震蕩但不發散。

2.3 鴨式布局雙旋彈陀螺穩定性分析

根據推導的攻角運動微分方程，可以得到攻角運動的齊次方程，經過整理，方程的兩個解為：

(15)

(16)

對于旋轉穩定彈,M=kz>0。當轉速較慢時，P值較小，導致P2-8M<0，說明由于雙旋彈旋轉而產生的陀螺力矩小于翻轉力矩。若特征方程中根號項為正，必須保證足夠大的轉速，以避免彈體翻轉。引入陀螺穩定因子Sg=P2/8M，需保證：Sg>1。

代入模型參數，得到：

(17)

(18)

由式(18)可知，鴨式布局雙旋彈的陀螺穩定因子跟前、后體轉速的平方成正相關，與速度平方和靜力矩系數成負相關。由于在啟控時前體轉速遠小于后體轉速，所以后體轉速是雙旋彈陀螺穩定性的首要保障要素。因此，在優化設計中，首要保障較高的后體轉速；在設計中合理布局全彈質心位置使靜力矩系數較小，同時炮口初速亦不應過大。

對模型彈進行校驗，圖9給出了鴨式布局雙旋彈陀螺穩定因子Sg隨時間的變化曲線。

圖9 陀螺穩定因子隨時間變化曲線

由圖9可知，引入的鴨式布局雙旋彈陀螺穩定因子Sg在炮口處取得最小值2.9，滿足陀螺穩定性要求Sg>1。這與試驗值能夠較好的吻合，從而驗證了所推導的鴨式布局雙旋彈陀螺穩定性判據的可靠性。

2.4 動態穩定性分析

在考慮全部氣動力和力矩時，角運動的齊次方程變為：

(19)

其特征根為：

(20)

記：

(21)

則特征根可以表示為：

(22)

式中Sd為動態穩定因子。

經過簡化，得到鴨式布局雙旋彈動態穩定性條件：

(23)

將式(23)進行變形，得到：

(24)

式(24)即為鴨式布局雙旋彈的動態穩定性判據。由式(23)和式(24)可知，鴨式布局雙旋彈升阻比越大越有利于滿足其動態穩定性；同時，雙旋彈動態穩定性的上界受制于陀螺穩定性的最小值，因此要求更加苛刻。

要使得式(24)成立，不等式右端需取最小值。由模型彈陀螺穩定因子計算結果可知，Sg最小值為2.9，代入式(24)，得到：

(25)

構造函數：

(26)

將式(26)代入到彈道程序中，得函數曲線如圖10所示。

圖10 動態穩定性判別因子SK隨時間變化曲線

從圖10可以看出，該函數值在剛出炮口時值為0.61，全彈道最小值0.549，表明模型彈丸能夠滿足式(25)。經過試驗，通過改變模型參數，發現當鴨式布局雙旋彈的動態穩定因子不滿足式(24)時，就會出現飛行失穩現象，從而驗證了文中的動態穩定性判據的合理性。

2.5 鴨式布局雙旋彈動力平衡角

求解攻角運動方程的特解，可推導出動力平衡角的兩個分量：

(27)

(28)

式中：

(29)

式中δ1P，δ2P分別是動力平衡角沿速度矢量右方和上下方向的分量，其中δ1P占主導。

由式(27)和式(29)可知，雙旋彈動力平衡角左右分量δ1P受2αkz影響較大，與彈道傾角θ成正相關關系。為使δ1P不致過大，應限制后體轉速的大小，以及適當增大彈體初速。根據式(29)合理調整前后體轉動慣量，用以限制α值大小，同時彈道傾角設計不應太大。

因最大動力平衡角通常出現在彈道頂點附近，故只需求得彈道頂點的值，讓其小于某一特定值，就會在全彈道內滿足追隨穩定性要求。根據外彈道理論，旋轉穩定彈的追隨穩定性限制值設置為12°～15°。針對雙旋彈鴨舵的外加干擾，取此值為15°。圖11給出了δ1P和δ2P的數值仿真結果，由圖可知，動力平衡角的鉛直分量δ2P遠小于水平分量δ1P，且δ1P的變化范圍為0°～4.813°，滿足追隨穩定性條件。

圖11 動力平衡角鉛直和水平分量關系曲線

3 結論

1)鴨舵啟控時刻與最大舵偏角對本通道修正效果影響較大，但同時會引起其他通道的附帶控制偏差。主要原因在于鴨舵在一個通道的控制會引起與其他通道的氣動交聯耦合，產生其他方向的附加作用力，影響彈體控制精度。此外，在通過改變啟控時刻或最大舵偏角進行彈道修正時，可以優先考慮縱向修正策略。

2)最大舵偏角對攻角運動影響顯著，最大舵偏角過大會引起攻角發散，破壞鴨式布局雙旋彈飛行穩定。

3)在合理設計結構參數、氣動參數的前提下，鴨舵展開對前體進行減旋并不會對彈體的穩定性產生不可逆的破壞。啟動鴨舵控制后，得益于后體高速轉動所提供的陀螺效應，攻角劇烈震蕩但不發散。

4)分析和建立了雙旋彈的陀螺穩定性和動態穩定性判據，兩者均要求較高的后體轉速，靜力矩系數和炮口初速不應過大。此外，增大升阻比有利于彈體滿足動態穩定性。