應用型本科院校學生在極限學習中的障礙及對策研究

張倩倩

（湖北大學知行學院，湖北 武漢 430014）

0 引言

高等數學又被稱為“微積分”，字面含義“用微的辦法分析”和“用積的方法處理”，整本書的內容主要圍繞微分和積分兩大類。無論關于微分還是積分的相關概念都借助了極限來定義，極限可以稱作是微積分的“靈魂”，只有理解極限這一抽象概念，才能更好地學好微積分并加以運用。由于科學水平的限制，在解決實際生活中的相關問題時我們并不能求出精確解，而我們也只需要通過觀察無線變化過程得到一個近似解，極限的概念就是在這種情況下應運而生，在《莊子·天下篇》中就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的記錄。在本校的實驗教學過程中，發現學生在學習極限的過程中存在兩個困難，一是對于極限的“-N”定義存在語言表征障礙，二是求解極限障礙。

1 語言表征障礙及對策

1.1 語言表征障礙

極限按照研究對象可以分為數列極限和函數極限。根據函數的定義，數列可以看成自變量為正整數n的函數，也即是說數列是一種特殊的函數，區別在于自變量所屬定義域不同。由于本校非數學專業學生采用的教材中，極限知識點處于第一章，且學生已在高中接觸過數列。極限在課堂講解過程中通常采用數學語言描述相關定義和定理，關于數列極限一般寫成如下：

（1）不理解數學符號代表的含義。

（2）不清楚數學符號之間的關系。

（3）不明白定義的作用。

函數極限由極限條件自變量的趨向不同，又可分為自變量趨向于無窮大和自變量趨向于固定值，有定義和定義。

數列極限與函數極限定義中出現的語言障礙類似，接下來以數列極限為主要研究對象。

1.2 語言表征障礙對策

根據學生出現的問題，解決措施有：

（1）詳細解釋這個定義中所有的模糊點。

（2）采用數形結合。

給出常見的幾組數列，讓同學們在數軸上按照順序描點觀察。或把數列通項公式看成函數，借助導數畫出函數的大致圖像（只看自變量為正整數的部分），觀察其趨勢。需要注意的是，數列極限是點，而函數極限是連接的曲線。

2 求解極限障礙

課本上介紹求解極限的方法有很多，兩個重要極限、等價無窮小替換、無窮小的性質、無窮小與無窮大的關系、洛必達法則這些方法適用于所有的類型，連續的定義、導數的定義和泰勒展開式可以求自變量趨向于固定值的極限。

雖然方法很多，但大多數學生遇到求極限的題目仍然沒有思緒，沒有固定的做題思路，對于方法要求的條件不清楚導致出錯。下面主要分為兩個方面論述：一是做題思路，二是做題易錯點。

2.1 整理做題思路

看到一道極限題目，應先觀察極限條件，根據極限條件判定計算方法。若自變量趨向于有限值0，做題步驟如下：

（2）判定函數表達式能否化簡整理？在做題的過程中通常用到的有四種方法：根式有理化、分式相加減通分、因式分解消公因子、分子湊出來分母。化簡之后再次回到第一步。若不能化簡，進行第三步。

（3）利用無窮小和無窮大的關系，若函數倒數的極限為無窮小，則函數為無窮大（極限不存在）。若函數倒數的極限不存在，則優先考慮兩個重要極限、無窮小的性質、等價無窮小、導數的定義、泰勒展開式、洛必達法則。

若自變量趨向于無窮大，做題步驟如下：

以上結論對數列極限也適用。

（2）當結論不能使用時，則考慮通用方法如：兩個重要極限、無窮小的性質、等價無窮小、洛必達法則。

2.2 做題易錯點

無論是求解數列極限還是函數極限，最終結果只有兩種，一種是極限存在可求出具體數值，一種是極限不存在。在平時的課堂練習中，發現學生混淆極限不存在的情況。極限不存在有以下三種情況；（1）無窮大。（2）極限不確定，如正弦函數在時。（3）左右極限不相等，如反正切函數在時。

這道題目很容易做錯，易錯點如下：第一個等號處直接使用等價無窮小代換第二個等號處分子使用等價無窮小。正確做法：先通分，分母等價無窮小，洛必達法則，接下來無論使用洛必達法則還是等價無窮小都可以得到正確答案“0”。

在應用型本科學生的教學過程中發現，學生對于知識點的掌握不是很透徹，沒有意識到課本上所給的定義、定理和性質才是我們做題的依據。題目一直在變化，但萬變不離其宗，就像蓋房子一樣，只有把地基打好，上面的建筑才不會倒。面對學生在學習大學數學中出現的各種障礙，講懂基礎定義、定理和性質才是最好的應對對策。