一道課本例題到一道高考試題的衍變之路

高 磊

(山東省青島第二中學)

每一道高考試題追根溯源都是一道課本題目的延伸和衍變,因此課堂教學要緊扣教材,對例題開展深度研究.本文闡述一道例題逐步衍變成一道道高考試題的過程,通過對圓錐曲線性質進行逐層剖析,探尋課本例題與高考試題之間的聯系,為高三復習提供新視角.

圖1

1 衍變第一步:調換例題的已知和結論

2 衍變第二步:將定弦AB 改為過原點的動弦AB

3 衍變第三步:過原點的動弦AB 改為過定點T(t,0)的動弦

圖2

4 衍變第四步:過定點T(t,0)的動弦端點與長軸兩端點連接形成蝴蝶三角形

圖3

5 衍變第五步:蝴蝶定理與圓錐曲線相結合

蝴蝶定理(ButterflyTheorem):設P為圓內弦AB的中點,過P作弦EF和CD,設CF和DE與AB分別相交于點M和N(如圖4),則P是MN的中點.

圖4

此定理還可以推廣到橢圓、雙曲線和拋物線中,下述只證明在橢圓中的情形.

證明 設P(m,n),A(x1,y1),B(x2,y2).

6 衍變第六步:將性質3的條件和結論對調

一道試題通常包括顯性要素和隱性內涵,顯性要素就是能看到的情境與設問形式,而教學中要引導學生對其隱性內涵做進一步探討、遷移,引導學生更好地把握數學問題的本質,提升學生的數學素養.

7 衍變第七步:試題遷移與拓展

7.1 試題遷移

圓錐曲線中的定點與定值問題一直是高考的熱點,解決此類問題常見的方法有兩種:

一是從特殊入手,求出定點、定值,再證明這個定點、定值與變量無關;

二是通過引入參數,并在計算推理過程中消去參數,從而得到定點、定值.

7.2 試題拓展

對例5的第(2)問進行如下變式.

變式1 設點F(－1,0),直線MF與曲線C相交于點N,證明:kAM·kAN為定值.

變式3 設直線l與曲線C相交于兩點M,N,若直線MB與直線AN的斜率存在,且kAN＝3kBM,證明:直線MN過定點.

分析 由性質6可知直線MN過定點(－1,0).

變式4 設點F(－1,0),直線MF與曲線C相交于點N,設直線MB與直線AN相交于點E,證明:點E在定直線上.

分析 由性質4可知點E在定直線x＝－4上.

高考真題是復習備考的重要素材,每一道高考題都含有豐富的數學內涵,也體現了很多命題專家的心血和智慧.教師應探本求源,建立高考試題與教材的對接點,并以高考為導向挖掘其隱含的復習資源,立足教材,引導學生把握通性通法,引導學生在數學學習中注重對基礎知識進行梳理歸納,形成知識網絡;明確典型例題的解題思路,總結解題方法,觸類旁通,探究解題規律.只有夯實雙基、突出重點,才能以不變應萬變.