深度思考,提升數學素養

王遠征

(廣東省深圳市高級中學南校區)

高等院校強基計劃承載著選拔優秀人才的重任,所以強基校測試題關注對考生數學思維能力和數學素養的考查.這些試題通常短小精悍、入口寬,給了考生放飛思維的空間,試題往往能用多種方法解答,能客觀地評價考生思維的靈活性、深刻性和創造性,通過對試題的解答能很好地考查學生從數學的角度發現、提出、分析和解決問題的能力.本文以2022年南京大學強基計劃校測第2題為例,進行多角度探究,介紹當我們面對一道陌生的問題時,根據問題特征展開聯想,從而找到解題突破口、解決問題的思維過程.

1 分析與探究

因為(sinα－sinβ)2≥0,(cosα＋cosβ－1)2≥0,所以由非負性得

此處逆向思考,有意識地將“常數3”表示成式②的形式,目的是為用配方法將原方程轉化為2個非負數和的形式,創造條件,為建立二元方程組解題鋪平道路,把陌生問題轉化為熟悉問題來解決.

解法2 利用和差化積、半角公式、配方法和非負數性質求解.由題意可得

解法3 當我們從該方程的幾何意義來思考,可以用如下數形結合的方法解答本題.

由題意可得

因數思形是一種常用的化歸思想,即通過觀察代數式的結構特征,聯想它的幾何意義,然后借助幾何圖形的直觀性求解.

此題的解答遠不止以上三種方法,有興趣的讀者可以進一步深入地觀察、廣泛地聯想,調動所學知識來解答,這對訓練思維的靈活性、深刻性、創造性大有裨益.此題反映出高校強基計劃試題在很大程度上體現和落實對核心素養的考查,這些核心素養包括直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理、數據分析和數學抽象.只有在平時注重深度的學習與思考,強化感悟與內化,才能形成這些能力,積淀良好的數學素養.

2 變式

數學問題的表現形式雖然千姿百態,但本質都是數與數、數與形、形與形之間的和諧關系.解題者只有在仔細觀察、深入思考的前提下,在數與數、數與形、形與形這些數學對象之間建立合理的聯系,即實現有效的相互轉化,才能使陌生問題熟悉化、復雜問題簡單化、抽象問題具體化.對同一個數學問題進行多角度深入的思考是提升我們思維品質、形成良好數學素養的有效途徑.如下變式練習,供讀者練習.

變式1 已知α,β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的兩個根,且α＜2＜β,求m的取值范圍.

解法1 依題意,因為由根與系數的關系可得α＋β＝－2m＋1,αβ＝4－2m,又α＜2＜β,所以α－2＜0,且β－2＞0,于是(α－2)(β－2)＜0,即αβ－2α－2β＋4＜0,即4－2m＋2(2m－1)＋4＜0,解得m＜－3.

解法2 記f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m,依題意知該拋物線與橫坐標軸有2 個不同的交點(α,0),(β,0),且拋物線開口向上.又α＜2＜β,所以f(2)＜0,即4＋2(2m－1)＋4－2m＜0,解得m＜－3.

圖1

由于對同一問題觀察的角度不同,聯想的方向不同,因此就出現了多種不同的解題方法,但都能考查考生的觀察能力、聯想能力和數學素養.