圓的多種定義形式在解題中的應用

李光彬 邵建鳳

(山東省淄博市臨淄中學)

圓是基本的平面幾何圖形之一,在全國卷及獨立命題省市的高考試卷中,圓是重要的考查視角,且常與其他知識綜合考查.因此,在解答相關問題時可結合題目條件特征,考慮構造出圓的模型,進而利用圓的相關性質,使問題簡捷獲解.圓的定義除了我們熟知的平面內到定點的距離為定值的點的軌跡外,還有與平面兩點連線的張角為定值、到兩定點距離的平方和為定值、與兩定點的距離之比為定值等多種形式,下面例析這些定義形式在解題中的應用.

1 平面內到定點的距離為定值的點的軌跡

平面內到定點的距離為定值(大于0)的點的軌跡為圓,該定點為圓心,定值為半徑.這是圓最基本的定義形式,其中圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2也是這種定義形式的直接體現.

圖1

本題條件中并沒有出現圓,但結合PC＝1為定值,C為定點,進而構造以C為圓心,1為半徑的圓,P即為圓上的動點.再利用平面向量的運算法則,將未知向量轉化為已知向量和特殊向量求解.

2 與平面內兩點連線的張角為定值的點的軌跡

與平面內兩點連線所形成的張角為定值的點的軌跡為圓,其圓心在兩定點構成線段的垂直平分線上.其特殊情況是:張角為直角,此時兩定點的中點為圓心,兩點間的距離為直徑.這一特殊情況還可表示為另外兩種形式,一種形式是與兩點連線所得兩條直線斜率之積為－1(注意去掉斜率不存在的點);另外一種形式是與兩定點連線所得兩向量的數量積為0.

圖2

A,B為x軸上兩點,動點P與AB兩點連線的張角為直角,故點P在以AB為直徑的圓上,進而結合圓與圓的位置關系解決問題.

3 到兩定點距離的平方和為定值的點的軌跡

到兩個定點的距離的平方和為定值(該定值大于或等于兩個定點間的距離)的點的軌跡是以AB的中點為圓心的圓.特別地,當定值等于線段AB的長度時,動點的軌跡是以AB為直徑的圓.

例3 點M是邊長為1的正方形ABCD所在平面內一點,且|MA|2＋|MB|2＝|MC|2,則|MD|的最大值和最小值分別為_________.

4 到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡

例4 如圖3所示,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y＝2x－4,設圓C的半徑為1,圓心在直線l上.

圖3

(1)若圓心C也在直線y＝x－1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;

(2)若圓C上存在點M,使|MA|＝2|MO|,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

綜上,切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因為圓心在直線y＝2x－4 上,故可令C(a,2a－4),則圓C的方程為

(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.

設點M(x,y),因為|MA|＝2|MO|,所以

到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡為圓,從這一定義形式來看,圓與橢圓、雙曲線建立了更密切的聯系,橢圓是到兩個定點F1,F2的距離之和為定值(大于|F1F2|)的點的軌跡,雙曲線是到兩個定點F1F2的距離之差為定值(小于|F1F2|)的點的軌跡.

綜上所述,在相關問題的處理中要注意挖掘圓的隱含定義等信息,進而構造相應的圓,并利用圓的性質解答問題.