用平面幾何性質(zhì)解答圓錐曲線問題的應用思路分析

何 榮

(江蘇省新沂市高級中學)

我們通常利用代數(shù)法解決圓錐曲線問題,這在一定程度上忽略了圓錐曲線的幾何性質(zhì).圓錐曲線問題本質(zhì)上是一類幾何問題,即使運用代數(shù)法解答也要借助幾何條件進行轉(zhuǎn)化.適當?shù)貞闷矫鎺缀涡再|(zhì)不僅能簡化運算過程,也有助于學生深入了解圓錐曲線.本文結合例題闡述不同幾何性質(zhì)在解題過程中的運用,加深學生對平面幾何性質(zhì)的理解.

1 三角形中位線性質(zhì)的應用

三角形中位線是三角形中較為特殊的一條線段,其包含了一些對應關系,合理地運用這些對應關系能夠幫助解答圓錐曲線相關問題.

圖1

運用三角形的中位線性質(zhì)可以巧妙地解答圓錐曲線與三角形中位線相關問題,學生應熟練和把握中位線的幾何意義與關系等式,使圓錐曲線問題的解答過程更直觀、便捷.

2 三角形內(nèi)切圓性質(zhì)的應用

如圖2 所 示,由 題 意 得∠AOF＝∠AOB＝45°,過M,N向x軸作垂線,垂足分別為E,H.

圖2

圖3

當圓錐曲線問題涉及角平分線或內(nèi)切圓的相關條件時,可巧妙地運用三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)進行解答,簡化運算過程.

3 相似三角形性質(zhì)的應用

當圓錐曲線問題中涉及相等角或等比例線段時,可以考慮運用相似三角形的性質(zhì)進行解答.

(2)設O為原點,點B與點A關于x軸對稱,直線PB交x軸于點N,則y軸上是否存在點Q,使∠OQM＝∠ONQ? 若存在,求出Q點坐標;若不存在,說明理由.

圖4

運用相似三角形的性質(zhì)解題能減少計算量,但需要注意一些細節(jié).若問題中只存在一個三角形,則可以通過延長、分割的形式構造與之相似的三角形.

通過以上例題不難發(fā)現(xiàn)運用三角形中位線定理、內(nèi)切圓性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)解題,能在一定程度上減少計算量,使解答過程更加簡捷.平面幾何的一些性質(zhì)、定理以及常見重要結論的應用在圓錐曲線問題的解答過程中起著重要的作用.運用平面幾何性質(zhì)解題時,需要根據(jù)條件靈活構造幾何圖形,這也是重點內(nèi)容,需要學生加以重視.