談?wù)劧嘧冊獑栴}的思考策略
——從2022年一道高考題的解法說起

宋秋林 何拓程特級(jí)教師

(1.江蘇省姜堰第二中學(xué) 2.北京理工大學(xué)附屬中學(xué))

1 試題呈現(xiàn)

題目 (2022年新高考Ⅱ卷12,多選題)若x,y滿足x2＋y2－xy＝1,則( ).

A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1

分析 這是2022年新高考Ⅱ卷第12題,作為多選題,此題的本質(zhì)是求x＋y和x2＋y2的取值范圍.而已知條件中的x,y并非函數(shù)關(guān)系,由此求解問題就變得困難重重.本文以此題作為載體,談?wù)勄蠼舛嘧冊獑栴}常用的思考策略.

2 解法探究

思路1 構(gòu)造方程

方程作為已知量和未知量的矛盾統(tǒng)一體,可以充當(dāng)由已知探索未知的橋梁.本題的兩個(gè)變量地位相同,但是不易將一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示.因此,變換思路,將關(guān)系式當(dāng)作方程,使其中一個(gè)量作為主元,其他的當(dāng)作參量,通過方程有解,即可求出參量的取值范圍(也稱主元法),利用這一思想,將目標(biāo)量變換成參量進(jìn)行求解.

解法1 設(shè)x＋y＝t,所以y＝t－x,將其代入x2＋y2－xy－1＝0,得3x2－3tx＋t2－1＝0,因?yàn)榉匠逃薪?所以Δ＝9t2－4×3(t2－1)≥0,解得－2≤t≤2,即－2≤x＋y≤2.

設(shè)x2＋y2＝λ,則

思路2 構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)思想是重要的數(shù)學(xué)思想,在中學(xué)階段,函數(shù)思想更是貫穿整個(gè)教學(xué)的始終.本題的難點(diǎn)就是不能流暢地構(gòu)造函數(shù),注意到等式左邊是二次齊次式,因此將目標(biāo)量化為二次式,利用函數(shù)的性質(zhì)求解.

思路3 構(gòu)造不等式

綜合考慮條件式與目標(biāo)量的結(jié)構(gòu)特征,運(yùn)用均值不等式等方法進(jìn)行整體處理,直接探求目標(biāo)量取得最值的條件.事實(shí)上,均值不等式是解決多變元問題的主要方法.

可知圖形是對稱軸為x±y＝0的橢圓(如圖1).

圖1

3 真題鏈接

有意思的是,2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第8題與本題有相似之處.

例1 (2019年北京卷8)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖2).給出下列三個(gè)結(jié)論:

圖2

①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2;

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是( ).

A.① B.②

C.①② D.①②③

分析 如果了解“心形”曲線的變換過程(如圖3),很快就會(huì)得到答案,本題選C.

圖3

4 問題拓展

5 解題反思

高考功能的定位是“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”.因此,關(guān)注并研究高考題是每個(gè)教師必須做的功課.同時(shí),在解題教學(xué)中,啟發(fā)學(xué)生多角度、多層次地對同一個(gè)問題進(jìn)行分析和研究,實(shí)際上就是在梳理數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯關(guān)系.因?yàn)?任何新知識(shí)的產(chǎn)生,都是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸和擴(kuò)展的.事實(shí)上,理解就是能用已有的知識(shí)多角度、全方位地解釋未知的東西,這種尋求數(shù)學(xué)思維邏輯性的過程就是思維品質(zhì)提升的過程,同時(shí)也是學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的過程.另外,本題中極坐標(biāo)、坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)并不是高考要求考查的內(nèi)容.但是,作為整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一部分,對于學(xué)有余力的學(xué)生,進(jìn)行一些拓寬,使其知識(shí)面更加全面和完整是非常有必要的.